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数学趣题

丁谓施工

　　中国古代有一个丁谓施工的故事，也蕴含着运筹学的思想。

　　传说宋真宗在位时，皇宫曾起火。

一夜之间，大片的宫室楼台殿阁亭榭变成了废墟。

为了修复这些宫殿，宋真宗派当时的晋国公丁谓主持修缮工程。

当时，要完成这项重大的建筑工程，面临着三个大问题：

第一，需要把大量的废墟垃圾清理掉；第二，要运来大批木材和石料；第三，要运来大量新土。

不论是运走垃圾还是运来建筑材料和新土，都涉及到大量的运输问题。

如果安排不当，施工现场会杂乱无章，正常的交通和生活秩序都会受到严重影响。

　　丁谓研究了工程之后，制订了这样的施工方案：

首先，从施工现场向外挖了若干条大深沟，把挖出来的土作为施工需要的新土备用，于是就解决了新土问题。

第二步，从城外把汴水引入所挖的大沟中，于是就可以利用木排及船只运送木材石料，解决了木材石料的运输问题。

最后，等到材料运输任务完成之后，再把沟中的水排掉，把工地上的垃圾填入沟内，使沟重新变为平地。

　　简单归纳起来，就是这样一个过程：

挖沟（取土）→引水入沟（水道运输）→填沟（处理垃圾）。

　　按照这个施工方案，不仅节约了许多时间和经费，而且使工地秩序井然，使城内的交通和生活秩序不受施工太大的影响，因而确实是很科学的施工方案。

决定了泊松一生道路的数学趣题

　　泊松（PoissonS.-D,B.,1781.6.21~1840.4.25）是法国数学家，曾任过欧洲许多国家科学院的院士，在积分理论、微分方程、概率论、级数理论等方面都有过较大的贡献。

　　据说泊松在青年时代研究过一个有趣的数学游戏：

　　某人有12品脱啤酒一瓶（品脱是英容量单位，1品脱=0.568升），想从中倒出6品脱。

但是他没有6品脱的容器，只有一个8品脱的容器和一个5品脱的容器。

怎样的倒法才能使5品脱的容器中恰好装好了6品脱啤酒？

　　不容易想到的是，对这个数学游戏的研究竟决定了泊松一生的道路。

从此，他决心要当一位数学家。

由于他的刻苦努力，他终于实现了自己的愿望。

　　这个数学游戏有两种不同的解法，如下面的两个表所示。

　　第一种解法：

　　　第二种解法：

　　　下面两个题目是与泊松青年时代研究过的题目类型相同的；希望青少年朋友研究后也会有人决心当数学家。

　　一个桶装满10斤油，另外有一个能装3斤油的空桶和一个能装7斤油的空桶。

试用这三个桶把10斤油平分为两份。

　　有大、中、小三个酒桶，分别能装19斤、13斤、7斤酒。

现在大桶空着，另外两个桶都装满了酒。

试问：

用这三个桶倒几次可以把全部酒平分成两份？

田忌赛马

　　《史记》中有这样一个故事：

有一天，齐王要田忌和他赛马，规定每个人从自己的上、中、下三等马中各选一匹来赛；并规定，每有一匹马来比赛；并约定，每有一匹马取胜可获千两黄金，每有一匹马落后要付千两黄金。

　　当时，齐王的每一等次的马比田忌同样等次的马都要强，因而，如果田忌用自己的上等马与齐王的上等马比，用自己的中等马与齐王的中等马比，用自己的下等马与齐王的下等马比，则田忌要输三次，因而要输黄金三千两。

但是结果，田忌没有输，反而赢了一千两黄金。

这是怎么回事呢？

　　原来，在赛马之前，田忌的谋士孙膑给他出了一个主意，让田忌用自己的下等马去与齐王的上等马比，用自己的上等马与齐王的中等马比，用自己的中等马与齐王的下等马比。

田忌的下等马当然会输，但是上等马和中等马都赢了。

因而田忌不仅没有输掉黄金三千两，还赢了黄金一千两。

　　这个故事与上一段老鼠逃跑的策略问题都表明，在有双方参加的竞赛或斗争中，策略是很重要的。

采用的策略适当，就有可能在似乎一定会失败的情况下取得胜利的结果。

　　研究这种竞赛策略的数学分支，叫作博奕论，也叫对策论；它是运筹学中的一部分内容。

圆锥曲线的产生与发展

　　希腊著名学者梅内克缪斯（公元前4世纪）企图解决当时的著名难题“倍立方问题”（即用直尺和圆规把立方体体积扩大一倍）。

他把直角三角形ABC的直角A的平分线AO作为轴。

旋转三角形ABC一周，得到曲面ABECE＇，如图1。

用垂直于AC的平面去截此曲面，可得到曲线EDE＇，梅内克缪斯称之为“直角圆锥曲线”。

他想以此在理论上解决“倍立方问题。

”未获成功。

而后，便撤开“倍立方问题”，把圆锥曲线做为专有概念进行研究：

若以直角三角形ABC中的长直角边AC为轴旋转三角形ABC一周，得到曲面CB＇EBE＇，如图2。

用垂直于BC的平面去截此曲面，其切口为一曲线，称之为“锐角圆锥曲线”；若以直角三角形ABC中的短直角边AB为轴旋转三角形ABC一周，可得到曲面BC＇ECE＇。

如图3。

用垂直于BV的平面去截此曲面，其切口曲线EDE＇称为“钝角圆锥曲线”。

当时，希腊人对平面曲线还缺乏认识，上述三种曲线须以“圆锥曲面为媒介得到，因此，被称为圆锥曲线的“雏形”。

　　图1

　　图2

　　图3

　　经过了约二百年的时间，圆锥曲线的研究取得重大突破的是希腊的两位著名数学家奥波罗尼奥斯（公元前三世纪后半叶）和欧几里得（公元前300－前275）奥波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中，系统地阐述了圆锥曲面的定义，利用圆锥曲面生成圆锥曲线的方法与构成，而且还对圆锥曲线的性质进行了深入的研究，他发现:

（1）椭圆，双曲线任一点M处的切线与

、

（

、

为两定点，后人称之为焦点）的夹角相等；

（2）对于椭圆，

（

为常数，且大于

）。

（3）对于双曲线，

（

为常数，且小于

）。

但是，阿波罗尼奥斯对抛物线没有发现这类性质。

欧几里得在他的巨著《几何原本》里描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，即：

平面内一点F和一定直线AB，从平面内的动点M向AB引垂线，垂足为C，若|MF|：

|MC|的值一定，则动点M的轨迹为圆锥曲线。

只可惜对这一定理欧几里得没有给出证明。

　　又经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《汇篇》中，才完善了欧几里得的关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定理进行了证明。

他指出，平面内一定点F和一定直线AB，从平面内的动点M向AB引垂线，垂足为C，若|MF|：

|MC|的值一定，则当|MF|：

|MC|的比值小于1时，动点M的轨迹是椭圆，等于1时是抛物线，大于1时是双曲线。

至此，圆锥曲线的定义和性质才比较完整地建立起来了。

总统巧证勾股定理

华罗庚的退步解题方法

　　我国已故著名的数学家华罗庚爷爷出生在一个摆杂货店的家庭，从小体弱多病，但他凭借自己一股坚强的毅力和崇高的追求，终于成为一代数学宗师。

　　少年时期的华罗庚就特别爱好数学，但数学成绩并不突出。

19岁那年，一篇出色的文章惊动了当时著名的数学家熊庆来。

从此在熊庆来先生的引导下，走上了研究数学的道路。

晚年为了国家经济建设，把纯粹数学推广应用到工农业生产中，为祖国建设事业奋斗终生！

　　华爷爷悉心栽培年轻一代，让青年数学家茁壮成儿使他们脱颖而出，工作之余还不忘给青多年朋友写一些科普读物。

下面就是华罗庚爷爷曾经介绍给同学们的一个有趣的数学游戏：

　　有位老师，想辨别他的3个学生谁更聪明。

他采用如下的方法：

事先准备好3顶白帽子，2顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色。

　　3个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴的是白帽子。

　　聪明的小读者，想想看，他们是怎么知道帽子颜色的呢？

“

　　为了解决上面的伺题，我们先考虑“2人1顶黑帽，2顶白帽”问题。

因为，黑帽只有1顶，我戴了，对方立刻会说自己戴的是白帽。

但他踌躇了一会，可见我戴的是白帽。

　　这样，“3人2顶黑帽，3顶白帽”的问题也就容易解决了。

假设我戴的是黑帽子，则他们2人就变成“2人1顶黑帽，2顶白帽”问题，他们可以立刻回答出来，但他们都踌躇了一会，这就说明，我戴的是白帽子，3人经过同样的思考，于是，都推出自己戴的是白帽子。

　　看到这里。

同学们可能会拍手称妙吧。

后来，华爷爷还将原来的问题复杂化，“n个人，n-1顶黑帽子，若干（不少于n）顶白帽子”的问题怎样解决呢？

运用同样的方法，便可迎刃而解。

他并告诫我们：

复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窃。

商高定理

　　这个定理在中国又称为"商高定理"，在外国称为"毕达哥拉斯定理"。

为什么一个定理有这么多名称呢？

　　商高是公元前十一世纪的中国人。

当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。

　　在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。

商高说：

"…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。

　　什么是"勾、股"呢？

在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。

　　商高那段话的意思就是说：

当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。

以后人们就简单地把这个事实说成"勾三股四弦五"。

　　由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作"商高定理"。

　　毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。

　　希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理"，以后就流传开了。

　　关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说：

"故禹之所以治天下者，此数之所由生也。

""此数"指的是"勾三股四弦五"，这句话的意思就是说：

勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。

　　勾股定理的应用非常广泛。

我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载：

"禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。

"这段话的意思是说：

大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。

富兰克林的遗嘱与拿破仑的诺言

　　同学们，你知道本杰明·富兰克林是何许人吗？

　　富兰克林利用放风筝而感受到电击，从而发明了避雷针。

这位美国著名的科学家死后留下了一份有趣的遗嘱：

　　“……一千英磅赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千英磅，那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民，他们得把这些钱按每年5％的利率借给一些年轻的手工业者去生息。

这些款过了100年增加到131000英磅。

我希望那时候用100000英磅来建立一所公共建筑物，剩下的31000英磅拿去继续生息100年。

在第二个100年末了，这笔款增加到4061000英磅，其中1061000英磅还是由波士顿的居民来支配，而其余的3000000英磅让马萨诸塞州的公众来管理。

过此之后，我可不敢多作主张了！

”

　　同学们，你可曾想过：

区区的1000英磅遗产，竟立下几百万英磅财产分配的遗嘱，是“信口开河”，还是“言而有据”呢？

事实上，只要借助于复利公式，同学们完全可以通过计算而作出自己的判断。

就是复利公式，其中m为本金，a为年利率，为n年后本金与利息的总和。

在第一个100年末富兰克林的财产应增加到y；（英磅），比遗嘱中写的还多出501英磅。

在第二个100年末，遗产就更多了：

（英磅）。

可见富兰克林的遗嘱是有科学根据的。

　　遗嘱故事启示我们：

在指数效应下，微薄的财产，低廉的利率，可以变得令人瞠目结舌。

威名显赫的拿破仑，由于陷进了指数效应的旋涡而使法国政府十分难堪！

　　1797年，拿破仑参观国立卢森堡小学，赠上了一束价值三个金路易的玫瑰花，并许诺只要法兰西共和国存在一天，他将每年送一束价值相等的玫瑰花，以作两国友谊的象征。

由于连年征战，拿破仑忘却了这一诺言！

1894年，卢森堡王国郑重地向法兰西共和国提出了“玫瑰花悬案”。

要求法国政府在拿破仑的声誉和1375596法郎的债款中，二者选取其一。

这笔巨款就是三个金路易的本金，以5％的年利率，在97年的指数效应下的产物。

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孙子巧解“鸡兔同笼”

大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：

“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？

”这四句的意思就是：

有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。

求笼中各有几只鸡和兔？

同学们，你会解答这个问题吗？

你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的？

原来孙子提出了大胆的设想。

他假设砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，而每只兔就变成了“双脚兔”。

这样，“独脚鸡”和“双脚兔”的脚就由94只变成了47只；而每只“鸡”的头数与脚数之比变为1：

1，每只“兔”的头数与脚数之比变为1：

2。

由此可知，有一只“双脚兔”，脚的数量就会比头的数量多1。

所以，“独脚鸡”和“双脚兔”的脚的数量与他们的头的数量之差，就是兔子的只数，即：

47－35=12（只）；鸡的数量就是：

35－12=23（只）。

当然，这道题还可以用方程来解答。

我们可以先设兔的只数（也就是头数）是x,因为“鸡头+兔头=35”，所以“鸡头=35-x”。

由此可知，有x只兔，应该有4x只兔脚，而鸡的只数是（35－x）,所以应该有2×（35－x）只鸡脚。

现在已知鸡兔的脚总共是94只，因此，我们可以列出下面的关系式：

4x+2×（35－x）=94

x=12

于是可以算出鸡的只数是35-12=23。

还有一道这样的题：

“100个和尚吃100个馒头。

大和尚一人吃3个，小和尚3人吃一个。

求大、小和尚各多少个？

”它的答案是大和尚有25个，小和尚有75个。

你知道是怎样算的吗？

数学家的文学修养

　　著名数学家徐利治先生把自己的治学经验概括为：

培养兴趣、追求简易、重视直观、学会抽象、不怕计算等五个方面。

最近他在南京讲学时又特意补上一条──喜爱文学，并谆谆教导后学，不可忽视文学修养。

在不少人看来，数学和文学似乎是磁铁的两极，前者靠理性思维，后者属形象思维，两者互相排斥。

然而历史上许多大数学家都有较好的文学修养，笛卡尔对诗歌情有独钟，认为“诗是激情和想象力的产物”，诗人靠想象力让知识的种子迸发火花。

为马克思所敬仰的数学家莱布尼兹，从小对诗歌和历史怀有浓厚的兴趣。

他充分利用家中藏书，博古通今，为后来在哲学、数学等一系列学科取得开创性成果打下坚实基础。

数学王子高斯在哥廷根大学就读期间，最喜好的两门学科是数学和语言，并终生保持对它们的爱好。

他大学一年级从图书馆所借阅的25本书中，人文学科类就占了20本。

正当作数学家还是语言学家的念头在脑中徘徊时，19岁的高斯成功地解决了正17边形的尺规作图问题，从而坚定了从事教学研究的信念。

继高斯之后的伟大数学家柯西从小喜爱数学，当一个念头闪过脑海时，他常会中断其他事，在本上算数画图。

　　他的数学天赋被数学家拉普拉斯和拉格朗日发现。

据说拉格朗日曾预言柯西将成为了不起的大数学家，并告诫其父不要让孩子过早接触数学，以免误人歧途，成为“不知道怎样使用自己语言”的大数学家。

庆幸的是，柯西的小学是在家里上的，在其父循循善诱下，系统学习了古典语言、历史、诗歌等。

具有传奇色彩的是，柯西政治流亡国外时，曾在意大利的一所大学里讲授过文学诗词课，并有《论诗词创作法》一书留世。

柯西的文学功底由此可见一斑。

G．波利亚年轻时对文学特别感兴趣，尤其喜欢德国大诗人海涅的作品，并以与海涅同日出生而骄傲，曾因把其作品译成匈牙利文而获奖。

1921年来中国讲学的罗素是当代著名的哲学家、数

　　理逻辑学家，著名的“理发师悖论”的发现者。

但他也是一个文学家，有多篇小说集出版发行。

令许多专业作家大跌眼镜的是，非科班出身的他于1950年获得诺贝尔文学奖。

　　再看着国内的数学家。

华罗庚能诗善文，所写的科普文章居高临下，通俗易懂，是值得后人效法的楷模。

苏步青自幼热爱旧体诗词，读过许多文史书籍。

他把诗词作为自己的业余爱好，靠它来调剂生活。

许宝综自幼即习古典文学，10岁后学作古文，文章言简意丰，功底非同寻常。

李国平不仅是中国的“复分析”奠基人之一，也是一位优秀的诗人，其诗集《李国平诗选》1990年由武汉大学出版社出版发行，序言则是苏步青的一首颂诗：

“名扬四海句清新，文字纵横如有神。

气吞长虹连广宇，力挥彩笔净凡尘。

东西南北径行遍，春夏秋冬人梦频。

拙我生平偏爱咏，输君珠玉得安贫。

”传为数坛佳话。

　　数学和文学是相通的。

学习数学的人要注重文学修养，有志于数学的年轻人尤其不要忽视这一点。

惊人的计算

我国著名的数学家陈景润。

在数学研究工作中，勤勤恳恳，埋头苦干，以惊人的意志，十几年如一日刻苦研究，终于证明了（1＋2），这在“哥德巴赫猜想”问题的研究上，是处于世界领先地位的。

外国数学家证明（1＋3）用了大型的、高速的电子计算机。

而陈景润证明（1＋2）完全靠自己用手计算。

有时为了求证一个大偶数的结果，常彻夜不眠不休。

经过大量的计算，他终于写出了长达二百多页的证明（l＋2）的论文。

而发表时，只能以简报形式，在《科学通报》上宣布。

我国南北朝时代的杰出数学家祖冲之，求得了圆周率在3．1415927和3.1415926之间，并且提出了约率为，密＿率为；．密率这个分数值的发现，比欧洲人早了一千多年．得出圆周率3．1416，需要算到国内按正1536边形．得出3．1415926＜π<3．1415927，要算到圆内接正24576边形．这个工作量是非常大的．至少要对9位数字反复进行130次以上加、减、乘、除、乘方和开方的运算．特别是开方更为麻烦．何况当时只能用叫做“算筹”的小竹棍去进行计算．祖冲之计算圆周率付出多少劳动，需要多大的细心、耐心和毅力就可想而知了．十六世纪德国数学家卢道尔夫，几乎花费了毕生的精力，把圆周率算到了小数点后面35位．他嘱咐他的孩子，在他死后，要把计算的圆周率，刻在他的墓碑上．天文学家，彼得堡科学院院士列奥纳尔得·埃列尔，在解决三体（太阳、地球、月亮）问题上，即在解决如何算出彼此吸引的三体中各个星球运动规律的问题方面，比别人有较大的进展，埃列尔用拉丁文写成了《月球说》一书．这本书被科学院院士克雷洛夫译成俄文时，却被迫只译出了其中最重要、最原则的论证．埃列尔的全部计算难以完全译出的原因。

就是它们占用了幅面很大的四百九十页．而这些计算是埃列尔花了四十年的时间得到的．电子计算机的发明和使用，将数学家们从繁琐的计算中解放了出来．现在用电子计算机，可以把圆周率的数值计算到九十万位．但是数学家那种把毕生精力献身于科学事业的精神和坚韧不拔的毅力，是永远值得我们学习的！

业余数学家之王──费马

　　17世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难题，使得后来的数学家一筹莫展，这个人就是费马（1601—1665）。

　　这道题是这样的：

当n>2时，xn+yn=zn没有正整数解。

在数学上这称为“费马大定理”。

为了获得它的一个肯定的或者否定的证明，历史上几次悬赏征求答案，一代又一代最优秀的数学家都曾研究过，但是300多年过去了，至今既未获得最终证明，也未被推翻。

即使用现代的电子计算机也只能证明：

当n小于等于4100万时，费马大定理是正确的。

由于当时费马声称他已解决了这个问题，但是他没有公布结果，于是留下数学难题中少有的千古之谜。

　　费马生于法国南部，在大学里学的是法律，以后以律师为职业，并被推举为议员。

费马的业余时间全用来读书，哲学、文学、历史、法律样样都读。

30岁时迷恋上数学，直到他64岁病逝，一生中有许多伟大的发现。

不过，他极少公开发表论文、著作，主要通过与友人通信透露他的思想。

在他死后，由儿子通过整理他的笔记和批注挖掘他的思想。

好在费马有个“不动笔墨不读书”的习惯，凡是他读过的书，都有他的圈圈点点，勾勾画画，页边还有他的评论。

他利用公务之余钻研数学，并且成果累累。

后世数学家从他的诸多猜想和大胆创造中受益非浅，赞誉他为“业余数学家之王”。

　　费马对数学的贡献包括：

与笛卡尔共同创立了解析几何；创造了作曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿奉为微积分的思想先驱；通过提出有价值的猜想，指明了关于整数的理论——数论的发展方向。

他还研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一。

运算顺序

　　说话、做事，总有个顺序。

顺序不同，效果就不一样。

　　客人来了，要泡茶，这就要洗茶杯、找茶叶、烧开水。

而完成这件事可以有各种不同的顺序：

　　找茶叶→洗茶杯→烧开水

　　洗茶杯→找茶叶→烧开水

　　找茶叶→烧开水→洗茶杯

　　洗茶杯→烧开水→找茶叶

　　烧开水→找茶叶→洗茶杯

　　烧开水→洗茶杯→找茶叶

　　前面两个顺序最费时，最后两个顺序效果好。

可不是吗，等洗茶杯与找茶叶这两件事做完后才想起烧开水，就费时了。

如果先烧开水，在烧水的同时洗杯子、找茶叶，效果就好多了。

　　小明上学期两次数学考试的成绩是70分与50分，下学期两次数学考试的成绩是50分与70分。

　　尽管70+50=50+70，但效果不一样：

上学期成绩下降，下学期成绩上升。

　　总之，办事总有个顺序。

因此，数学十分重视顺序。

　　在有理数的混合运算中，数学家规定了

运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减。

如果有括号，就先算括号里面的。

　　（75）÷25×（-4）=？

　　学生甲：

（-75）÷25×（-4）=（-75）÷（-100）=0.75。

　　学生乙：

（75）÷25×（-4）=×

（-4）=12。

　　谁算对了，谁算错了，或者两人都算错了？

　　在几何的学习中，还要遇到“顺序”，不注意顺序，是要闹笑话的。

学数学要一丝不苟

　　我们常听到同学说：

“老师，我这题只错了一个符号，怎么算全错7”或者说：

“小数点错了一位，为什么扣那么多的分？

”看来，有些同学对数学学科的一个特点——准确性，缺乏足够的认识。

一篇作文，主题明确，中心突出，构思严谨，文字优美，虽说有一两个错例字，是缺点，但也无伤大雅。

仍不失为一篇好文章。

数学则不然，不仅解题思路要正确，具体解题过程也不能出错，差之毫厘，往住失之千里。

　　这里介绍两则真实的故事。

　　1962年，美国发射了一艘飞往金星的“航行者一号”大空飞船。

根据预测，飞船起飞44分以后，9800个太阳能装置会自动开始工作；80天后电脑完成对航行的矫正工作；10天以后，飞船就可以环绕金星航行，开始拍照。

可是，出人意科的是，飞船起飞不到四分钟，就一头栽进大西洋里。

这是什么原因呢？

后来经过详细调查，发现当初在把资料输电脑时，有一个数据前面的负号给漏掉了，这样就使得负数变成了正数，以致影响了整个运算结果，使飞船计划失败。

一个小小的负号，竟使得美国航天局白白浪费了一千万美元、大量的人力和时间、

　　从前，医生常推荐儿童和康复的病人多吃菠菜，据说它里面含有大量的铁质，有养血、补血的功能。

可是几年前，前联邦德国化学家劳尔赫在研究化肥对蔬菜的有害作用时，无意中却发现，菠菜的实际合铁量并不象书上所讲的那么高，只有所宣传落据的十

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