人教版七年级下册数学教案第八章二元一次方程组全章教案.docx
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人教版七年级下册数学教案第八章二元一次方程组全章教案
第八章二元一次方程组全章教案
教材内容
本章主要内容包括：
二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，三元一次方程组解法举例，二元一次方程组的应用。
教材首先从一个篮球联赛中的问题入手，归纳出二元一次方程组及解的概念，并估算简单的二元一次方程（组）的解。
接着，以消元思想为基础，依次讨论了解二元一次方程组的常用方法——代入法和消元法。
然后，选择了三个具有一定综合性的问题：
“牛饲料问题”“种植计划问题”“成本与产出问题”，将贯穿全章的实际问题提高到一个新的高度。
最后，通过举例介绍了三元一次方程组的解法，使消元的思想得到了充分的体现。
教学目标
〔知识与技能〕
1、了解二元一次方程组及相关概念，能设两个未知数，并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系；2、掌握二元一次方程组的代入法和消元法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法；3、了解三元一次方程组的解法；4、学会运用二（三）元一次方程组解决实际问题，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。
〔过程与方法〕
1、以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关糸，设未知数，列方程，解方程和检验结果”，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型。
2、在把二元一次方程组转化为x=a,y=b的形式的过程中，体会“消元”的思想。
〔情感、态度与价值观〕
通过探究实际问题，进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。
重点难点
二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，利用二元一次方程组解决实际问题是重点；以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题是难点。
课时分配
8.1二元一次方程组……………………………………1课时
8.2消元——二元一次方程组的解法…………………4课时
8.3再探实际问题与二元一次方程组…………………3课时
*8.4三元一次方程组解法举例…………………………2课时
本章小结…………………………………………………2课时
8.1二元一次方程组
[教学目标]理解二元一次方程、二元一次方程组及它们解的概念，会检验一对数是不是二元一次方程组的解。
[重点难点]二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义是重点；理解二元一次方程组的解是难点。
[教学过程]
一、问题导入
我们很多同学喜欢打篮球，这里面也有学问。
看下面的问题：
[出示1]
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？
你知道吗？
二、二元一次方程和二元一次方程组
这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？
胜的场数＋负的场数＝总场数，
胜场积分＋负场积分＝总积分.
若设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？
x＋y＝22
2x＋y＝40
这两个方程与一元一次方程有什么不同？
它们有什么特点？
所含未知数的个数不同；特点是：
（1）含有两个未知数，
（2）含有未知数的项的次数是1。
像这样含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是1的方程叫做二元一次方程。
上面的问题包含了两个必须同时满足的条件，也就是未知数x、y必须同时满足方程x＋y＝22和2x＋y＝40
把两个方程合在一起，写成
x＋y＝22①
2x＋y＝40②
像这样，把具有两个未知数且含未知数的项的次数是1的两个方程合在一起，就组成了二元一次方程组.
三、二元一次方程、二元一次方程组的解
探究：
[出示2]满足方程①，且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？
把它们填入表中.
为此我们用含x的式子表示y，即y＝22－x（x可取一些自然数）。
显然，上表中每一对x、y的值都是方程①的解。
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
如果不考虑方程的实际意义，那么x、y还可以取哪些值？
这些值是有限的吗？
还可以取x＝－1，y＝23；x＝0.5，y＝21.5，等等。
所以，二元一次方程的解有无数对。
上表中哪对x、y的值还满足方程②？
x＝18，y＝2还满足方程②.也就是说，它们是方程①与方程②的公共解，记作
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
四、例题
例1 若方程x2m–1+5y2–3n=7是二元一次方程.求m2＋n的值。
分析：
由二元一次方程的概念你可以知道什么？
解：
依题意，得
2m–1＝1，2–3n＝1.
由2m–1＝1，得m＝1
由2–3n＝1得n＝1/3
∴m2＋n＝1＋1/3＝4/3.
五、课堂练习[出示3]
1、下列各对数值中是二元一次方程x＋2y=2的解的是〔〕
A
B
C
D
2、课本94面练习。
六、课堂小结
1、二元一次方程、二元一次方程组的概念；
2、二元一次方程、二元一次方程组的解.
作业：
课本90面1－4.
课后反思
课题：
8.2消元
（1）
教学目标
1、使学生学会用代人消元法解二元一次方程组；
2、理解代人消元法的基本思想体现的化未知为已知的化归思想方法；
3、逐步渗透矛盾转化的唯物主义思想．
教学难点
代入消元法的基本思想。
知识重点
用代入法解二元一次方程组。
教学过程（师生活动）
设计理念
创设情境
引入课题
播放学生篮球赛录像剪辑．
体育节要到了．篮球是初一
（1）班的拳头项目．为了取得好名次，他们想在全部22场比赛中得到40分．已知每场比赛都要分出胜负，胜队得2分，负队得1分．那么初一
（1）班应该胜、负各几场？
你会用二元一次方程组解决这个问题吗？
根据问题中的等量关系设胜x场，负y场，可以更容易地列出方程．
那么有哪些方法可以求得二元一次方程组的解呢？
问题情境是学生喜闻乐见的体育活动，增强求知欲，对所学知识产生亲切感。
探究新知
1、引导：
什么是二元一次方程组的解？
（方程组中各个方程的公共解）
满足方程①的解有：
，
，
，
满足方程②的解有：
，
，
，
…
这两个方程的公共解是
2、师：
这个问题能用一元一次方程来解决吗？
学生思考并列出式子．
设胜x场，负（22－x）场，解方程
2x＋（22－x）=40③
解法略．
观察：
上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？
若学生还是感到困难，教师可通过提问进一步引导．
（1）在一元一次方程解法中，列方程时所用的等量关系是什么？
（2）方程组中方程②所表示的等量关系是什么？
（3）方程②与③的等量关系相同，那么它们的区别在哪里？
（4）怎样使方程②中含有的两个未知数变为只含有一个未知数呢？
结合学生的回答，教师做出讲解．
由方程①进行移项得y=22－x,
由于方程②中的y与方程①中的y都表示负的场数，故可以把方程②中的y用（22-劝来代换，
即得2x+（22－x）=40.由此一来，二元化为一元了．
解得x=18.
问题解完了吗？
怎样求y
将x=18代入方程y=22－x，得y=4.
能代入原方程组中的方程①②来求y吗？
代入哪个方程更简便？
这样，二元一次方程组的解是
归纳：
这种通过代入消去一个未知数，使二元方程转化为一元方程，从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法，简称代入法．（板书课题）
可以采用观察与估算的方法．但很麻烦，故引发学生产生寻找新方法的需求．
以退为进的思想．
重视知识的发生过程，让学生了解代入消元法解二元一次方程组的过程及依据．体会未知向已知，陌生向熟悉转化这一重要思想—化归思想．
巩固新知
例1用代入法解方程组
本题较简单，直接由学生板演，师生共同评价．
解：
把①代入②，得
3（y＋3）-8y＝14
所以y=－1
把y=－1代人①，得x=2.
所以
解后反思．教师引导学生思考下列问题：
（1）选择哪个方程代人另一方程？
其目的是什么？
（2）为什么能代？
（3）只求出一个未知数的值，方程组解完了吗？
（4）把已求出的未知数的值，代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便？
（5）怎样知道你运算的结果是否正确呢？
（与解一元一次方程一样，需检验．其方法是将求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是否相等．检验可以口算，也可以在草稿纸上验算）
例2（为例1的变式）解方程组
分析：
（1）从方程的结构来看：
例2与例1有什么不同？
例1是用x=y＋3直接代人②的．而例2的两个方程都不具备这样的条件都不能直接代入另一条方程．
（2）如何变形？
把一个方程变形为用含x的式子表示y（或含y的式子表示x）．
（3）那么选用哪个方程变形较简便呢？
通过观察，发现方程①中y的系数为－1，因此，可先将方程①变形，用含x的代数式表示y，再代入方程②求解．
解：
由①得，y=
，③
把③代人②，得（问：
能否代入①中？
）
3x－8（
）=14，
所以－x=－10,
x=10.
（问：
本题解完了吗？
把y=37代入哪个方程求x较简单？
）
把x=10代入③，得
y=
所以y=2
所以
（本题可由一名学生口述，教师板书完成）
例1改编自教材91页例
1，暂时省略了“用含一个未知数的式子去表示另一未知数”这一步骤，而将其放在例2中介绍，这样处理降低了难度，利于分阶段达成本课的知识目标．本例的重点在于让学生掌握代入法的基本步骤．
例2进一步巩固代入法的步骤．重点在于说明解二元一次方程组的一些技巧问题，主要表现在如何选择一个方程，如何用含一个未知数的式子去表示另一未知数．
小结与作业
小结提高
合作交流：
你从上面的学习中体会到代人法的基本思路是什么？
主要步骤有哪些呢？
与你的同伴交流．
学生畅所欲言，互相补充，小组派中心发言人进行总结发言．最后，由老师出示幻灯片．
代入法的实质是消元，使两个未知数转化为一个未知数一般步骤为：
①从方程组中选一个未知数系数比较简单的方程．将这个方程中的一个未知数，例如y，用含x的式子表示出来，也就是化成y=ax＋b的形式；
②将y=ax＋b代人方程组中的另一个方程中，消去y,得到关于二的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x的值；
④把求得的x值代人方程y=ax＋b中，求出y的值，再写出方程组解的形式；
⑤检验得到的解是不是原方程组的解．这一步不是完全必要的，若能肯定解题无误，这一点可以省略。
及时梳理知识，形成模—用代入法解二元一次方程一般步骤。
反馈练习
1、教材93页1.（补充：
再改写成用含y的式表示x）
2、教材93页练习2用代入法解方程组
3、教材93页3应用题
布置作业
1、必做题：
教科书97页习题8.2第1题，97页习题
2第2
（1）
（2）题．
2、选做题：
教科书98页习题8.2第6题．
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
课题：
8.2消元
（2）
教学目标
1、使学生熟练地掌握用代人法解二元一次方程组；
2、使学生进一步理解代人消元法所体现出的化归意识；
3、体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．
教学难点
进一步理解在用代入消元法解方程组时所体现的化归意识。
知识重点
学会用代入法解未知数系数的绝对值不为1的二元一次方程组。
教学过程（师生活动）
设计理念
创设活动
1、请你编一个能用代人法求解的二元一次方程组，考考你的同桌，看看他是否掌握了．
2、结合你的解答，回顾用代人消元法解方程组的一般步骤．
本课是对代入消元法的巩固和深化，设置活动目的在于帮助学生迅速再现以往的知识经验，承上启下的作用。
探究新知
1、探索分析问题：
教材92页例2：
根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2：
5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？
学生独立分析，列出方程组，全班交流．
解：
设这些消毒液应分装x大瓶和y小瓶，则
2、引导学生思考：
问题1：
此方程与我们前面遇到的二元一次方程组有什么区别？
（两个方程里的两个未知数系数的绝对值均不为1）
问题2：
能用代入法来解吗？
问题3：
选择哪个方程进行变形？
消去哪个未知数？
在师生对话交流中，完成本题的板书示范．
3、解后反思：
（1）如何用代入法处理两个未知数系数的绝对值均不为1的二元一次方程组？
（2）列二元一次方程组解应用题的关键是：
找出两个等量关系。
（3）列二元一次方程组解应用题的一般步骤分为：
审、
设、列、解、检、答．
这里的反思突出了本课的重点，既帮助学生进一步完善代入法解题的步骤，又渗透解决实际问题的程序化思想。
巩固新知
练习1：
用代入法解下列方程组．
（1）
（2）
两名学生演示，老师巡视，着重讲评第
（2）小题．
第
（2）题大多数同学的方法是：
由①得：
x=
③把③代入②，…
这种方法计算量较大，容易出错．提出疑问：
“是否还有更好的解答方法？
通过自主探究后发现
由①得，6y=13-5x④，把④代人②解得，
x=5，把x=5代入④解得：
y=－2
∴
解后反思：
1、把6y看作一个整体，代入消元，使解方程变得简单许多．
2、拿到方程，要善于观察结构特点，不急于动笔．
练习2.分层练习：
学生必须先尝试完成B层练习，如果有困难，那么可以先完成A层练习后再做B层练习，顺利完成B层的同学可以尝试完成C层练习．
A层：
1.将二元一次方程5x＋2y=3化成用含有x的式子表示y的形式是y=；化成用含有y的式子表示x的形式是x=。
2．已知方程组：
指出下列方法中比较简捷的解法是（）
A.利用①，用含x的式子表示y，再代入②；
B利用①，用含y的式子表示x，再代入②；
C.利用②，用含x的式子表示y,再代入①；
D.利用②，用含x的式子表示x，再代人①;
B组
3、用代入法解方程组：
（1）
（2）
C组
4、解方程组：
5、已知方程组
的解为
，求a、b
练习3：
实践活动
请你根据方程组
编一道符合实际的应用题。
整体代入无代入法的一种重要技巧，它实质就是换元的思想．若学生仍感困惑也可用新未知数去替换原来视为整体的那一部分．
这里安排分层次练习，让学生根据自身的需要自由选择不同的题目，在自我挑战中获得成就感教师根据实际情况，对不同的学生进行有针对性的指导，使不同的学生都有发展．这符合新课标的新理念：
不同的人在数学上都能获得不同的发展.
小结与作业
小结提高
1、这节课你学到了哪些知识和方法？
比如：
①对于用代入法解未知数系数的绝对值不是1的二元一次方程组，解题时，应选择未知数的系数绝对值比较小的一个方程进行变形，这样可使运算简便．②列方程解应用题的方法与步骤．③整体代入法等．
2、你还有什么问题或想法需要和大家交流？
让学生更加明确本节课的知识点，达到查漏补缺的目的。
布置作业
1、做题：
习题8.2第2（3）（4）题，第4题。
2、选做题：
教科书98页练习。
3、备选题：
（1）解方程组
（2）利用你学会的整体代入法解下面的方程组：
（3）小明外婆送来一篮鸡蛋．这篮鸡蛋最多只能装55只左右．小明3只一数，结果剩下1只，但忘了数多少次，只好重数．他5只一数，结果剩下2只，可又忘了数多少次．他准备再数时，妈妈笑着说：
“不用数了，共有52只．”小明惊讶地问妈妈怎么知道的．妈妈笑而不答．同学们，你们知道这是为什么吗？
不同层次的学生根据自身的需要选择不同的备用题，达到因材施教的目的。
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
课题：
8.2消元（3）
教学目标
1、掌握用加减法解二元一次方程组；
2、使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法；
3、体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心．
教学难点
用“加减法“解二元一次方程组。
知识重点
学会用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组。
教学过程（师生活动）
设计理念
创设情境
王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨共花了14元，李老师以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨共花了12元，梨每千克的售价是多少？
比一比看谁求得快．
最简便的方法：
抵消掉相同部分，王老师比李老师多买了1千克的梨，多花了2元，故梨每千克的售价为2元．
问题解决过程中蕴含了朴素的加减消元的思想．反映出，科学的每一次进步，都可以在实
际的实戏活动中找到依据．
探究新知
1、解方程组
（由学生自主探究，并给出不同的解法）
解法一由①得：
x=
y代人方程②，消去x.
解法二：
把2x看作一个整体，由①得2z=－1－3y,代入方程②，消去2x.
肯定两解法正确，并由学生比较两种方法的优劣．解法二整体代入更简便，准确率更高．
有没有更简洁的解法呢？
教师可做以下启发：
问题1.观察上述方程组，未知数z的系数有什么点？
（相等）
问题2.除了代入消元，你还有别的办法消去x吗？
（两个方程的两边分别对应相减，就可消去x，得到一个一元一次方程．）
解法三：
①－②得：
8y=－8,所以y=－1
Y=－1代人①或②，得到x=1
所以原方程组的解为
2、变式一
启发：
问题1.观察上述方程组，未知数x的系数有什么特点？
（互为相反数）
问题2.除了代人消元，你还有别的办法消去x吗？
（两个方程的两边分别对应相加，就可消去x，得到一个一元一次方程．）
解后反思：
从上面的解答过程来看，对某些二元一次方程组可通过两个方程两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解．这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．
想一想：
能用加减消元法解二元一次方程组的前提是什么？
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等.
3、变式二：
观察：
本例可以用加减消元法来做吗？
必要时作启发引导：
问题1.这两个方程直接相加减能消去未知数吗？
为什么？
问题2.那么怎样使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢？
启发学生仔细观察方程组的结构特点，发现x的系数成整数倍数关系．
因此：
②×2，得4x－10y=14③
由①－③即可消去x，从而使问题得解．
（追问：
③－①可以吗？
怎样更好？
）
4、变式三：
想一想：
本例题可以用加减消元法来做吗？
让学生独立思考，怎样变形才能使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢？
分析得出解题方法：
解法1：
通过由①×3，②×2，使关于x的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．
解法2：
通过由①×5，②×3，使关于y的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．
怎样更好呢？
通过对比，使学生自己总结出应选择方程组中同一未知数系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元．
解后反思：
用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组时，把一个（或两个）方程的两边乘以适当的数，使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，从而化为第一类型方程组求解．
使学生进一步巩固用“代入法”解二元一次方程组，并在体会“代入法＂存在不足的同时，感受用“加减法”解二元一次方程组的优越性，并掌握“加减法”．
变式的意义在于从“减“的情形自然地过渡到”加“的情形，浑然一体。
例题及变式一解决用了加减法解某一未知数的系数的绝对值相等的二元一次方程组的问题。
变式二解决用加减法解某一未知数的系数成整数倍数关系的二元一次方程组。
变式三的设置目的是引导学生学会用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组．这是本课的难点．通过三个变式，搭建了降低难度的阶梯．
巩固新知
练习1：
练习第1题
练习2：
自行设计一些错题让学生判断。
收集学生的易错点，让学业生在改错中，自我诊断。
小结与作业
小结提高
回顾：
用加减法解二元一次方程组的基本思想是什么？
这种方法的适用条件是什么？
步骤又是怎样的？
引导学生思考、交流、梳理所学知识，培养学生的理性思维能力和良好的口头表达能力．
布置作业
4、做题：
教科书98页习题8.2第3题。
5、选做题：
教科书98页习题8.2第6题。
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
课题：
8.2消元（4）
教学目标
1、熟练掌握加减消元法；
2、能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组，
3、通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模型的重要性．
教学难点
教材中例4的数量关系较复杂，是本课的难点。
知识重点
能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组。
教学过程（师生活动）
设计理念
创设情境
1、复习提问
解二元一次方程组有哪几种方法？
它们的实质是什么？
2、播放动画《西游记》场景，配数学诗．
悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟．
归时四分行六百，风速多少才称雄？
请一名学生解释诗歌大意：
孙悟空顺风去查妖精的行踪，仅用4分钟就飞跃千里．逆风返回时4分钟走了600里，问风速是多少？
学生思考，根据题中等量关系，列出方程．
设悟空行走速度为x里／分，风速为y里／分，则
你会解这个方程组吗？
引例生动活波，激发学生的探究欲望，让学生在看、听、想的过程中愉悦地获得数学知识．
探究新知
学生独立完成后．在班级里交流解法．
解法一：
①＋②，消去y，得8x=1600
∴x=200，代人①，得y=50
原方程组的解为
解法二：
①－②，消去x。
以下略．
解法三：
整体代入．由①得：
4x=1000－4y，代入②，消去x.
同理，也可消去y.
解法四：
化简原方程组为
再利用加减消元，或代入消元均可．
反思：
试着从各个角度比较“代入法”与“加减法”的共同点与不同点．（同学间相互交流）它们各适用于什么情况？
在学生回答的基础上，教师指出：
当方程组中某一个未知数的系数绝对值是1或一个方程的常数项为零时，用代入法较方便；当两个方程中，同一个未知数的系数绝对值相等或成整倍数时，用加减法较方便．
练习1：
根据方程组的特点选择更适合它的解法．你会怎样解呢？
（第1，2小题完成后再出示第3小题．）
（1）
（2）
（3）
第1小题用代入法，第2小题用加减法，都很明确，第3小题有争议．全班分成两部分．1、2大组用代入法做，3、4大组用加减法做．比较两解法的简便程度．
反思：
当方程组中任一个未知数的系数绝对值不是1，且不成倍数关系时，一般经过变形利用加减法会使解法更简单．
尝试不同的解法，培养学生的发散性思维和择优意识。
解二元一次方程组不管采用哪种方法，都可以获得它的解，但根据题目形式的特点，选择不同的方法可以减少弯路，加快速度使解题过程简洁提高正确率．
实际应用
教材第109页例4.
2台大收割机和5台小收割
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