高考数学文科试卷广东.doc

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2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东A卷）

数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式：

锥体的体积公式V=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U=R，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛｝关系的韦恩（Venn）图是

2．下列n的取值中，使in=1（i是虚数单位）的是

　　A．n=2　　　B．n=3　　　C．n=4　　　D．n=5

3．已知平面向量a=（x，1），b=（—x，x2），则向量a+b

A．平行于x轴　B．平行于第一、三象限的角平分线

C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线

4．若函数是函数的反函数，且，则

A．B．C．D．

5．已知等比数列的公比为正数，且，，则

　A．　　B．　　C．　　D．

6．给定下列四个命题：

　①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。

其中，为真命题的是

A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④

7．已知中，的对边分别为。

若，且，则

A．2B．C．D．

8．函数的单调递增区间是

　A．B．（0，3）C．（1，4）D．

9．函数是

　A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数

　C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数

10．广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：

百公里）见右表。

若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是

A．20.6B．21C．22D．23

二、填空题：

本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，

（一）必做题（11~13题）

11．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：

图1是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填

，输出的=。

（注：

框图中的赋值符号“=”也可以写成“”或“：

=”）

12．某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组（1~5号，6~10号，，196~200号）。

若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是。

若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取人。

13．以点（2，－1）为圆心且与直线相切的圆的方程是_______________________。

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）若直线（为参数）与直线垂直，则常数=________。

15．（几何证明选讲选做题）如图3，点A，B，C是圆上的点，且，，则圆的面积等于__________________。

三、解答题：

本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分12分）

已知向量与互相垂直，其中.

（1）求和的值；

（2）若，求的值。

17．（本小题满分13分）

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。

墩的上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体。

图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。

（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；

（2）求该安全标识墩的体积；

（3）证明：

直线平面.

18．（本小题满分13分）

随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：

cm），获得身高数据的茎叶图如图7。

（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；

（2）计算甲班的样本方差；

（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率。

19．（本小题满分14分）

已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为和，椭圆G上一点到和的距离之和为12。

圆：

的圆心为点。

（1）求椭圆G的方程；

（2）求面积；

（3）问是否存在圆包围椭圆G？

请说明理由。

20．（本小题满分14分）

已知点是函数的图像上一点。

等比数列的前n项和为。

数列的首项为c，且前n项和满足

（1）求数列和的通项公式；

（2）若数列的前项和为，问满足＞的最小正整数是多少？

21．（本小题满分14分）

已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值。

设函数。

（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；

（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点。

2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科）参考答案

一、选择题

1-10BCCABDADAB

1、【解析】由N={x|x+x=0}得,选B.

2、【解析】因为,故选C.

3、【解析】,由及向量的性质可知,C正确.

4、【解析】函数的反函数是,又,即,

所以,,故,选A.

5、【解析】设公比为,由已知得,即,因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B

6、【解析】①错,②正确,③错,④正确.故选D

7、【解析】

由a=c=可知,,所以,

由正弦定理得,故选A

8、【解析】,令,解得,故选D

9、【解析】因为为奇函数,,所以选A.

10、【解析】由题意知,所有可能路线有6种:

①,②,③,④,⑤,⑥,

其中,路线③的距离最短,最短路线距离等于,

故选B.

二、填空题

11、【答案】,

【解析】顺为是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，所图中判断框应填，输出的s=.

12、【答案】37,20

【解析】由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.

40岁以下年龄段的职工数为,则应抽取的人数为人.

13、【解析】将直线化为,圆的半径,所以圆的方程为

14、【答案】

【解析】将化为普通方程为,斜率,

当时,直线的斜率,由得;

当时,直线与直线不垂直.

综上可知,.

15、【答案】

【解析】连结AO,OB,因为,所以,为等边三角形,故圆O的半径,圆O的面积.

三、解答题

16、【解析】（１）,,即

又∵,∴,即,∴

又　,

（2）∵

,即

又,∴

17、【解析】

（1）侧视图同正视图,如下图所示.

　　　（２）该安全标识墩的体积为：

　　　（３）如图,连结EG,HF及BD，EG与HF相交于O,连结PO.

由正四棱锥的性质可知,平面EFGH,

又平面PEG

又平面PEG；

18、【解析】

（1）由茎叶图可知：

甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于之间。

因此乙班平均身高高于甲班;

（2）

甲班的样本方差为

＝57

（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；

从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：

（181，173）（181，176）

（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173）

（178,176）（176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；

；

19、【解析】

（1）设椭圆G的方程为：

（）半焦距为c;

则,解得,

所求椭圆G的方程为：

.

（2）点的坐标为

（3）若，由可知点（6，0）在圆外，

若，由可知点（-6，0）在圆外；

不论K为何值圆都不能包围椭圆G.

20、【解析】

（1）,

,

.

又数列成等比数列，，所以；

又公比，所以；

又,,；

数列构成一个首相为1公差为1的等差数列，，

当，；

（）；

（2）

；

由得，满足的最小正整数为112.

21、【解析】

（1）设，则；

又的图像与直线平行

又在取极小值，，

，；

，设

则

；

（2）由，

得

当时，方程有一解，函数有一零点；

当时，方程有二解，若，，

函数有两个零点；若，

，函数有两个零点；

当时，方程有一解,,函数有一零点