D.1≤k≤2
2.（创新题推荐）
（2020荆州）我们约定：
（a，b，c）为函数y＝ax2＋bx＋c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，－m－2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数）．则这个函数图象上整交点的坐标为________．
3.已知：
抛物线y＝ax2＋4ax＋b（a＞0）的顶点A在x轴上，与y轴交于点B.
（1）用含a的代数式表示b；
（2）若∠BAO＝45°，求a的值；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不包含边界）恰好没有整点，结合函数的图象，求a的取值范围．
4.（2020河北黑马卷）如图，是反比例函数y＝
（x＞0）的部分图象，阴影部分表示它与横纵坐标轴正半轴围成的区域，在该区域内（不包括边界）的整数点的个数是k，则抛物线y＝－（x－2）2－2向上平移k个单位后得到的图象是（ ）
第4题图
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5.（2020唐山路南区一模）如图，抛物线L：
y＝－（x－t）2＋t＋2，直线l：
x＝2t与抛物线、x轴分别相交于Q、P.
（1）当t＝3时，求Q点的坐标；
（2）当P、Q两点重合时，求t的值；
（3）当Q点最高时（t≠0），求抛物线解析式；
（4）在抛物线L与x轴所围成的封闭图形的边界上，我们把横坐标是整数的点称为“可点”，直接写出2＜t＜3时，“可点”的个数为________．
第5题图
第九节 二次函数的简单综合
课时1 交点问题
1.D 【解析】∵二次函数与x轴有两个交点，则（2a－3）2－4（a－1）（a－4）>0，解得a>
，∵a≠1，∴最小整数可取a＝2，则二次函数解析式为y＝x2－x－2.令y＝x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2，∴二次函数与x轴的交点为（－1，0）和（2，0）．将图象在x轴上方的部分翻折后如解图所示，直线y＝kx－2经过新图象与y轴的交点．当直线经过点（－1，0）、（2，0）及与抛物线在－1＜x＜2之间只有一个交点时，抛物线与直线恰好有三个公共点．①当直线过点（－1，0）时，则k＝－2；②当直线过点（2，0）时，k＝1；③当直线与新图象在－1＜x＜2之间只有一个交点时，x2－x－2＝kx－2，则有1＋k＝0，解得k＝－1；综上所述，k的值不能是2.
第1题解图
2.D 【解析】令y＝0，即x2－2ax＋a2－2a－4＝0，∴b2－4ac＝（－2a）2－4（a2－2a－4）＝4a2－4a2＋8a＋16＝8a＋16≥0.∴a≥－2，∵对称轴为直线x＝－
＝a，抛物线开口向上，且当x>3时，y随x的增大而增大，∴a≤3，∴a的取值范围的是－2≤a≤3.
3.c≥7 【解析】将A（－1，0），B（3，0）代入y＝ax2＋bx＋3得
，解得
，
∵要使抛物线y＝－x2＋2x＋3与直线y＝－2x＋c有两个交点，∴b2－4ac≤0，即16＋4（3－c）≤0，解得c≥7.
4.解：
（1）∵抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1过点B（3，5），
∴把B（3，5）代入y＝x2－2mx＋m2＋2m－1，整理得，m2－4m＋3＝0，
解得m1＝1，m2＝3，
当m＝1时，y＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，
其顶点A的坐标为（1，1）；
当m＝3时，y＝x2－6x＋14＝（x－3）2＋5，
其顶点A的坐标为（3，5）；
综上所述，顶点A的坐标为（1，1）或（3，5）；
（2）∵y＝x2－2mx＋m2＋2m－1＝（x－m）2＋2m－1，
∴顶点A的坐标为（m，2m－1），
∵点A的坐标记为（x，y），
∴x＝m，
∴y＝2x－1；
（3）由
（2）可知，抛物线的顶点在直线y＝2x－1上运动，且抛物线形状不变，
由
（1）知，当m＝1或3时，抛物线过B（3，5），
把C（0，2）代入y＝x2－2mx＋m2＋2m－1，得m2＋2m－1＝2，
解得m＝1或m＝－3，
∵当m＝1或－3时，抛物线经过点C（0，2），
如解图所示，当m＝－3或3时，抛物线与线段BC只有一个交点（即线段CB的端点），
当m＝1时，抛物线同时过点B、C，不合题意，
∴m的取值范围是－3≤m≤3且m≠1.
第5题解图
5.D 【解析】把A（1，1）代入y＝ax2得a＝1；把B（3，1）代入y＝ax2得a＝
，所以a的取值范围为0＜a＜
或a＞1.
6.解：
（1）当a＝0时，抛物线表达式为y＝x2－2x－3，
当x＝0时，y＝－3.
∴点A的坐标为（0，－3），
∴点B的坐标为（4，－3）；
（2）如解图①，当a＝0时，图形M与线段AB恰有三个公共点，
如解图②，当a＝－3时，图形M与线段AB恰有一个公共点，
如解图③，当a＝1时，图形M与线段AB恰有两个公共点，
综上所述，当－3＜a＜0或a＝1时，图形M与线段AB恰有两个公共点．
图①
图②
图③
第6题解图
7.A 【解析】根据题图可得，抛物线y＝ax2的图象经过点（1，3）时，a取得最大值，此时a＝3；抛物线y＝ax2的图象经过点（3，1）时，a取得最小值，此时9a＝1，解得a＝
.∴实数a的取值范围为
≤a≤3.
课时2 整点问题
1.C 【解析】如解图，当反比例函数y＝
（x＞0）的图象经过点（1，2）、（2，1），即k＝xy＝2时，围成的阴影部分（包括边界）的整点刚好为5个，当反比例函数y＝
（x＞0）的图象经过点（1，1），即k＝xy＝1时，围成的阴影部分（包括边界）的整点刚好为6个，∵围成的阴影部分（包括边界）的整点个数为5，∴k的取值范围为1第1题解图
2.（1，0）或（2，0）或（0，2） 【解析】将关联数为（m，－m－2，2）代入函数y＝ax2＋bx＋c得y＝mx2＋（－m－2）x＋2，∵关联数为（m，－m－2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），令y＝0，即mx2＋（－m－2）x＋2＝0，因式分解得（mx－2）（x－1）＝0，又∵关联数为（m，－m－2，2）的函数图象与x轴有两个整交点，即b2－4ac>0，∴m＝1，∴y＝x2－3x＋2，与x轴交点即y＝0解得x＝1或x＝2，即坐标为（1，0）或（2，0），与y轴交点即x＝0解得y＝2，即坐标为（0，2），∴这个函数图象上整交点的坐标为（1，0）或（2，0）或（0，2）．
3.解：
（1）∵y＝ax2＋4ax＋b＝a（x＋2）2＋（b－4a），
∴该抛物线顶点A的坐标为（－2，b－4a），
∵顶点A在x轴上，
∴b－4a＝0，
即b＝4a；
（2）∵b＝4a，
∴抛物线为y＝ax2＋4ax＋4a（a＞0），
∵抛物线的顶点为A（－2，0），与y轴的交点B（0，4a）在y轴的正半轴，∠BAO＝45°，
∴OB＝OA＝2，
∴4a＝2，
∴a＝
；
（3）0＜a≤
或a＝1.
【解法提示】∵点A（－2，0），点B（0，4a），设直线AB的函数解析式为y＝mx＋n，
，得
，即直线AB的解析式为y＝2ax＋4a，如解图①，当直线AB过点（－1，1）时，1＝－2a＋4a，解得a＝
，如解图②，当直线AB过点（－1，2）时，2＝－2a＋4a，解得a＝1；抛物线的顶点固定，a越大，开口越小，直线AB，a越大，点B的纵坐标越大．结合函数图象，a的取值范围为0＜a≤
或a＝1.
图①
图②
第3题解图
4.A 【解析】如解图，反比例函数y＝
（x>0）的图象与坐标轴围成的区域内（不包括边界）的整数点的个数为5个，即k＝5，∴抛物线y＝－（x－2）2－2向上平移5个单位后可得y＝－（x－2）2＋3，即y＝－x2＋4x－1，∴得到的图象如选项A所示．
第4题解图
5.
（1）解：
t＝3时，抛物线L：
y＝－（x－3）2＋5，直线l：
x＝6，
将x＝6代入y＝－（x－3）2＋5，y＝－4，∴Q点的坐标为（6，－4）；
（2）∵P（2t，0），Q（2t，－t2＋t＋2），当P、Q两点重合时，
∴－t2＋t＋2＝0，t＝2或t＝－1；
（3）∵Q点的纵坐标为－t2＋t＋2，
∴当t＝－
＝
时，Q点的纵坐标最大，Q点达到最高，
∴此时，抛物线解析式为y＝－（x－
）2＋
；
（4）8或9或10个．
【解法提示】令y＝0，则x＝t±
，
∵2∴0<3－
，4<3＋
，
∴当4当x2＝5时，x轴上有横坐标为1，2，3，4，5的5个“可点”，抛物线上有横坐标为1，2，3，4的4个“可点”，共9个；
当5时，x轴和抛物线上都有横坐标为1，2，3，4，5的共10个“可点”；
综上所述，有8或9或10个“可点”．
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