第八章二元一次方程组电子教案.docx

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第八章二元一次方程组电子教案

备课时间

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教学内容

第八章8.1二元一次方程组

教学媒体

班班通

教

学

目

标

知识

技能

认识二元一次方程和二元一次方程组

过程

方法

了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解。

情感

态度

培养学生探究问题的兴趣，调动学习数学的积极性

教学重点

理解二元一次方程组的解的意义

教学难点

求二元一次方程的正整数解．

教学方法

讲练法启发法

教学准备

多媒体课件

教学程序及教学内容

二次备课

教学过程：

篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？

思考：

这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？

设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？

由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：

胜的场数＋负的场数＝总场数，胜场积分＋负场积分＝总积分.

这两个条件可以用方程x＋y＝22

　　　　　　　2x＋y＝40表示.

上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.

把两个方程合在一起，写成

x＋y＝22

　　　　　　　2x＋y＝40

像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.

探究：

满足方程①，且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？

把它们填入表中.

上表中哪对x、y的值还满足方程②

一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.

二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

例1　

（1）方程（a＋2）x+（b-1）y=3是二元一次方程，试求a、b的取值范围.

（2）方程x∣a∣–1+（a-2）y=2是二元一次方程，试求a的值.

例2　　若方程x2m–1+5y3n–2=7是二元一次方程.求m、n的值

例3　　已知下列三对值：

　　　　　　　x＝－6　　　　　　x＝10　　　　　　　　x＝10

　　　　　　　y＝－9　　　　　　y＝－6　　　　　　　y＝－1

x－y＝6　

2x＋31y＝－11

哪几对数值使方程

x－y＝6的左、右两边的值相等？

哪几对数值是方程组　　　　　　　　　　的解？

例4　　求二元一次方程3x＋2y＝19的正整数解.

课堂练习：

教科书第94页练习

作业布置：

教科书第95页3、4、5题

8．2　消元（第一课时）

教学目标：

1．会用代入法解二元一次方程组.

2．初步体会解二元一次方程组的基本思想――“消元”.

3．通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神.

重点：

用代入消元法解二元一次方程组.

难点：

探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程.

教学过程：

一、知识回顾

1、什么是二元一次方程及二元一次方程的解？

2、什么是二元一次方程组及二元一次方程组的解？

二、提出问题，创设情境

在上述问题中，我们可以设出两个未知数，列出二元一次方程组.

这个问题能用一元一次方程解决吗？

三、讲授新课

1、那么怎样求解二元一次方程组呢?

上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?

2、提出问题：

从上面的学习中体会到代入法的基本思路是什么？

主要步骤有哪些呢？

归纳:

基本思路：

“消元”——把“二元”变为“一元”。

主要步骤是：

将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表现出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。

这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。

3、把下列方程写成用含x的式子表示y的形式：

（1）2x－y＝3　

（2）3x＋y－1＝0（3）5x-3y=x+y（4）-4x+y=-2

4、例题分析：

例1例2

5、课堂练习：

教科书P98第2题

四、课堂小结

问题1、解方程组的基本思路是什么？

问题2、解方程组的方法是什么？

五、作业布置：

教科书P90第3、4题P111第1、2题

教学反思

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教学内容

第八章8．2　消元（第二课时）

教学媒体

班班通

教

学

目

标

知识

技能

用代入法、加减法解二元一次方程组

过程

方法

了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想。

情感

态度

培养学生探究问题的兴趣，调动学习数学的积极性

教学重点

用代入法、加减法解二元一次方程组

教学难点

会用二元一次方程组解决实际问题

教学方法

讲练法启发法

教学准备

多媒体课件

教学程序及教学内容

二次备课

一、创设情境，导入新课

甲、乙、丙三位同学是好朋友，平时互相帮助。

甲借给乙10元钱，乙借给丙8元钱，丙又给甲12元钱，如果允许转帐，最后甲、乙、丙三同学最终谁欠谁的钱，欠多少？

二、师生互动，课堂探究

（一）提高问题，引发讨论

①②

我们知道，对于方程组

可以用代入消元法求解。

这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？

利用这种关系你能发现新的消元方法吗？

（二）导入知识，解释疑难

1.问题的解决

上面的两个方程中未知数y的系数相同，②－①可消去未知数y，得（2x+y）-（x+y）=40-22即x=18,把x=18代入①得y=4。

另外，由①－②也能消去未知数y，得（x+y）-（2x+y）=22-40即-x=-18,x=18,把x=18代入①得y=4.

①②

2.想一想：

联系上面的解法，想一想应怎样解方程组

分析：

这两个方程中未知数y的系数互为相反数，因此由①＋②可消去未知数y，从而求出未知数x的值。

解：

由①＋②得19x=11.6x=

把x=

代入①得y=-

∴这个方程组的解为

3.加减消元法的概念

从上面两个方程组的解法可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相加减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。

两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

4.例题讲解

①②

用加减法解方程组

分析：

这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。

议一议：

本题如果用加减法消去x应如何解？

解得结果与上面一样吗？

5.做一做

①②

解方程组

分析：

本题不能直接运用加减法求解，要进行化简整理后再求解。

6.想一想

（1）加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么?

（2）用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?

师生共析:

（1）用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.

（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤:

第一步:

在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.

第二步:

如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数（选最小公倍数较小的一组系数）,求出它们的最小公倍数（如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数）,然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等（都等于原系数的最小公倍数）,再加减消元.

第三步:

对于较复杂的二元一次方程组,应先化简（去分母,去括号,合并同类项等）,通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.

（三）归纳总结,知识回顾

本节课,我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法──加减法.通过把方程组中的两个方程进行相加或相减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”.

作业：

P93练习

教学反思

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教学内容

8．2　消元（第三课时）

教学媒体

班班通

教

学

目

标

知识

技能

用代入法、加减法解二元一次方程组

过程

方法

加深对解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想。

情感

态度

培养学生探究问题的兴趣，调动学习数学的积极性

教学重点

用代入法、加减法解二元一次方程组

教学难点

会用二元一次方程组解决实际问题

教学方法

讲练法启发法

教学准备

多媒体课件

教学程序及教学内容

二次备课

一、创设情境,导入新课

七年级（3）班在上体育课时,进行投篮比赛,体育老师做好记录,并统计了在规定时间内投进n个球的人数分布情况,体育委员在看统计表时,不慎将墨水沾到表格上（如下表）.

进球数n

投进球的人数

●

同时,已知进球3个和3个以上的人平均每人投进3.5个球;进球4个和4个以下的人平均每人投进2.5个球,你能把表格中投进3个球和投进4个球对应的人数补上吗?

二、师生互动,课堂探究

（一）指出问题,引发讨论

你能不能用二元一次方程组,帮助体育委员把表格中的两个数字补上呢?

（经过学生思考、讨论、交流）

（二）导入知识,解释疑难

1.例题讲解（见P101）

分析:

如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷,那么2台大收割机和5台小收割机1小时收割小麦______公顷,3台大收割机和2台小收割机1小时收割小麦_______公顷.

解:

设1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦x公顷和y公顷.根据两种工作方式中的相等关系,得方程组

①②

去括号,得

②-①,得11x=4.4

解这个方程,得x=0.4

把x=0.4代入①,得y=0.2

这个方程组的解是

答:

1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦0.4公顷和0.2公顷.

2.上面解方程组的过程可以用下面的框图表示:

3.练一练:

P102练习第2、３题.

（三）归纳总结,知识回顾

这节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程,体会到方程组是刻画现实世界的有效模型,从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能.

布置作业P1116、7、9题

教学反思

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课型

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教学内容

第八章8.3实际问题与二元一次方程组

（一）

教学媒体

班班通

教

学

目

标

知识

技能

使学生能够探索事物之间的数量关系，利用方程或方程组解决实际问题

过程

方法

通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性。

情感

态度

进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力，培养严谨慎密的科学习惯，继续渗透转化的数学思想

教学重点

能根据题意列二元一次方程组；根据题意找出等量关系

教学难点

正确发找出问题中的两个等量关系

教学方法

探究法讲练法启发法

教学准备

多媒体课件

教学程序及教学内容

二次备课

教学过程设计

一、创设问题情境，激发学生兴趣，引起探索渴望．

探究1：

养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约需用饲料675kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约需要饲料940kg．饲养员李大叔估计平均每只大牛1天约需要饲料18～20kg，每只小牛1天约需要7～8kg．你能否通过计算检验他的估计？

探究2：

根据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积的产量比是1∶1.5，现在要在一块长为200m，宽100m的长方形的土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量比为3∶4（结果取整数）？

图1

探究3：

如图2，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运往B地．公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路的运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？

图2

二、主体探索，合作交流，培养学生分析、解决问题的能力，锻炼学生思维的灵活性和深刻性

活动1：

对上述问题进行探究，表述自己的解答方案．

学生活动设计：

学生首先独立思考，在独立思考的基础上进行合作交流．

对于探究1：

学生分析题意，发现存在这样的相等关系：

（1）30只大牛1天所需饲料＋15只小牛1天所需饲料＝1天的饲料总量；

（2）42只大牛1天所需饲料＋20只小牛1天所需饲料＝后来1天的饲料总量．根据上述相等关系，可以设未知数列出方程组（比如可以设平均每只大牛和每只小牛1天各需饲料约xkg、ykg，有方程组

），求出解后要对解进行检验，说明李大叔的估计的准确性．

对于探究2：

学生自己画出示意图，找出一种种植方案（近似，然后通过计算确定数据），根据学生思维的特点，可能有如下种植方案，此时可以设AE=x，BE＝y，然后根据问题中的产量、长度找到相等关系，列出方程组

，解出方程组的解后解释具体方案．

对于探究3：

学生经过分析可以发现其中的数量关系有，

（1）两段公路费共有15000元；

（2）两段铁路总费用是97200元，销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，可以设产品重x吨，原料重y吨，于是从A到化工厂铁路费是120y×1.2、公路费用是10y×1.5元；从化工厂到B地的铁路费是110x×1.2、公路费用是20x×1.5元．

于是有方程组

，解出结果后，进行检验，进一步计算这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元．

教师活动设计：

本节课的主要目的，是使学生在探究如何用方程组解决实际问题的过程中，进一步提高分析问题中的数量关系、设未知数、列方程组并解方程组、检验结果的合理性的能力，同时这些问题要比以前的问题更接近现实，因此分析、解决的难度也要大一些．对于这些问题不能像对待前面的例题一样，应充分发挥学生的自主学习的积极性，引导学生先独立探究，再进行合作交流．

探究1是有关牛饲料的问题，学生分析解决问题后要对李大叔的估计作出判断，从而要求进行精确计算．

探究2是一个开放性的问题，其解决方法不止一种，通过此问题的解决，让学生体会一题多解的问题情境，学习从多角度考虑问题；分析这个问题，提醒学生注意：

（1）要把这个长方形分成两个长方形；

（2）两块地分别种甲、乙两种作物，它们的产量比是3:

4．

首先可以考虑前一个要求，容易想到划分的方法是沿这块土地的边的方向画线．在此基础上考虑另一要求，这就与长方形面积以及两种作物的产量比有关了．（注意此时得到的答案不是整数值，为了符合要求需要取近似值．）

探究3索要的答案是一个值，但是直接设这个值为未知数列方程不太容易．为此可以引导学生设间接的未知数，即先设产品数量和原料数量分别为x、y，解出它们后再计算问题索要的答案．另外在探究3的解决过程中，注意培养学生从图表中获取信息的能力．

最后引导学生归纳：

方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具，列出方程组要根据问题中的数量关系，得出方程组的解后要进一步考虑它是否符合问题的实际意义．

三、问题解决，在交流解法的过程中培养学生的语言表述能力以及交流能力．

〔解答〕

探究1：

设平均每只大牛和每只小牛各需饲料约xkg、ykg，则

，

解得

．

因此饲养员李大叔对大牛的食量估计较为准确，而对小牛的食量的估计偏高．

探究2：

如图这种种植方案，设AE=x，BE＝y，则

，

解得

，

由于结果要取整数，

可以确定这种种植方案是：

过长方形土地的长边上离一端约为106米处，把这个长方形分为两个长方形．较大的一块种甲种农作物，较小的一块种乙种农作物．

探究3：

设产品重x吨，原料重y吨，则

，

解得

，进而计算得到这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元．

四、归纳小结、布置作业．

小结：

本节你遇到了哪些问题？

你是怎样解决的？

作业：

1．已经进入汛期，七年级二班的同学们到水库调查了解汛情．水库一共有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全线，上游的河水仍以一个不变的速度流入水库．同学们经过一天的观察和测量，做了如下记录：

上午打开一个泄洪闸，在2小时内水位继续上升了0.06米；下午再打开2个泄洪闸后，4小时水位下降了0.1米．目前水位仍超过安全线1.2米．

（1）如果打开5个泄洪闸，还需几小时水位降到安全线？

（2）如果防汛指挥部要求6小时内使水位降到安全线，至少应该打开几个泄洪闸？

〔解答〕

设河水的流入使水位上升x米/时，每个闸门泄洪可以使水位下降y米/时，则有

，解得

．

（1）设打开5个泄洪闸，需t小时水位降到安全线，则有

0.0575t－0.0275×5t＝－1.2，t＝15时．

（2）设打开n个闸门，需要6小时水位降到安全线，则有

6×0.0575－6×0.0275n＝－1.2，n≈9.36，因此应打开10个闸门．

2．习题8.3．

教学反思

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教学内容

第八章8.3实际问题与二元一次方程组

（二）

教学媒体

班班通

教

学

目

标

知识

技能

通过学生积极思考，互相讨论，经历探索事物之间的数量关系，形成方

程模型

过程

方法

解方程和运用方程解决实际问题的过程进一步体会方程是刻划现实世界的有效数学模型

情感

态度

培养学生探究问题的兴趣，调动学习数学的积极性

教学重点

让学生实践与探索，运用二元一次方程解决有关配套与设计的应用题

教学难点

寻找等量关系

教学方法

讲练法启发法

教学准备

多媒体课件

教学程序及教学内容

二次备课

教学过程：

看一看：

课本99页探究2

问题：

1“甲、乙两种作物的单位面积产量比是1：

1.5”是什么意思？

2、“甲、乙两种作物的总产量比为3：

4”是什么意思？

3、本题中有哪些等量关系？

提示：

若甲种作物单位产量是a，那么乙种作物单位产量是多少？

思考：

这块地还可以怎样分？

练一练

一、某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花、和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备奖金如下表：

农作物品种

每公顷需劳动力

每公顷需投入奖金

水稻

4人

1万元

棉花

8人

1万元

蔬菜

5人

2万元

已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？

问题：

题中有几个已知量？

题中求什么？

分别安排多少公顷种水稻、棉花、和蔬菜？

8.3实际问题与二元一次方程组（三）

教材106页：

探究3：

如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地。

公路运价为1.5元/（吨·千米）,铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元。

这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？

例：

甲运输公司决定分别运给A市苹果10吨、B市苹果8吨，但现在仅有12吨苹果，还需从乙运输公司调运6吨，经协商，从甲运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费分别为50元和30元，从乙运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费分别为80元和40元，要求总运费为840元，问如何进行调运？

练习：

某山区有23名中、小学生因贫困失学要捐助。

资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元。

某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其捐助贫困中学生和小学生的部分情况如下表：

捐款数额

（元）

捐助贫困中学生人数（名）

捐助贫困小学生人数（名）

初一年级

4000

初二年级

4200

初三年级

7400

求a、b的值。

初三学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将初三年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不必写出计算过程）。

某公园的门票价格如下表所示：

购票人数

1人～50人

51～100人

100人以上

票价

10元/人

8元/人

5元/人

某校八年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行游园联欢活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人。

如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共只要付515元。

问：

甲、乙两个班分别有多少人？

作业：

教材102页5、7。

教学后记：

备课时间

上课时间

课型

新授课

审批时间

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教学内容

第八章8.4三元一次方程组解法举例

教学媒体

班班通

教

学

目

标

知识

技能

1、了解三元一次方程组的概念.

过程

方法

2、会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组。

情感

态度

3、掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路

教学重点

（1）使学生会解简单的三元一次方程组．

（2）通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想

教学难点

针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法

教学方法

探究法讲练法启发法

教学准备

多媒体课件

教学程序及教学内容

二次备课

教学过程：

一、创设情景，导入新课

前面我们学习了二元一次方程组的解法，有些实际问题可以设出两个未知数，列出二元一次方程组来求解。

实际上，有不少问题中会含有更多的未知数，对于这样的问题，我们将如何来解决呢？

【引例】小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张．

提出问题：

1．题目中有几个条件？

2．问题中有几个未知量？

3．根据等量关系你能列出方程组吗？

【列表分析】（师生共同完成）

（三个量关系）每张面值×张数=钱数

1元

2元

5元

合计

注

1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，即x=4y

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