大学生数学竞赛(非数)试题及答案.doc

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线

封

密

大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案

考试形式：

闭卷 考试时间：

120分钟 满分：

100分.

题 号

一

二

三

四

五

六

七

八

总分

满 分

20

5

10

15

10

10

15

15

100

得 分

注意：

1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.

得分

评阅人

一、填空（每小题5分，共20分）.

（1）计算=.

（2）设在连续，且存在，则=.

（3）若，则.

（4）已知的一个原函数为，则=.

（1）.

（2）3.（3）.（4）.

得分

评阅人

二、（5分）计算，其中

.

解：

=+--------2分

=+-------------4分

=-------------5分.

得分

评阅人

三、（10分）设，其中具有二阶

导数，求.

解：

---------------3分

-----7分

=---------10分.

得分

评阅人

四、（15分）已知，求的值.

解：

---------3分

令，所以

---------6分

=------------7分

=，-----------9分

由，故=，-----------12分

即=0-----------13分

亦即-------------14分

所以-------------15分.

得分

评阅人

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年级：

专业：

线

封

密

五、（10分）求微分方程满足条件的特解.

解：

原方程可化为

-----------2分

这是一阶线性非齐次方程，代入公式得

----------4分

=----------5分

=-----------6分

=.---------------7分

所以原方程的通解是.----------8分

再由条件，有，即，-----------9分

因此，所求的特解是.----------10分.

得分

评阅人

六（10分）、若函数在内具有二阶导

数，且，其中，证明：

在内至少有一点，使。

证：

由于在内具有二阶导数，所以在上连续，

在内可导，再根据题意，

由罗尔定理知至少存在一点，使=0；--------3分

同理，在上对函数使用罗尔定理得至少存在一点，使=0；---------6分

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年级：

专业：

线

封

密

对于函数，由已知条件知在[，]上连续，在（，）内可导，且==0，由罗尔定理知至少存在一点（，），使，而，），故结论得证----------10分.

得分

评阅人

七、（15分）已知曲线和直线，围成平面图形.

（1）求平面图形的面积；

（2）求绕轴旋转所成立体的体积.

解：

（1）-----------2分

-----------4分

-----------5分

（2）因为，-----------6分

所以-----------9分

=------------11分

=-----------13分

=.--------------15分.

得分

评阅人

八、（15分）设有连续的一阶偏导数，又函数及分别由下列两式确定：

和，求.

解：

，

（1）---------4分

由两边对求导，得

=0，--------------7分

即---------------9分

又由两边对求导，得

，-----------11分

即-----------13分

将其代入

（1）式，得.-----------15分.

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