文科数学步步高一轮复习word版12.docx

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文科数学步步高一轮复习word版12

§1.2　命题及其关系、充分条件与必要条件

最新考纲

考情考向分析

1.理解命题的概念.

2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.

3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.

命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式,多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇,考查学生的推理能力,题型为选择、填空题,低档难度.

1.命题

用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.

2.四种命题及其相互关系

（1）四种命题间的相互关系

（2）四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

3.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p⇒q且q⇏p

p是q的必要不充分条件

p⇏q且q⇒p

p是q的充要条件

p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件

p⇏q且q⇏p

知识拓展

从集合的角度理解充分条件与必要条件

若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p（x）},B＝{x|q（x）},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：

（1）若A⊆B,则p是q的充分条件；

（2）若A⊇B,则p是q的必要条件；

（3）若A＝B,则p是q的充要条件；

（4）若AB,则p是q的充分不必要条件；

（5）若AB,则p是q的必要不充分条件；

（6）若A

B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.

题组一　思考辨析

1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）“对顶角相等”是命题.（　√　）

（2）命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.（　×　）

（3）当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.（　√　）

（4）当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.（　√　）

（5）若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充分条件.（　√　）

题组二　教材改编

2.[P8T3]下列命题是真命题的是（　　）

A.矩形的对角线相等

B.若a＞b,c＞d,则ac＞bd

C.若整数a是素数,则a是奇数

D.命题“若x2＞0,则x＞1”的逆否命题

答案　A

3.[P12T2

（2）]“x－3＝0”是“（x－3）（x－4）＝0”的______条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

答案　充分不必要

题组三　易错自纠

4.命题“若x2＞y2,则x＞y”的逆否命题是（　　）

A.若x＜y,则x2＜y2B.若x≤y,则x2≤y2

C.若x＞y,则x2＞y2D.若x≥y,则x2≥y2

答案　B

解析　根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系,得命题“若x2＞y2,则x＞y”的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2”.

5.设x＞0,y∈R,则“x＞y”是“x＞|y|”的（　　）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

答案　C

解析　x＞y⇏x＞|y|（如x＝1,y＝－2）,

但当x＞|y|时,能有x＞y.

∴“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件.

6.已知p：

x＞a是q：

2＜x＜3的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.

答案　（－∞,2]

解析　由已知,可得{x|2＜x＜3}{x|x＞a},

∴a≤2.

题型一　命题及其关系

1.下列命题是真命题的是（　　）

A.若

＝

则x＝yB.若x2＝1,则x＝1

C.若x＝y,则

＝

D.若x＜y,则x2＜y2

答案　A

2.某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,这句话的等价命题是（　　）

A.不拥有的人们会幸福B.幸福的人们不都拥有

C.拥有的人们不幸福D.不拥有的人们不幸福

答案　D

3.原命题为“△ABC中,若cosA＜0,则△ABC为钝角三角形”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是（　　）

A.真,真,真B.假,假,真

C.真,真,假D.真,假,假

答案　B

解析　若cosA＜0,A为钝角,则△ABC为钝角三角形,所以原命题为真,则逆否命题也为真；△ABC为钝角三角形,可能是B或者C为钝角,A可能为锐角,cosA＞0.所以逆命题为假,则否命题也为假.故选B.

4.设m∈R,命题“若m＞0,则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是______________.

答案　若方程x2＋x－m＝0没有实根,则m≤0

思维升华

（1）写一个命题的其他三种命题时,需注意：

①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写；

②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.

（2）判断一个命题为真命题,要给出推理证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例即可.

（3）根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.

题型二　充分必要条件的判定

典例

（1）“0≤m≤1”是“函数f（x）＝cosx＋m－1有零点”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案　A

解析　方法一　若0≤m≤1,则0≤1－m≤1,

∴cosx＝1－m有解.

要使函数f（x）＝cosx＋m－1有零点,

只需|m－1|≤1,解得0≤m≤2,故选A.

方法二　函数f（x）＝cosx＋m－1有零点,

则|m－1|≤1,解得0≤m≤2,

∵{m|0≤m≤1}{m|0≤m≤2}.

∴“0≤m≤1”是“函数f（x）＝cosx＋m－1”有零点的充分不必要条件.

（2）已知条件p：

x＞1或x＜－3,条件q：

5x－6＞x2,则綈p是綈q的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由5x－6＞x2,得2＜x＜3,即q：

2＜x＜3.

所以q⇒p,p⇏q,所以綈p⇒綈q,綈q⇏綈p,

所以綈p是綈q的充分不必要条件,故选A.

思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法

（1）定义法：

根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.

（2）集合法：

根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.

（3）等价转化法：

根据一个命题与其逆否命题的等价性,进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题.

跟踪训练

（1）（2018届莆田一中月考）王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”,请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪,非常之观”的（　　）

A.充要条件B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件D.必要不充分条件

答案　D

解析　非有志者不能至,是必要条件；但“有志”也不一定“能至”,不是充分条件.

（2）设a,b∈R,则“（a－b）a2＜0”是“a＜b”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若“（a－b）a2＜0”,则“a＜b”,是真命题；

而若“a＜b”,则“（a－b）a2＜0”当a＝0时不成立,是假命题.故选A.

题型三　充分必要条件的应用

典例已知P＝{x|x2－8x－20≤0},非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围.

解　由x2－8x－20≤0,得－2≤x≤10,

∴P＝{x|－2≤x≤10}.

由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P.

则

∴当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3].

引申探究

若本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.

解　若x∈P是x∈S的充要条件,则P＝S,

∴

方程组无解,

即不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.

思维升华充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解.

（2）要注意区间端点值的检验.

跟踪训练

（1）（2017·山西五校联考）已知p：

（x－m）2＞3（x－m）是q：

x2＋3x－4＜0的必要不充分条件,则实数m的取值范围为________.

答案　（－∞,－7]∪[1,＋∞）

解析　p对应的集合A＝{x|x＜m或x＞m＋3},

q对应的集合B＝{x|－4＜x＜1},

由p是q的必要不充分条件可知,BA,

∴m≥1或m＋3≤－4,

即m≥1或m≤－7.

（2）设n∈N*,一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

答案　3或4

解析　由Δ＝16－4n≥0,得n≤4,

又n∈N*,则n＝1,2,3,4.

当n＝1,2时,方程没有整数根；

当n＝3时,方程有整数根1,3,

当n＝4时,方程有整数根2.综上可知,n＝3或4.

等价转化思想在充要条件中的应用

典例已知p：

≤2,q：

x2－2x＋1－m2≤0（m＞0）,綈p是綈q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为________.

思想方法指导等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题.本题中既有对题目中条件的化简,又有充分必要条件和集合间关系的转化.

解析　∵綈p是綈q的必要不充分条件,

∴q是p的必要不充分条件.

即p是q的充分不必要条件,

由x2－2x＋1－m2≤0（m＞0）,

得1－m≤x≤1＋m（m＞0）.

∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m,m＞0}.

设M＝{x|1－m≤x≤1＋m,m＞0}.

又由

≤2,得－2≤x≤10,

∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}.

设N＝{x|－2≤x≤10}.

由p是q的充分不必要条件知,NM,

∴

或

　解得m≥9.

∴实数m的取值范围为[9,＋∞）.

答案　[9,＋∞）

1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是（　　）

A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”

B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”

C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”

D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”

答案　B

2.命题“若a＞－3,则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

答案　B

解析　原命题正确,从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6,则a＞－3”是假命题,从而其否命题也是假命题.因此4个命题中有2个假命题.

3.“（2x－1）x＝0”是“x＝0”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案　B

4.（2018·河南八市联考）命题“若a＞b,则a＋c＞b＋c”的否命题是（　　）

A.若a≤b,则a＋c≤b＋c

B.若a＋c≤b＋c,则a≤b

C.若a＋c＞b＋c,则a＞b

D.若a＞b,则a＋c≤b＋c

答案　A

解析　否命题是将原命题的条件和结论都否定,故命题“若a＞b,则a＋c＞b＋c”的否命题是“若a≤b,则a＋c≤b＋c”,故选A.

5.（2017·广东名校模拟）王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（　　）

A.充分条件B.必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案　B

解析　“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.故选B.

6.（2017·安徽江南十校联考）“a＝0”是“函数f（x）＝sinx－

＋a为奇函数”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案　C

解析　显然当a＝0时,f（x）＝sinx－

为奇函数.

当f（x）为奇函数时,f（－x）＋f（x）＝0.

又f（－x）＋f（x）＝sin（－x）－

＋a＋sinx－

＋a＝0,

因此2a＝0,故a＝0.

所以“a＝0”是“函数f（x）为奇函数”的充要条件.

7.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若直线a和直线b相交,则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交,那么直线a和直线b可能平行或异面或相交,故选A.

8.下列结论错误的是（　　）

A.命题“若x2－3x－4＝0,则x＝4”的逆否命题为“若x≠4,则x2－3x－4≠0”

B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件

C.命题“若m＞0,则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题

D.命题“若m2＋n2＝0,则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0,则m≠0或n≠0”

答案　C

解析　C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根,则m＞0”.若方程有实根,则Δ＝1＋4m≥0,

即m≥－

不能推出m＞0,所以不是真命题.

9.“若a≤b,则ac2≤bc2”,则原命题及命题的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________.

答案　2

解析　其中原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题.

10.设p：

实数x,y满足x＞1且y＞1,q：

实数x,y满足x＋y＞2,则p是q的________条件.（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

答案　充分不必要

解析　当x＞1,y＞1时,x＋y＞2一定成立,即p⇒q,

当x＋y＞2时,可令x＝－1,y＝4,即q⇏p,

故p是q的充分不必要条件.

11.已知命题p：

a≤x≤a＋1,命题q：

x2－4x＜0,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________.

答案　（0,3）

解析　令M＝{x|a≤x≤a＋1},

N＝{x|x2－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}.

∵p是q的充分不必要条件,∴MN,

∴

解得0＜a＜3.

12.有下列几个命题：

①“若a＞b,则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0,则x,y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4,则－2＜x＜2”的逆否命题.

其中真命题的序号是________.

答案　②③

解析　①原命题的否命题为“若a≤b,则a2≤b2”,错误；②原命题的逆命题为“若x,y互为相反数,则x＋y＝0”,正确；③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2,则x2≥4”,正确.

13.（2017·邵阳二模）“m＞1”是“函数f（x）＝3x＋m－3

在区间[1,＋∞）上无零点”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案　A

解析　函数f（x）＝3x＋m－3

在区间[1,＋∞）上无零点,则31＋m＞3

即m＋1＞

解得m＞

故“m＞1”是“函数f（x）＝3x＋m－3

在区间[1,＋∞）上无零点”的充分不必要条件,故选A.

14.已知条件p：

2x2－3x＋1≤0,条件q：

x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.

答案　

解析　方法一　命题p为

命题q为{x|a≤x≤a＋1}.

綈p对应的集合A＝

綈q对应的集合B＝{x|x＞a＋1或x＜a}.

∵綈p是綈q的必要不充分条件,

∴

或

∴0≤a≤

.

方法二　命题p：

A＝

命题q：

B＝{x|a≤x≤a＋1}.

∵綈p是綈q的必要不充分条件,

∴p是q的充分不必要条件,即AB,

∴

或

∴0≤a≤

.

15.若“数列an＝n2－2λn（n∈N*）是递增数列”为假命题,则λ的取值范围是_____________.

答案　

解析　若数列an＝n2－2λn（n∈N*）为递增数列,则有an＋1－an＞0,即2n＋1＞2λ对任意的n∈N*都成立,于是可得3＞2λ,即λ＜

.

故所求λ的取值范围是

.

16.设a,b为正数,则“a－b＞1”是“a2－b2＞1”的________条件.（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

答案　充分不必要

解析　∵a－b＞1,即a＞b＋1.又∵a,b为正数,

∴a2＞（b＋1）2＝b2＋1＋2b＞b2＋1,即a2－b2＞1成立；反之,当a＝

b＝1时,满足a2－b2＞1,但a－b＞1不成立.所以“a－b＞1”是“a2－b2＞1”的充分不必要条件.