专题211轨迹方程问题的探讨讲高考数学理二轮复习讲练测附解析.docx

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专题211轨迹方程问题的探讨讲高考数学理二轮复习讲练测附解析

专题2.11轨迹方程问题的探讨（讲）

-2017年高考数学（理）二轮复习讲练测

纵观近几年高考轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度.有的学生看到就头疼的题目.分析原因除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.

求轨迹方程的基本方法有：

直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等.

1、直接法：

也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两

点间距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简.这种求轨迹方程的过程不需要特

殊的技巧，它是求轨迹方程的基本方法.

例1一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？

思路分析：

此题中利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，得到OM=

这一等量关系，是此

题成功的关键所在.

1）代入题设中的已知等量关系：

若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹.

2）列出符合题设条件的等式：

有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程.

3）运用有关公式：

有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程.

4）借助平几中的有关定理和性质：

有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.

2．定义法：

如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，

则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程.

例2已知

的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C为动点，且满足

求点C的轨迹

思路分析：

本题先用余弦定理化角的关系为边的关系，得到边的关系正好满足椭圆的定义，从而得到轨迹

方程

3.用参数法求曲线轨迹方程

参数法：

如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为

参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹

的普通方程F（x，y）＝0.

例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的

中点M的轨迹方程.

思路分析1：

从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立

动点M坐标（x，y）满足的参数方程.

思路分析2：

解法1中在利用k1k2＝－1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？

只需利用△PAB为直角三角形的几何特性：

解析2：

设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y），

∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形

点评：

解法1用了参数法，消参时应注意取值范围.解法2，3为直译法，运用了kPA·kPB＝－1，

这些等量关系.用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距

离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等.也可以没有具体的意义，选定参变量

还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响：

此类方法主要在于设置合适的参数，求出参

数方程，最后消参，化为普通方程.注意参数的取值范围.参数法求轨迹方程，关键有两点：

一是选

参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.

4.相关点法（代入法）如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点

坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐

标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程.

例4M是抛物线y2=x上一动点，O为原点，以OM为一边作正方形MNPO，求动点P的轨迹方程.

思路分析：

动点P的位置，依赖于抛物线上的点M，故可考虑用相关点法求P的轨迹方程.

点评：

一般地：

定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法.

例5.点

是椭圆

上的动点

为定点，求线段

的中点

的轨迹方程.

思路分析：

题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，

显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程.

解析：

设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0）

点评：

代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系

5交轨法：

在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出

交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消

去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用.

例6如图，已知抛物线

，动点P在直线

上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、

PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.求△APB的重心G的轨迹方程.

思路分析：

重心G的变化受动点A，B的影响，动点A,B的变化又受动点P的限制，可采用交轨法求轨迹

方程

解析：

设切点A、B坐标分别为

，

∴切线AP的方程为：

点评：

交轨法是参数法的简单处理方法，求两动曲线交点轨迹问题常用交轨法，即直接联立两动曲线方程

消参数，而不必先解出动点轨迹参数方程，再消参数，值得我们重视的是在求轨迹时应注意充分利用

平面几何知识.

六、用点差法求轨迹方程

点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差.求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程.点差法是解决椭圆与直线的关系中常用到的一种方法.点差法常见题型有求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线、定值问题.利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好.

例7.已知椭圆

，

（1）求过点

且被

平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过

引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.

思路分析：

此题中三问都跟弦中点有关，一般采用点差法.运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，

还可以降低解题的运算量，优化解题过程.点差法通常解决与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程

中变量的取值范围求出其他变量的范围.

点评：

利用点差法求轨迹方程时①注意：

点差法的不等价性；（考虑Δ>0）②“点差法”常见题型有：

求中点

弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线、定值问题.在解答平面解析几何中的某些

问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优

化解题过程.这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变

量的范围.

【反思提升】高考考查轨迹问题通常是以下两类：

一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法.“轨迹”、“方程”要区分求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）.处理轨迹问题成败在于：

对各种方法的领悟与解题经验的积累.所以在处理轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法（什么情况下用什么方法上面已有介绍，这里不在重复）确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：

①准确理解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”.在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：

①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；②简化条件式；③转化化归.