最新中考数学复习专题特殊平行四边形.doc

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2017---2018学年中考数学复习专题--《特殊平行四边形》

评卷人

得分

一．选择题（共12小题）

1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）

A．对边平行且相等 B．对角线互相平分

C．对角线互相垂直 D．对角互补

2．能判定一个四边形是菱形的条件是（　　）

A．对角线互相平分且相等

B．对角线互相垂直且相等

C．对角线互相垂直且对角相等

D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角

3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）

A．对边分别相等 B．对角分别相等

C．对角线互相平分 D．对角线相等

4．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（　　）

A．AB=CD，AD=BC，∠A=90° B．OA=OB=OC=OD

C．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD

5．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是

（　　）

A．相等 B．互相垂直

C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分

6．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（　　）

A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm

7．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（　　）

A．16 B．15 C．14 D．13

8．如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB=2，BC=3，则EF：

GH=（　　）

A．2：

3 B．3：

2 C．4：

9 D．无法确定

9．如图：

点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（　　）

A．12 B．6 C．12.5 D．25

10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（　　）

A．80° B．70° C．65° D．60°

11．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（　　）

A．55° B．50° C．45° D．35°

12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：

①FB⊥OC，OM=CM；

②△EOB≌△CMB；

③四边形EBFD是菱形；

④MB：

OE=3：

2．

其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

评卷人

得分

二．填空题（共6小题）

13．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于　　度．

14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为　　．

15．如图：

在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是　　．

16．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：

①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是　　．

17．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2=　　．

18．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为　　．

评卷人

得分

三．解答题（共6小题）

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．

（1）证明：

四边形ADCE为菱形．

（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．

20．已知，如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．

21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．

求证：

GE与FD互相垂直平分．

22．如图：

在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．

（1）求证：

四边形AECF为矩形；

（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；

（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．

23．如图：

矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．

（1）判断△BEC的形状，并说明理由？

（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？

并证明你的判断；

（3）求四边形EFPH的面积．

24．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．

（1）求证：

BD=DF；

（2）求证：

四边形BDFG为菱形；

（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．

2017---2018学年中考数学复习专题--《特殊平行四边形》

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）

A．对边平行且相等 B．对角线互相平分

C．对角线互相垂直 D．对角互补

【解答】解：

A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误；

B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误；

C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以C选项正确；

D、平行四边形的对角相等，所以D选项错误．

故选C．

2．能判定一个四边形是菱形的条件是（　　）

A．对角线互相平分且相等

B．对角线互相垂直且相等

C．对角线互相垂直且对角相等

D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角

【解答】解：

∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

∴A、B、D都不正确．

∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

故C正确．

故选C．

3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）

A．对边分别相等 B．对角分别相等

C．对角线互相平分 D．对角线相等

【解答】解：

矩形的性质有：

①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；

菱形的性质有：

①菱形的四条边都相等，且对边平行，②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；

∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，

故选D．

4．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（　　）

A．AB=CD，AD=BC，∠A=90° B．OA=OB=OC=OD

C．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD

【解答】解：

如图：

A、∵AB=CD，AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵∠BAD=90°，

∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；

B、∵OA=OB=OC=OD，

∴AC=BD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；

C、∵AB=CD，AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AC=BD，

∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；

D、∵AB∥CD，AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

根据OA=OC，OB=OD不能推出平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；

故选D．

5．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是

（　　）

A．相等 B．互相垂直

C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分

【解答】解：

因为原四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的关系：

①原四边形对角线相等，所得的四边形是菱形；

②原四边形对角线互相垂直，所得的四边形是矩形；

③原四边形对角线既相等又垂直，所得的四边形是正方形；

④原四边形对角线既不相等又不垂直，所得的四边形是平行四边形．

因为顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，所以四边形ABCD的对角线AC和BD相等．

故选A．

6．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（　　）

A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm

【解答】解：

如图：

∵菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm，

∴OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，

在直角三角形AOD中AD===5cm．

故选D．

7．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（　　）

A．16 B．15 C．14 D．13

【解答】解：

连结EF，AE与BF交于点O，如图，

∵AO平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AF∥BE，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴AB=EB，

同理：

AF=BE，

又∵AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∴四边形ABEF是菱形，

∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：

OA===8，

∴AE=2OA=16．

故选：

A．

8．如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB=2，BC=3，则EF：

GH=（　　）

A．2：

3 B．3：

2 C．4：

9 D．无法确定

【解答】解：

过F作FM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，

则∠4=∠5=90°=∠AMF

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AB∥CD，∠A=∠D=90°=∠AMF，

∴四边形AMFD是矩形，

∴FM∥AD，FM=AD=BC=3，

同理HN=AB=2，HN∥AB，

∴∠1=∠2，

∵HG⊥EF，

∴∠HOE=90°，

∴∠1+∠GHN=90°，

∵∠3+∠GHN=90°，

∴∠1=∠3=∠2，

即∠2=∠3，∠4=∠5，

∴△FME∽△HNG，

∴==

∴EF：

GH=AD：

CD=3：

2．

故选B．

9．如图：

点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（　　）

A．12 B．6 C．12.5 D．25

【解答】解：

如图，连接CP．

∵∠C=90°，AC=3，BC=4，

∴AB===25，

∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，

∴四边形CFPE是矩形，

∴EF=CP，

由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，

此时，S△ABC=BC•AC=AB•CP，

即×20×15=×25•CP，

解得CP=12．

故选A．

10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（　　）

A．80° B．70° C．65° D．60°

【解答】解：

如图，连接BF，

在△BCF和△DCF中，

∵CD=CB，∠DCF=∠BCF，CF=CF

∴△BCF≌△DCF

∴∠CBF=∠CDF

∵FE垂直平分AB，∠BAF=×80°=40°

∴∠ABF=∠BAF=40°

∵∠ABC=180°﹣80°=100°，∠CBF=100°﹣40°=60°

∴∠CDF=60°．

故选D．

11．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（　　）

A．55° B．50° C．45° D．35°

【解答】解：

延长PF交AB的延长线于点G．如图所示：

在△BGF与△CPF中，，

∴△BGF≌△CPF（ASA），

∴GF=PF，

∴F为PG中点．

又∵由题可知，∠BEP=90°，

∴EF=PG，

∵PF=PG，

∴EF=PF，

∴∠FEP=∠EPF，

∵∠BEP=∠EPC=90°，

∴∠BEP﹣∠FEP=∠EPC﹣∠EPF，即∠BEF=∠FPC，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=BC，∠ABC=180°﹣∠A=70°，

∵E，F分别为AB，BC的中点，

∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=（180°﹣70°）=55°，

∴∠FPC=55°；

故选：

A．

12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：

①FB⊥OC，OM=CM；

②△EOB≌△CMB；

③四边形EBFD是菱形；

④MB：

OE=3：

2．

其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：

连接BD，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，AC、BD互相平分，

∵O为AC中点，

∴BD也过O点，

∴OB=OC，

∵∠COB=60°，OB=OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，

在△OBF与△CBF中

∴△OBF≌△CBF（SSS），

∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，

∴FB⊥OC，OM=CM；

∴①正确，

∵∠OBC=60°，

∴∠ABO=30°，

∵△OBF≌△CBF，

∴∠OBM=∠CBM=30°，

∴∠ABO=∠OBF，

∵AB∥CD，

∴∠OCF=∠OAE，

∵OA=OC，

易证△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∴OB⊥EF，

∴四边形EBFD是菱形，

∴③正确，

∵△EOB≌△FOB≌△FCB，

∴△EOB≌△CMB错误．

∴②错误，

∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，

∴MB=，OF=，

∵OE=OF，

∴MB：

OE=3：

2，

∴④正确；

故选：

C．

二．填空题（共6小题）

13．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于　75　度．

【解答】解：

连接BD，

∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，

∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，

∵P为AB的中点，

∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，

∴∠PDC=90°，

∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，

在△DEC中，∠DEC=180°﹣（∠CDE+∠C）=75°．

故答案为：

75．

14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为　4　．

【解答】解：

过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，

∵A，B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3，1，

∴A，B横坐标分别为1，3，

∴AE=2，BE=2，

∴AB=2，

S菱形ABCD=底×高=2×2=4，

故答案为4．

15．如图：

在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是　3　．

【解答】解：

如图，连接CE，

，

设DE=x，则AE=8﹣x，

∵OE⊥AC，且点O是AC的中点，

∴OE是AC的垂直平分线，

∴CE=AE=8﹣x，

在Rt△CDE中，

x2+42=（8﹣x）2

解得x=3，

∴DE的长是3．

故答案为：

3．

16．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：

①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是　①②④　．

【解答】解：

令GF和AC的交点为点P，如图所示：

∵E、F分别是OC、OD的中点，

∴EF∥CD，且EF=CD，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD，且AB=CD，

∴∠FEG=∠BGE（两直线平行，内错角相等），

∵点G为AB的中点，

∴BG=AB=CD=FE，

在△EFG和△GBE中，，

∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，

∴∠EGF=∠GEB，

∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），

∵BD=2BC，点O为平行四边形对角线交点，

∴BO=BD=BC，

∵E为OC中点，

∴BE⊥OC，

∴GP⊥AC，

∴∠APG=∠EPG=90°

∵GP∥BE，G为AB中点，

∴P为AE中点，即AP=PE，且GP=BE，

在△APG和△EGP中，，

∴△APG≌△EPG（SAS），

∴AG=EG=AB，

∴EG=EF，即①成立，

∵EF∥BG，GF∥BE，

∴四边形BGFE为平行四边形，

∴GF=BE，

∵GP=BE=GF，

∴GP=FP，

∵GF⊥AC，

∴∠GPE=∠FPE=90°

在△GPE和△FPE中，，

∴△GPE≌△FPE（SAS），

∴∠GEP=∠FEP，

∴EA平分∠GEF，即④成立．

故答案为：

①②④．

17．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2=　30°　．

【解答】解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，

∴OB=OC，OB=OA，

∴∠OCB=∠OBC，

∵AB=BE，∠ABE=90°，

∴∠BAE=∠AEB=45°，

∵∠1=15°，

∴∠OCB=∠AEB﹣∠EAC=45°﹣15°=30°，

∴∠OBC=∠OCB=30°，

∴∠AOB=30°+30°=60°，

∵OA=OB，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB=OB，

∵∠BAE=∠AEB=45°，

∴AB=BE，

∴OB=BE，

∴∠OEB=∠EOB，

∵∠OBE=30°，∠OBE+∠OEB+∠BEO=180°，

∴∠OEB=75°，

∵∠AEB=45°，

∴∠2=∠OEB﹣∠AEB=30°，

故答案为：

30°．

18．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为　　．

【解答】解：

连接OP，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB=90°，AC=2AO=2OC，BD=2BO=2DO，AC=BD，

∴OA=OD=OC=OB，

∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC=S矩形ABCD=×6×8=12，

在Rt△BAD中，由勾股定理得：

BD===10，

∴AO=OD=5，

∵S△APO+S△DPO=S△AOD，

∴×AO×PE+×DO×PF=12，

∴5PE+5PF=24，

PE+PF=，

故答案为：

．

三．解答题（共6小题）

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．

（1）证明：

四边形ADCE为菱形．

（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．

【解答】证明：

（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，

∴CD=AB=AD，

又∵AE∥CD，CE∥AB

∴四边形ADCE是平行四边形，

∴平行四边形ADCE是菱形；

（2）在Rt△ABC中，AC===8．

∵平行四边形ADCE是菱形，

∴CO=OA，

又∵BD=DA，

∴DO是△ABC的中位线，

∴BC=2DO．

又∵DE=2DO，

∴BC=DE=6，

∴S菱形ADCE===24．

20．已知，如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．

【解答】答：

四边形BFDE的形状是菱形，

理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，OB=OD，

∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，

∴△OED≌△OFB，

∴DE=BF，

又∵ED∥BF，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵EF⊥BD，

∴▱BEDF是菱形．

21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．

求证：

GE与FD互相垂直平分．

【解答】证明：

∵DE⊥AC，DG⊥AB，EK⊥AB，GH⊥AC，

∴∠DGB=∠DEC=90°，EK∥DG，DE∥GH，

∴四边形DEFG是平行四边形，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△DGB和△DEC中，

，

∴△DGB≌△DEC（AAS），

∴DG=DE，

∵四边形DEFG是平行四边形，

∴四边形DEFG是菱形，

∴GE与FD互相垂直平分．

22．如图：

在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．

（1）求证：

四边形AECF为矩形；

（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；

（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．

【解答】

（1）证明：

∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，

∴∠AEC=∠AFC=90°，

又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，

∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，

∴∠ACE+∠ACF=（∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）=×180°=90°，

∴三个角为直角的四边形AECF为矩形．

（2）结论：

MN∥BC且MN=BC．

证明：

∵四边形AECF为矩形，

∴对角线相等且互相平分，

∴NE=NC，

∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，

∴MN∥BC，

又∵AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），

∴N是AC的中点，

若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，

则M1N是△ABC的中位线，MN∥BC，

而MN∥BC，M1即为点M，

所以MN是△ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM=BM）

∴MN=BC；

法二：

延长MN至K，使NK=MN，

因为对角线互相平分，

所以AMCK是平行四边形，KC∥MA，KC=AM因为MN∥BC，

所以MBCK是平行四边形，MK=BC，

所以MN=BC

（3）解：

△ABC是直角三角形（∠AC