高考数学复习专题训练平面向量(含详解).doc
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高考数学复习专题训练--平面向量
一、选择题w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
1．把y=f（x）按平移后，得到函数为，则f（x）=（）
（A）y=sinx （B）y=cosx
（C）y=sinx+2 （D）y=cosx+4
2．已知A（3，7），B（5，2），向量按向量（1，2）平移后所得向量是（）
（A）（2，－5） （B）（3，－3） （C）（1，－7） （D）都不是
3．在△ABC中，已知则B=（）
（A）105° （B）60°
（C）15° （D）105°或15°
4．在△ABC中，已知a=6，b=4，Ｃ=120°，则sinB的值是 （）
（A） （B） （C） （D）
5．在△ABC中，有a=2b，且Ｃ=30°，则这个三角形一定是 （）
（A）直角三角形 （B）钝角三角形
（C）锐角三角形 （D）以上都有可能
6．△ABC中，已知b=30，c=15，C=26°，则此三角形的解的情况是（）
（A）一解 （B）二解
（C）无解 （D）无法确定
7．在△ABC中，中，若，则△ABC是 （）
（A）等边三角形 （B）等腰三角形
（C）直角三角形 （D）等腰直角三角形
8．在△ABC中，已知，则等于（）
（A）（B）（C）或（D）
9．直角△ABC的斜边AB=2，内切圆的半径为r，则r的最大值是（）
（A） （B）1（C）（D）
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B
D
D
B
B
B
B
B
D
二、填空题
10．若是的单位向量，则=．
11．“与方向相反的向量”是“的相反相量”的条件．
12．设平面内有四边形ABCD和点O，若
，则四边形ABCD的形状是．
13．若平行四边形ABCD的顶点A（4，2），B（5，7），C（－3，4），则D点的坐标为．
14．已知A（3，4），B（12，7），点C在直线AB上，且则点C的坐标为．
15．若且与的夹角是钝角，则λ的取值范围是．
16．若则在方面上的投影为．
17．已知非零向量，则垂直于的充要条件是．
答案：
10．11．必要不充分条件12．平行四边形13．（―4，―1）14．（0，3）或（6，5）15．（16．17．
三、解答题
18．在直角坐标系xoy中，已知点P（2cosx＋1,2cos2x＋2）和点Q（cosx,－1），其中x∈[0,π]，若向量与垂直，求x的值．
19．已知非零向量和不共线．
（1）若＝＋，＝2＋8，＝3（－），求证：
A、B、D三点共线．
（2）欲使k＋与＋k共线，确定实数k的取值范围．
20．已知两点M（－1,0），N（1,0），且P点使·，·，·成公差小于零的等差数列．
（1）求点P的轨迹方程．
（2）若点P坐标为（x0,y0），记θ为与的夹角，求tanθ．
21．已知等腰直角△ABC中，∠C＝90°，D为CB的中点，E为AB上的点，且AE＝2EB，求证：
AD⊥CE．
22．若＝（cosα,sinα），＝（cosβ,sinβ），且|k＋|＝|－k|，k∈R＋．
（1）用k表示·；
（2）求·的最小值，并求出此时与所成的角θ．（0≤θ≤π）的大小．
23.若向量与的夹角为30°，且||＝，||＝1，＝＋，＝－，求与夹角的余弦．
24.已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）（0<α<β<π），
（1）求证：
a+b与a-b互相垂直；
（2）若ka+b与a-kb的大小相等（k∈R且k≠0），求β－α
25.平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，－2），点C满足、
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与双曲线交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：
.
答案：
18．
19．
（1）证，
（2）存在，使
不共线，
∴
20．
（1）设，，
由题得且
（2）且
又，
21．设，则
，
22．
（1）
，
又，
（2）等号仅当时成立，
故，此时
23.
24.
（1）证法一：
∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）
∴a+b＝（cosα+cosβ，sinα+sinβ）,a-b＝（cosα-cosβ，sinα-sinβ）
∴（a+b）·（a-b）=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）·（cosα-cosβ，sinα-sinβ）
=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0
∴（a+b）⊥（a-b）
证法二：
∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ） ∴|a|＝1，|b|＝1
∴（a+b）·（a-b）=a2-b2=|a|2-|b|2=0 ∴（a+b）⊥（a-b）
证法三：
∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）∴|a|＝1，|b|＝1,
记＝a，＝b，则||＝||=1,
又α≠β，∴O、A、B三点不共线。
由向量加、减法的几何意义，可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，其中＝a+b，＝a-b，由菱形对角线互相垂直，知（a+b）⊥（a-b）
（2）解：
由已知得|ka+b|与|a-kb|,
又∵|ka+b|2＝（kcosα+cosβ）2+（ksinα+sinβ）2=k2+1+2kcos（β－α）,
|ka+b|2＝（cosα-kcosβ）2+（sinα-ksinβ）2=k2+1-2kcos（β－α）,
∴2kcos（β－α）=-2kcos（β－α）
又∵k≠0 ∴cos（β－α）＝0
∵0<α<β<π ∴0<β－α<π,∴β－α=
注：
本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明。
25.
（1）解：
设
即点C的轨迹方程为x+y=1
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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