人教版八年级下册数学 第19章一次函数 教案.docx
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人教版八年级下册数学第19章一次函数教案
19．1 函 数
19.1.1 变量与函数
第1课时 常量与变量
1．了解常量、变量的概念；
2．掌握在简单的过程中辨别常量和变量的方法，感受在一个过程中常量和变量是相对存在的．（重点）
一、情境导入
大千世界处在不停的运动变化之中，如何来研究这些运动变化并寻找规律呢？
数学上常用常量与变量来刻画各种运动变化．
二、合作探究
探究点一：
常量与变量
【类型一】指出关系式中的常量与变量
设路程为skm，速度为vkm/h，时间为th，指出下列各式中的常量与变量：
（1）v＝
；
（2）s＝45t－2t2；
（3）vt＝100.
解析：
根据变量和常量的定义即可解答．
解：
（1）常量是8，变量是v，s；
（2）常量是45，2，变量是s，t；
（3）常量是100，变量是v，t.
方法总结：
常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量．
【类型二】几何图形中动点问题中的常量与变量
如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分的面积ycm2与MA的长度xcm之间的关系式，并指出其中的常量与变量．
解析：
根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA的长度可得出y与x的关系．再根据变量和常量的定义得出常量与变量．
解：
由题意知，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，两图形重合的长度为AM＝xcm.∵∠BAC＝45°，∴S阴影＝
·AM·h＝
AM2＝
x2，则y＝
x2，0≤x≤10.其中的常量为
，变量为重叠部分的面积ycm2与MA的长度xcm.
方法总结：
通过分析题干中的信息得到等量关系并用字母表示是解题的关键，区分其中常量与变量可根据其定义判别．
探究点二：
确定两个变量之间的关系
【类型一】区分实际问题中的常量与变量
分析并指出下列关系中的变量与常量：
（1）球的表面积Scm2与球的半径Rcm的关系式是S＝4πR2；
（2）以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h＝v0t－4.9t2；
（3）一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离hm与它下落的时间ts的关系式是h＝
gt2（其中g取9.8m/s2）；
（4）已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量x千克与所付款W元之间的关系式是W＝1.8x.
解析：
根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得答案．
解：
（1）S＝4πR2，常量是4π，变量是S，R；
（2）h＝v0t－4.9t2，常量是v0，4.9，变量是h，t；
（3）h＝
gt2（其中g取9.8m/s2），常量是
g，变量是h，t；
（4）W＝1.8x，常量是1.8，变量是x，W.
方法总结：
常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：
一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．
【类型二】探索规律性问题中的常量与变量
按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．
（1）题中有几个变量？
（2）你能写出两个变量之间的关系式吗？
解析：
由图形可知，第一张餐桌上可以摆放6把椅子，进一步观察发现：
多一张餐桌，多放4把椅子．x张餐桌共有6＋4（x－1）＝4x＋2.
解：
（1）有2个变量；
（2）能，关系式为y＝4x＋2.
方法总结：
解答本题关键是依据图形得出变量x的变化规律．
三、板书设计
1．常量与变量
数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量为常量．
2．常量与变量的区分
整个教学过程中，作为教学主导的老师需特别注重对学生感受知识与处理问题的能力与结果的即兴评价．应引导学生在学习中多举例，多类比，多思考，多体味，以此激发和培养学生的学习兴趣，理解和接受常量与变量的概念，改变对概念下程式化的定义，切实提高学生的学习兴趣，降低函数学习入门的难度．
第2课时 函 数
1．了解函数的概念，弄清自变量与函数之间的关系；（重点）
2．确定函数中自变量的取值范围．（难点）
一、情境导入
如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．
在上述例子中，每个变化过程中的两个变量．当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．
你能举出一些类似的实例吗？
从今天开始，我们就研究和此有关的问题——函数．
二、合作探究
探究点一：
函数
【类型一】函数的定义
下列变量间的关系不是函数关系的是（ ）
A．长方形的宽一定，其长与面积
B．正方形的周长与面积
C．等腰三角形的底边长与面积
D．圆的周长与半径
解析：
A中，长方形的宽一定．它是常量，而面积＝长×宽，长与面积是两个变量，若长改变，则面积也改变，故A选项是函数关系；B中，面积＝（
）2，正方形的周长与面积是两个变量，16是常量，故B选项是函数关系；C中，面积＝
×底边上的高×底边长，底边长与面积虽然是两个变量，但面积公式中还有底边上的高，而这里高也是变量，有三个变量，故C选项不是函数关系；D中，周长＝2π×半径，圆的周长与其半径是函数关系．故选C.
方法总结：
判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应关系．
【类型二】确定实际问题中函数解析式以及自变量
下列问题中哪些量是自变量？
哪些量是自变量的函数？
试写出用自变量表示函数的式子．
（1）一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm，挂上重物后弹簧的长度y（cm）随所挂重物的质量x（kg）的变化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm；
（2）设一长方体盒子高为30cm，底面是正方形，底面边长a（cm）改变时，这个长方体的体积V（cm3）也随之改变．
解析：
（1）根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可；
（2）根据长方体的体积公式列出函数式．
解：
（1）y＝10＋
x（0＜x≤10），其中x是自变量，y是自变量的函数；
（2）V＝30a2（a>0），其中a是自变量，V是自变量的函数．
方法总结：
函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
探究点二：
自变量的值与函数值
【类型一】根据解析式求函数值
根据如图所示程序计算函数值，若输入x的值为
，则输出的函数值为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
∵x＝
时，在2≤x≤4之间，∴将x＝
代入函数y＝
，得y＝
.故选B.
方法总结：
根据所给的自变量的值结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．
【类型二】根据实际问题求函数值
小强想给爷爷买双鞋，爷爷说他的脚长25.5cm，若用x（单位：
cm）表示脚长，用y（单位：
码）表示鞋码，则有2x－y＝10，根据上述关系式，小强应给爷爷买________码的鞋．
解析：
∵用x表示脚长，用y表示鞋码，则有2x－y＝10，而x＝25.5，则51－y＝10，解得y＝41.
方法总结：
当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程．
探究点三：
确定自变量的取值范围
【类型一】确定函数解析式中自变量的取值范围
写出下列函数中自变量x的取值范围：
（1）y＝2x－3；
（2）y＝
；
（3）y＝
；（4）y＝
.
解析：
当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
解：
（1）全体实数；
（2）分母1－x≠0，即x≠1；
（3）被开方数4－x≥0，即x≤4；
（4）由题意得
解得x≥1且x≠2.
方法总结：
本题考查了函数自变量的取值范围：
有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．
【类型二】确定实际问题中函数解析式的取值范围
水箱内原有水200升，7：
30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经t分钟时，水箱内存水y升．
（1）求y关于t的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）7：
55时，水箱内还有多少水？
（3）几点几分水箱内的水恰好放完？
解析：
（1）根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t的取值范围；
（2）当7：
55时，t＝55－30＝25（分钟），将t＝25分钟代入
（1）中的关系式即可；（3）令y＝0，求出t的值即可．
解：
（1）∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y＝200－2t.∵y≥0，∴200－2t≥0，解得t≤100，∴0≤t≤100，∴y关于t的函数关系式为y＝200－2t（0≤t≤100）；
（2）∵7：
55－7：
30＝25（分钟），∴当t＝25分钟时，y＝200－2t＝200－50＝150（升），∴7：
55时，水箱内还有水150升；
（3）当y＝0时，200－2t＝0，解得t＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．
三、板书设计
1．函数的概念
2．函数自变量的取值范围
使函数有意义的自变量取值的全体，叫做函数自变量的取值范围．
3．函数值
在教学过程中，注意通过对以前学过的“常量与变量”的回顾与思考，提供生动有趣的问题情境，激发学生的学习兴趣；并通过层层深入的问题设计，引导学生进行观察、操作、交流、归纳等数学活动，在活动中归纳、概括出函数的概念；并通过师生交流、生生交流、辨析识别等加深学生对函数概念的理解．
19.1.2 函数的图象
第1课时 函数的图象
1．理解函数图象的意义；（重点）
2．能够结合实际情境，从函数图象中获取信息并处理信息．（难点）
一、情境导入
在太阳和月球引力的影响下，海水定时涨落的现象称为潮汐．如图是我国某港某天0时到24时的实时潮汐图．
图中的平滑曲线，如实记录了当天每一时刻的潮位，揭示了这一天里潮位y（m）与时间t（h）之间的函数关系．本节课我们就研究函数图象．
二、合作探究
探究点一：
函数的图象
【类型一】函数图象的意义
下列各图给出了变量x与y之间的对应关系，其中y是x的函数的是（ ）
解析：
∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，选项A对于x的每一个取值，y都有两个值，故A错误；选项B对于x的每一个取值，y都有两个值，故B错误；选项C对于x的每一个取值，y都有两个值，故C错误；选项D对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故D正确．故选D.
方法总结：
对于函数概念的理解：
①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．
【类型二】判断函数的大致图象
3月20日，小彬全家开车前往铜梁看油菜花，车刚离开家时，由于车流量大，行进非常缓慢，十几分钟后，汽车终于行驶在高速公路上，大约三十分钟后，汽车顺利到达铜梁收费站，停车交费后，汽车驶入通畅的城市道路，二十多分钟后顺利到达了油菜花基地，在以上描述中，汽车行驶的路程s（千米）与所经历的时间t（分钟）之间的大致函数图象是（ ）
解析：
行进缓慢，路程增加较慢；在高速路上行驶，路程迅速增加；停车交费，路程不变；驶入通畅的城市道路，路程增加但增加的比高速路上慢，故B符合题意．故选B.
方法总结：
此类题目，理解题意是解题关键，根据题干中提供的信息，及生活实际判断图象各阶段的变化情况和特征．
【类型三】由函数图象判断容器的形状
下雨时在室外放置一个无盖的容器，如果雨水均匀地落入容器，容器水面高度h与时间t的函数图象如图所示，那么这个容器的形状可能是（ ）
解析：
根据图象可以得到，杯中水的高度h随注水时间t的增大而增大，而增加的速度越来越小．则杯子应该是越向上开口越大．故杯子的形状可能是B.故选B.
方法总结：
解决此类问题，要在读懂题意的前提下，结合图象分析问题，并注意一些细节的描述，如在某段时间内的函数值的增减情况、变化趋势等．
探究点二：
函数图象的应用
【类型一】从函数图象上获取信息
小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的路程是多少米？
（2）小明在书店停留了多少分钟？
（3）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？
一共用了多少分钟？
（4）我们认为骑单车的速度超过300米/分就超越了安全限度．问：
在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？
解析：
根据图象进行分析即可．
解：
（1）根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，故小明家到学校的路程是1500米；
（2）根据题意，小明在书店停留的时间为从8分钟到12分钟，故小明在书店停留了4分钟；
（3）一共行驶的总路程为1200＋（1200－600）＋（1500－600）＝1200＋600＋900＝2700（米）；共用了14分钟；
（4）由图象可知：
0～6分钟时，平均速度为
＝200（米/分）；6～8分钟时，平均速度为
＝300（米/分）；12～14分钟时，平均速度为
＝450（米/分）．所以，12～14分钟时小明骑车速度最快，不在安全限度内．
方法总结：
解读图象反映的信息，关键是理解横轴和纵轴表示的实际意义，解决问题的过程中体现了数形结合思想．
【类型二】动点问题的函数图象
如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→B→C→D→A，设P点经过的路程为x，以点A，P，B为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反应y与x的函数关系的是（ ）
解析：
当点P由点A向点B运动，即0≤x≤4时，y的值为0；当点P在BC上运动，即4＜x≤8时，y随着x的增大而增大；当点P在CD上运动，即8＜
x≤12时，y不变；当点P在DA上运动，即12＜x≤16时，y随x的增大而减小．故选B.
方法总结：
解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．
三、板书设计
1．函数图象的意义
2．函数图象的应用
本课设计的学习内容都是学生所熟知的事情，情景导入是由实例入手，这些内容有利于学生联系实际，主动进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动．通过一些现实生活中用图象来反映的问题实例，让学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程．教学生如何观察分析图象，学会观察图象的一般步骤，利用问题串的形式引导学生逐步深入获得图象所传达的信息，逐步熟悉图象语言．
第2课时 函数的表示方法
1．了解函数的三种不同的表示方法并在实际情境中，会根据不同的需要，选择函数恰当的表示方法；（重点）
2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．（难点）
一、情境导入
问题：
（1）某人上班由于担心迟到所以一开始就跑，等跑累了再走完余下的路程，可以把此人距单位的距离看成是关于出发时间的函数，想一想我们用怎样的方法才能更好的表示这一函数呢？
（2）生活中我们经常遇到银行利率、列车时刻、国民生产总值等问题，想一想，这些问题在实际生活中又是如何表示的？
二、合作探究
探究点一：
函数的表示方法
【类型一】用列表法表示函数关系
有一根弹簧原长10厘米，挂重物后（不超过50克），它的长度会改变，请根据下面表格中的一些数据回答下列问题：
质量（克）
1
2
3
4
…
伸长量（厘米）
0.5
1
1.5
2
…
总长度（厘米）
10.5
11
11.5
12
…
（1）要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物多少克？
（2）当所挂重物为x克时，用h厘米表示总长度，请写出此时弹簧的总长度的函数表达式．
（3）当弹簧的总长度为25厘米时，求此时所挂重物的质量为多少克．
解析：
（1）根据挂重物每克伸长0.5厘米，要伸长5厘米，可得答案；
（2）根据挂重物与弹簧伸长的关系，可得函数解析式；（3）根据函数值，可得所挂重物质量．
解：
（1）5÷0.5×1＝10（克），
答：
要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物10克；
（2）函数的表达式：
h＝10＋0.5x（0≤x≤50）；
（3）当h＝25时，25＝10＋0.5x，x＝30，
答：
当弹簧的总长度为25厘米时，此时所挂重物的质量为30克．
方法总结：
列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．如成绩表、银行的利率表等．
【类型二】用图象法表示函数关系
如图描述了一辆汽车在某一直路上的行驶过程，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的关系，请根据图象回答下列问题：
（1）汽车共行驶的路程是多少？
（2）汽车在行驶途中停留了多长时间？
（3）汽车在每个行驶过程中的速度分别是多少？
（4）汽车到达离出发地最远的地方后返回，则返回用了多长时间？
解析：
根据图象解答即可．
解：
（1）由纵坐标看出汽车最远行驶路程是120千米，往返共行驶的路程是120×2＝240（千米）；
（2）由横坐标看出2－1.5＝0.5（小时），故汽车在行驶途中停留了0.5小时；
（3）由纵坐标看出汽车到达B点时的路程是80千米，由横坐标看出到达B点所用的时间是1.5小时，由此算出平均速度80÷1.5＝
（千米/时）；由纵坐标看出汽车从B到C没动，此时速度为0千米/时；由横坐标看出汽车从C到D用时3－2＝1（小时），从纵坐标看出行驶了120－80＝40（千米），故此时的平均速度为40÷1＝40（千米/时）；由纵坐标看出汽车返回的路程是120千米，由横坐标看出用时4.5－3＝1.5（小时），由此算出平均速度120÷1.5＝80（千米/时）；
（4）由横坐标看出4.5－3＝1.5小时，返回用了1.5小时．
方法总结：
图象法的优点是直观形象地表示自变量与相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等．
【类型三】用解析式法表示函数关系
一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩余油量为y（升），行驶路程为x（千米）．
（1）写出y与x的关系式；
（2）这辆汽车行驶35千米时，剩油多少升？
汽车剩油12升时，行驶了多千米？
（3）这辆车在中途不加油的情况下最远能行驶多少千米？
解析：
（1）根据总油量减去用油量等于剩余油量，可得函数解析式；
（2）根据自变量，可得相应的函数值，根据函数值，可得相应自变量的值；（3）令y＝0，求出x即可．
解：
（1）y＝－0.6x＋48；
（2）当x＝35时，y＝48－0.6×35＝27，∴这辆车行驶35千米时，剩油27升；当y＝12时，48－0.6x＝12，解得x＝60，∴汽车剩油12升时，行驶了60千米；
（3）令y＝0，－0.6x＋48＝0，解得x＝80，即这辆车在中途不加油的情况下最远能行驶80km.
方法总结：
解析式法有两个优点：
一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．
探究点二：
函数表示方法的综合运用
【类型一】分段函数及其表示
为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：
（1）若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；
（2）若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.80元/度计算（未超过部分仍按每度电0.50元计算）．现假设某户居民某月用电量是x（单位：
度），电费为y（单位：
元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（ ）
解析：
根据题意，当0≤x≤100时，y＝0.5x；当x＞100时，y＝100×0.5＋0.8（x－100）＝50＋0.8x－80＝0.8x－30，所以，y与x的函数关系为y＝
纵观各选项，只有C选项图形符合．故选C.
方法总结：
根据图象读取信息时，要把握住以下三个方面：
①横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量；②要求关于某个具体点，向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标；③在实际问题中，要注意图象与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义．
【类型二】函数与图形面积的综合运用
如图①所示，矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图②所示．
（1）求矩形ABCD的面积；
（2）求点M、点N的坐标；
（3）如果△ABP的面积为矩形ABCD面积的
，求满足条件的x的值．
解析：
（1）点P从点B运动到点C的过程中，运动路程为4时，面积发生了变化且面积达到最大，说明BC的长为4；当点P在CD上运动时，△ABP的面积保持不变，就是矩形ABCD面积的一半，并且运动路程由4到9，说明CD的长为5.然后求出矩形的面积；
（2）利用
（1）中所求可得当点P运动到点C时，△ABP的面积为10，进而得出M点坐标，利用AD，BC，CD的长得出N点坐标；（3）分点P在BC、CD、AD上时，分别求出点P到AB的距离，然后根据三角形的面积公式列式即可求出y关于x的函数关系式，进而求出x即可．
解：
（1）结合图形可知，P点在BC上，△ABP的面积为y增大，当x在4～9之间，△ABP的面积不变，得出BC＝4，CD＝5，∴矩形ABCD的面积为4×5＝20；
（2）由
（1）得当点P运动到点C时，△ABP的面积为10，则点M的纵坐标为10，故点M坐标为（4，10）．∵BC＝AD＝4，CD＝5，∴NO＝13，故点N的坐标为（13，0）；
（3）当△ABP的面积为矩形ABCD面积的
，则△ABP的面积为20×
＝4.
①点P在BC上时，0≤x≤4，点P到AB的距离为PB的长度x，y＝
AB·PB＝
×5x＝
，令
＝4，解得x＝1.6；
②点P在CD上时，4≤x≤9，点P到AB的距离为BC的长度4，y＝
AB·PB＝
×5×4＝10（不合题意，舍去）；
③点P在AD上时，9≤x≤13时，点P到AB的距离为PA的长度13－x，y＝
AB·PA＝
×5×（13－x）＝
（13－x），令
（13－x）＝4，解得x＝11.4，
综上所述，满足条件的x的值为1.6或11.4.
方法总结：
函数图象与图形面积是运用数形结合思想的典型问题，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义．
三、板书设计
1．函数的三种表示方法
（1）列表法；
（2）图象法；
（3）解析式法．
2．函数表示方法的综合运用
函数表示法这节课的难点在于针对不同的问题
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