二次函数综合练习.docx

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二次函数综合练习

暑假作业

1.如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，-3）

（1）求此二次函数的解析式；

（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为8，请直接写出点P的坐标． 

2.已知二次函数y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）． 

（1）求证：

不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； 

（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D． 

①当△ABC的面积等于1时，求a的值； 

②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值． 

3.已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x﹣5=0的两根．

（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：

S△ACD的值；

（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．

4.水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克． 

（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？

（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系． 

①求y与x之间的函数关系式； 

②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？

最大利润是多少？

（利润=销售收入﹣进货金额）

5.为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：

由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：

y=﹣10x+500．

（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

6.已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．

（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；

（2）当BC多长时，△ABC的面积最大？

最大面积是多少？

（3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？

如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．

7.今年，6月12日为端午节。

在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况。

请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题。

8.已知：

直线y=ax+b过抛物线y=﹣x²﹣2x+3的顶点P，如图所示．

（1）顶点P的坐标是 （，） ； 

（2）若直线y=ax+b经过另一点A（0，11），求出该直线的表达式； 

（3）在

（2）的条件下，若有一条直线y=mx+n与直线y=ax+b关于x轴成轴对称，求直线y=mx+n与抛物线y=﹣x²﹣2x+3的交点坐标．

9.如图，等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB的长为x米．

（1）请求出底边BC的长（用含x的代数式表示）；

（2）若∠BAD=60°，该花圃的面积为S米2．

①求S与x之间的函数关系式（要指出自变量x的取值范围），并求当S=93根号三时x的值；②如果墙长为24米，试问S有最大值还是最小值？

这个值是多少？

10.如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）． 

（1）求抛物线的解析式和抛物线的对称轴； 

（2）在对称轴上是否存在一点P，使得PA+PC最短，若存在，求出P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）在对称轴上是否存在一点Q。

使得/QC-QB/若存在，求出Q的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点M事线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M的坐标。

11.如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（

，

）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

12.如图，抛物线y=﹣

x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？

如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？

求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

13.如图，已知抛物线

与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．

（1）直接写出A、D、C三点的坐标；

（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；

（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

14.如图，抛物线交x轴于点A（﹣2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，﹣4）．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）若直线y=﹣x交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC．试判断△EBC的形状，并加以证明；

（3）设P为直线MN上的动点，过P作PF∥ED交直线MN下方的抛物线于点F．问：

在直线MN上是否存在点P，使得以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

15.如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点

，OA=1，BO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC．抛物线

经过点A、B、C．

（1）求抛物线的解析式．

（2）求抛物线的顶点坐标

（3）求△ABC的面积

（4）求直线CD的解析式

（5）直线y=x/3+m，当m为何值时与抛物线有一个交点？

二个交点？

没有交点？

（6）设抛物线对称轴l，在l上是否存在一点P，使得PA+PB最短？

若存在，求出p点坐标；若不存在请说明理由。

 （7）设抛物线对称轴l，在l上是否存在一点Q，使得/QC-QB/最长？

若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由。

（8）设抛物线对称轴l，在l上是否存在一点M，使得△MCD是以CD为腰的等腰三角形？

若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由。

（9）若点S是第二象限内抛物线上的动点，过S作x轴的垂线交CD于M，是否存在一点S，使得以四边形SMDB为平行四边形，若存在，求出S点坐标；若不存在，请说明理由。

（10）若点T是第二象限内抛物线上的动点，是否存在一点T，使得△TCD的面积最大？

若存在，求出△TCD的面积的最大值，并求出此时T点的坐标；若不存在，请说明理由。

16.在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套.设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套.

（1）求出y与x的函数关系式.

（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14

000元？

（3）当销售单价为多

少元时，才能在一个月内获得最大利润？

最大利润是多少？

17.某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：

基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？

下面是两位学生争议的情境：

请根据上面的信息，解决问题：

（1）设AB=x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长； 

（2）请你判断谁的说法正确，为什么？

18.某水果店销售某中水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间第x月满足函数关系式y2=mx2﹣8mx+n，其变化趋势如图2．

（1）求y2的解析式；

（2）第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？

最大利润是多少？

19.已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-1,0）,B（2,0），C（0,2）三点。

（1）求这条抛物线的解析式。

（2）如图，点P是第一项先内此抛物线的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？

求出此时点P的坐标。

图：

20.如图，已知抛物线y=-1/2x²+bx+c图像经过A（-1,0），B（4,0）两点。

（1）求抛物线的解析式

（2）若C（m，m-1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与AB重合）过D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F.①求证：

四边形DECF是矩形；②连接EF，线段EF的长是否存在最小值？

若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由。

图：

21.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+

bx+4与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；

（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？

若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

22已知抛物线l：

y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．

（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是（　　），衍生直线的解析式是（　 　）；

（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；

（3）如图，设

（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？

若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说

明理由．

23.如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线y=ax2﹣10ax+c经过点C，顶点M在直线BC上

（1）证明四边形ABCD是菱形，并求点D的坐标；

（2）求抛物线的对称轴和函数表达式；

（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PBD与△PCD的面积相等？

若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

24.如图1，已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点． 

（1）求抛物线的解析式； 

（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标； 

25.已知抛物线：

y1=-½x²+2x

（1）求抛物线y2的解析式．

（2）将抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y2。

求抛物线y2的解析式。

（3）如图，抛物线y2的顶点为P，x轴上有一动点M，在y1、y2这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？

若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

26.如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合 

（1）直接写出点A、B的坐标：

A（____________，____________）、B（____________，____________）； 

（2）若抛物线y=﹣

x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是____________； 

（3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？

若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由； 

（4）当

≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值． 

27.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（0，3），B（6，3），C（6，0），抛物线

过点A。

（1）（2分）求c的值；   ．

（2）（6分）若a＝－l，且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E，求△ADE的面积S的最大值；

（3）（6分）若抛物线与矩形有且只有三个交点A、M、N，线段MN的垂直平分线l过点O，交线段BC于点F。

当BF＝1时，求抛物线的解析式．