大学生数学竞赛真题非数学类.pdf
《大学生数学竞赛真题非数学类.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学生数学竞赛真题非数学类.pdf（14页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题一、填空题（每小题55分，共分，共2020分）分）1计算=+yxyxxyyxDdd1）1ln（）（_，其中区域D由直线1=+yx与两坐标轴所围成三角形区域.2设）（xf是连续函数，且满足=2022d）（3）（xxfxxf,则=）（xf_.3曲面2222+=yxz平行平面022=+zyx的切平面方程是_.4设函数）（xyy=由方程29ln）（yyfexe=确定，其中f具有二阶导数，且1f，则=22ddxy_.二、（55分）求极限分）求极限xenxxxxneee）（lim20+，其中，其中n是给定的正整数是给定的正整数.三、（三、（1515分）设函数分）设函数）（xf连续，连续，=10d）（）（txtfxg，且，且Axxfx=）（lim0，A为常数，求为常数，求）（xg并讨论并讨论）（xg在在0=x处的连续性处的连续性.四、（四、（1515分）已知平面区域分）已知平面区域0,0|）,（=yxyxD，L为为D的正向边界，试的正向边界，试证：
证：
（11）=LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin；（22）2sinsin25ddLyyxyeyxe.五、（五、（1010分）已知分）已知xxexey21+=，xxexey+=2，xxxeexey+=23是某二阶常系数是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、六、（1010分）设抛物线分）设抛物线cbxaxyln22+=过原点过原点.当当10x时时,0y,又已知该抛物又已知该抛物线与线与x轴及直线轴及直线1=x所围图形的面积为所围图形的面积为31.试确定试确定cba,使此图形绕使此图形绕x轴旋转一周而成的轴旋转一周而成的旋转体的体积最小旋转体的体积最小.七、（七、（1515分）已知分）已知）（xun满足满足）,2,1（）（）（1=+=nexxuxuxnnn,且且neun=）1（,求函数求函数项级数项级数=1）（nnxu之和之和.八、（八、（1010分）求分）求1x时时,与与=02nnx等价的无穷大量等价的无穷大量.2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（一、（2525分，每小题分，每小题55分）分）
（1）设22
（1）
（1）
（1）,nnxaaa=+L其中|1,a求lim.nnx
（2）求21lim1xxxex+。
（3）设0s，求0（1,2,）sxnIexdxn=L。
（4）设函数（）ft有二阶连续导数，221,（,）rxygxyfr=+=，求2222ggxy+。
（5）求直线10:
0xylz=与直线2213:
421xyzl=的距离。
二、（二、（1515分）设函数分）设函数（）fx在在（,）+上具有二阶导数，并且上具有二阶导数，并且（）0,lim（）0,lim（）0,xxfxfxfx+=且存在一点且存在一点0x，使得，使得0（）0fx。
三、三、（1515分）设函数分）设函数（）yfx=由参数方程由参数方程22
（1）（）xtttyt=+=所确定，其中所确定，其中（）t具有二具有二阶导数，曲线阶导数，曲线（）yt=与与22132tuyedue=+在在1t=出相切，求函数出相切，求函数（）t。
四、（四、（1515分）设分）设10,nnnkkaSa=证明：
证明：
（11）当）当1时，级数时，级数1nnnaS+=收敛；收敛；（22）当）当1且且（）nsn时，级数时，级数1nnnaS+=发散发散。
五、（五、（1515分）设分）设l是过原点、方向为是过原点、方向为（,），（其中，（其中2221）+=的直线，均匀椭的直线，均匀椭球球2222221xyzabc+，其中（，其中（0,cba密度为密度为11）绕）绕l旋转。
旋转。
（11）求其转动惯量；）求其转动惯量；（22）求其转动惯量关于方向）求其转动惯量关于方向（,）的最大值和最小值。
的最大值和最小值。
六、六、（15（15分分）设函数设函数（）x具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线上，曲线积分积分422（）cxydxxdyxy+的值为常数。
的值为常数。
（11）设）设L为正向闭曲线为正向闭曲线22
（2）1,xy+=证明证明422（）0;cxydxxdyxy+=+（22）求函数）求函数（）x；（33）设）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422（）cxydxxdyxy+。
2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷一一计算下列各题（本题共计算下列各题（本题共33小题，每小题各小题，每小题各55分，共分，共1515分）分）
（1）.求11cos0sinlimxxxx；
（2）.求111lim.12nnnnn+；（3）已知（）2ln1arctanttxeyte=+=，求22dydx。
二（本题二（本题1010分）求方程分）求方程（）（）2410xydxxydy+=的通解的通解。
三（本题三（本题1515分）设函数分）设函数f（x）f（x）在在x=0x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且的某邻域内具有二阶连续导数，且（）（）（）0,0,0fff均不为均不为00，证明：
存在唯一一组实数，证明：
存在唯一一组实数123,kkk，使得，使得（）（）（）（）12320230lim0hkfhkfhkfhfh+=。
四（本题17分）设2221222:
1xyzabc+=，其中0abc，2222:
zxy=+，为1与2的交线，求椭球面1在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。
五（本题五（本题1616分）已知分）已知SS是空间曲线是空间曲线22310xyz+=绕绕yy轴旋转形成的椭球面的上半部轴旋转形成的椭球面的上半部分（分（0z）取上侧，）取上侧，是是SS在在（）,Pxyz点处的切平面，点处的切平面，（）,xyz是原点到切是原点到切平面平面的距离，的距离，,表示表示SS的正法向的方向余弦。
计算：
的正法向的方向余弦。
计算：
（11）（）,SzdSxyz；（；（22）（）3SzxyzdS+六（本题12分）设f（x）是在（）,+内的可微函数，且（）（）fxmfx、，其中01m，任取实数0a，定义（）1ln,1,2,.,nnafan=证明：
（）11nnnaa=绝对收敛。
七七（本题（本题1515分）是否存在区间分）是否存在区间0,2上的连续可微函数上的连续可微函数f（x）f（x），满足，满足（）（）021ff=，（）（）201,1fxfxdx、？
请说明理由。
？
请说明理由。
2012年第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（本大题共5小题，每小题6分共30分）解答下列个体（要求写出要求写出重要步骤）
（1）求极限21）!
（limnnn
（2）求通过直线=+=+034550232:
zyxzyxl的两个互相垂直的平面1和2，使其中一个平面过点）1,3,4（。
（3）已知函数byaxeyxuz+=）,（，且02=yxu。
确定常数a和b，使函数）,（yxzz=满足方程02=+zyzxzyxz（4）设函数）（xuu=连续可微，1）2（=u，且udyuxudxyx）（）2（3+在右半平面与路径无关，求）,（yxu。
（5）求极限dttttxxxxcossinlim13+二、（本题10分）计算dxxexsin20+三、求方程50121sin2=xxx的近似解，精确到0.001.四、（本题12分）设函数）（xfy=二阶可导，且0）（xf，0）0（=f，0）0（=f，求uxfufxx330sin）（）（lim，其中u是曲线）（xfy=上点）（,（xfxP处的切线在x轴上的截距。
五、（本题12分）求最小实数C，使得满足1）（10=dxxf的连续函数）（xf都有Cdxxf）（10六、（本题12分）设）（xf为连续函数，0t。
区域是由抛物面22yxz+=和球面2222tzyx=+）0（z所围起来的部分。
定义三重积分dvzyxftF）（）（222+=求）（tF的导数）（tF七、（本题14分）设nna=1与nnb=1为正项级数，证明：
（1）若（）01lim11+nnnnnbbaa，则级数nna=1收敛；
（2）若（）01lim11+nnnnnbbaa，且级数nnb=1发散，则级数nna=1发散。
2013年第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、一、解答下列各题（每小题解答下列各题（每小题6分共分共24分，要求写出重要步骤）分，要求写出重要步骤）1.求极限（）2lim1sin14nnn+.2.证明广义积分0sinxdxx+不是绝对收敛的3.设函数（）yyx=由323322xxyy+=确定，求（）yx的极值。
4.过曲线（）30yxx=上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为34，求点A的坐标。
二、（满分二、（满分12）计算定积分）计算定积分2sinarctan1cosxxxeIdxx=+三、（满分三、（满分12分分）设）设（）fx在在0x=处存在二阶导数处存在二阶导数（）0f，且，且（）0lim0xfxx=。
证明证明：
级数：
级数11nfn=收敛。
收敛。
四、（满分四、（满分12分）设分）设（）（）（）,0fxfxaxb，证明证明（）2sinbafxdxm五、（满分五、（满分14分）设分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。
给定第二是一个光滑封闭曲面，方向朝外。
给定第二型的曲面积分型的曲面积分（）（）（）33323Ixxdydzyydzdxzzdxdy=+。
试确定曲面。
试确定曲面，使积分使积分I的值最小，并求该最小值。
的值最小，并求该最小值。
六、（满分六、（满分14分）设分）设（）（）22aaCydxxdyIrxy=+，其中其中a为常数，曲线为常数，曲线C为椭为椭圆圆222xxyyr+=，取正向。
求极限，取正向。
求极限（）limarIr+七（满分（满分14分）判断级数分）判断级数（）（）1111212nnnn=+L的敛散性，若收敛，求其和。
的敛散性，若收敛，求其和。
2014年全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题（共有5小题，每题6分，共30分）1.已知xey=1和xxey=1是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是__2.设有曲面222:
yxzS+=和平面022:
=+zyxL。
则与L平行的S的切平面方程是_3.设函数）（xyy=由方程=xydttx124sin所确定。
求=0xdxdy_4.设=+=nknkkx1）!
1（。
则=nnxlim_5.已知310）（1limexxfxxx=+。
则=20）（limxxfx_二、（本题12分）设n为正整数，计算=121lncosnedxxdxdI。
三、（本题14分）设函数）（xf在1,0上有二阶导数，且有正常数BA,使得Bxf|）（|。
证明：
对任意1,0x，有22|）（|BAxf+。
四、（本题14分）
（1）设一球缺高为h，所在球半径为R。
证明该球缺体积为2）3（3hhR。
球冠面积为Rh2；
（2）设球体12）1（）1（）1（222+zyx被平面6:
=+zyxP所截得小球缺为，记球冠为，方向指向球外。
求第二型曲面积分+=zdxdyydzdxxdydzI五、（本题15分）设f在,ba上非负连续，严格单增，且存在,baxn，使得=bannndxxfabxf）
（1）（。
求nnxlim六、（本题15分）设2222221nnnnnnnAn+=。
求nnAn4lim2015年第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）
（1）极限2222sinsinsinlim12nnnnnnnn+=+L.
（2）设函数（）,zzxy=由方程,0zzFxyyx+=所决定，其中（）,Fuv具有连续偏导数，且0uvxFyF+。
则zzxyxy+=.（3）曲面221zxy=+在点（）1,1,3M的切平面与曲面所围区域的体积是.（4）函数（）3,5,00.0,5xfxx=在（5,5的傅立叶级数在0x=收敛的值是.（3）设区间（）0,+上的函数（）ux定义域为的（）20xtuxedt+=，则（）ux的初等函数表达式是.二、（12分）设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。
三、（12分）设（）fx在（）,ab内二次可导，且存在常数,，使得对于（）,xab，有（）（）（）fxfxfx=+，则（）fx在（）,ab内无穷次可导。
四、（14分）求幂级数（）（）30211!
nnnxn=+的收敛域，及其和函数。
五、（16分）设函数（）fx在0,1上连续，且（）（）11000,1fxdxxfxdx=。
试证：
（1）00,1x使（）04fx
（2）10,1x使（）14fx=六、（16分）设（）,fxy在221xy+上有连续的二阶偏导数，且2222xxxyyyfffM+。
若（）（）（）0,00,0,00,00,xyfff=证明：
（）221,4xyMfxydxdy+。
20162016年年第八届全国大学生数学竞赛第八届全国大学生数学竞赛一、填空题（每小题5分，满分30分）1、若（）fx在点xa=可导，且（）0fa，则（）1limnnfanfa+=.2、若（）10f=，（）1f存在，求极限（）（）220sincostan3lim1sinxxfxxxIex+=.3、设（）fx有连续导数，且（）12f=，记（）2xzfey=，若zzx=，求（）fx在0x的表达式.4、设（）sin2xfxex=，求02na，（）（）40f.5、求曲面222xzy=+平行于平面220xyz+=的切平面方程.二、（14分）设（）fx在0,1上可导，（）00f=，且当（）0,1x，（）01fx，试证当（）0,1a，（）（）（）2300aafxdxfxdx.三、（14分）某物体所在的空间区域为222:
22xyzxyz+，密度函数为222xyz+，求质量（）222Mxyzdxdydz=+.四、（14分）设函数（）fx在闭区间0,1上具有连续导数，（）00f=，（）11f=，证明：
（）10111lim2nnkknfxdxfnn=.五、（14分）设函数（）fx在闭区间0,1上连续，且（）100Ifxdx=，证明：
在（）0,1内存在不同的两点12,xx，使得（）（）12112fxfxI+=.六、设（）fx在（）,+可导，且（）（）（）23fxfxfx=+=+.用Fourier级数理论证明（）fx为常数.
升级会员 