课堂设计高中数学 123 空间中的垂直关系2 平面与平面垂直学案 新人教B版必修2.docx

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课堂设计高中数学123空间中的垂直关系2平面与平面垂直学案新人教B版必修2

1.2.3　空间中的垂直关系

（2）——平面与平面垂直

自主学习

学习目标

1．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理，判定两个平面互相垂直．

2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能利用该定理作平面的垂线．

3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．

自学导引

1．如果两个相交平面的交线与第三个平面______，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相______，就称这两个平面互相垂直．

2．如果一个平面过另一个平面的__________，则两个平面互相垂直．

3．如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们________的直线垂直于另一个平面．

对点讲练

知识点一　面面垂直的证明

例1

如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点．

求证：

平面EDB⊥平面ABCD.

点评　将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键，另外利用面面垂直的定义求二面角的平面角是90°（如例1）．

变式训练1　

如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．

求证：

平面BEF⊥平面BGD.

知识点二　面面垂直的性质定理的应用

例2

如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

（1）若G为AD边的中点，求证：

BG⊥平面PAD；

（2）求证：

AD⊥PB.

点评　证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：

（1）两个平面垂直；

（2）直线必须在其中一个平面内；（3）直线必须垂直于它们的交线．

变式训练2　如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝

a，E为PA的中点．求证：

平面EDB⊥平面ABCD.

知识点三　线线、线面、面面垂直的综合应用

例3

如图所示，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．

（1）求证：

PA⊥平面ABC；

（2）当E为△PBC的垂心时，求证：

△ABC是直角三角形．

点评　证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面，有时需考虑多种情况的综合．

在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．

变式训练3　在直三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，AB＝BC.能否在侧棱BB1上找到一点E，使得截面A1EC⊥侧面AA1C1C？

若能找到，指出点E的位置；若不能找到，说明理由．

1．面面垂直的证法

（1）定义法；

（2）判定定理法．

2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．至此判定线面垂直的方法主要有以下五种：

（1）线面垂直的定义；

（2）线面垂直的判定定理；

（3）面面垂直的性质定理；

（4）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，

b⊥α.

（5）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，

a⊥β.

课时作业

一、选择题

1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则（　　）

A．a⊥βB．a∥β

C．a与β相交D．以上都有可能

2．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有（　　）

A．0条B．1条C．2条D．无数条

3．已知m、n为不重合的直线，α、β、γ为不重合的平面，则下列命题中正确的是（　　）

A．m⊥α，nβ，m⊥nα⊥β

B．α⊥γ，β⊥γα∥β

C．α∥β，m⊥α，n∥βm⊥n

D．α⊥β，α∩β＝m，n⊥mn⊥β

4.

如图所示，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，则在平面PAB、平面PAD、平面PCD、平面PBC及平面ABCD中，互相垂直的有（　　）

A．3对B．4对C．5对D．6对

5.

如图所示，在立体图形D—ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是（　　）

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

题　号

1

2

3

4

5

答　案

二、填空题

6．已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：

①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；

②mα，lβ，且l⊥m，则α⊥β；

③若lβ，且l⊥α，则α⊥β；

④若mα，lβ，且α∥β，则l∥m.

其中正确的命题的序号是________．

7．空间四边形VABC的各边及对角线均为1，M是VB的中点，则平面ACM与平面VAB的位置关系是________．

8.

如图所示，已知，PA垂直于圆O所在平面．AB是圆O的直径，C是圆周上一点．则图中面面垂直的共有________对．

三、解答题

9．在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：

BC⊥AB.

10.

如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：

（1）DE＝DA；

（2）平面BDM⊥平面ECA；

（3）平面DEA⊥平面ECA.

【答案解析】

自学导引

1．垂直　垂直

2．一条垂线

3．交线

对点讲练

例1

　证明　连接AC，设AC、BD交点为F，连接EF，

∴EF是△SAC的中位线，

∴EF∥SC.

∵SC⊥平面ABCD，

∴EF⊥平面ABCD.

又EF平面EDB，

∴平面EDB⊥平面ABCD.

变式训练1　证明　∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，

∴AC⊥平面BGD.

又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD.

∵EF平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF.

例2

　证明　

（1）连接PG，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴PG⊥平面ABCD，

∴PG⊥BG.

又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，

∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.

又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.

（2）由

（1）可知BG⊥AD，PG⊥AD.

所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.

变式训练2　证明　设AC∩BD＝O，连接EO，

则EO∥PC.

∵PC＝CD＝a，PD＝

a，

∴PC2＋CD2＝PD2，

∴PC⊥CD.

∵平面PCD⊥平面ABCD，

CD为交线，

∴PC⊥平面ABCD，

∴EO⊥平面ABCD.

又EO平面EDB，

∴平面EDB⊥平面ABCD.

例3

　证明　

（1）在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.

∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，

∴DF⊥平面PAC，PA平面PAC，∴DF⊥AP.

作DG⊥AB于G.

同理可证DG⊥AP.

DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，

∴PA⊥平面ABC.

（2）连接BE并延长交PC于H.

∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.

又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.

∴PC⊥面ABE.∴PC⊥AB.

又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.

又PC∩PA＝P，∴AB⊥平面PAC.

∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．

变式训练3　解　

假设能够找到符合题意的点E.如图所示，作EM⊥A1C于点M.因为截面A1EC⊥侧面AA1C1C，所以EM⊥侧面AA1C1C.取AC的中点N，连接MN，BN，因为AB＝BC，

所以BN⊥AC.

又因为AA1⊥BN，

所以BN⊥侧面AA1C1C，所以BN∥EM.

因为平面BEMN∩平面AA1C1C＝MN，

BE∥平面AA1C1C，所以BE∥MN∥A1A.

因为AN＝NC，所以A1M＝MC.

因为四边形BEMN为矩形，所以BE＝MN＝

A1A.

所以当E为BB1的中点时，平面A1EC⊥侧面AA1C1C.

课时作业

1．D

2．A　[若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．]

3．C　

4．C　[面PAB⊥面AC，面PAB⊥面PBC，

面PAD⊥面AC，面PAD⊥面PCD，面PAB⊥面PAD.]

5．C　[∵AB＝CB，且E是AC的中点，

∴BE⊥AC.同理有DE⊥AC.

∴AC⊥平面BDE.∵AC平面ABC，

∴平面ABC⊥平面BDE.

又AC平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDE.]

6．①③　7.垂直　8.3

9.

证明　在平面PAB内，

作AD⊥PB于D.

∵平面PAB⊥平面PBC，

且平面PAB∩平面PBC＝PB.

∴AD⊥平面PBC.又BC平面PBC，∴AD⊥BC.

又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB.

又AB平面PAB，∴BC⊥AB.

10．证明　

（1）如图所示，取EC的中点F，

连接DF.

∵EC⊥BC，DF∥BC，

∴DF⊥EC.

在Rt△EFD和Rt△DBA中，

∵EF＝

EC＝BD，FD＝BC＝AB，

∴Rt△EFD≌Rt△DBA，故ED＝DA.

（2）取CA的中点N，连接MN、BN，

则

EC.

∴MN∥BD，∴N点在平面BDM内．

∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.

又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.

∵BN在平面MBD内，∴平面MBD⊥平面ECA.

（3）∵BD

EC，MN

EC，

∴MNBD为平行四边形．

∴DM∥BN.又BN⊥平面ECA，

∴DM⊥平面ECA.又DM平面DEA，

∴平面DEA⊥平面ECA.