量子力学A解答2010.doc

量子力学A解答2010.doc

《量子力学A解答2010.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量子力学A解答2010.doc（4页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

（2010年）07级量子力学A卷答案与评分标准

一、选择题（每小题2分，共20分）

1.D,2.C,3.A,4.A,5.A,6.C,7.D,8.D,9.C,10.C

二、填空题（每空2分，共20分）

1.单值，连续，有限（平方可积）；2.t时刻粒子出现在区间的概率；

2.对易（），；3.两个力学量对应的算符对易

4.0，，0：

，：

，

三、证明题（各5分，共15分）

1.证明对易关系

证明：

2.已知算符A、B是厄米的，证明算符也是厄米的。

证明：

已知，，（2分）

3.设、是不显含时间算符，并与、对应的力学量是守恒量，试证明对应的量也是守恒量。

证明：

因为、对应的量是守恒量，且、不显含时间t，且有

（2分）

因此有不显含时间。

并有

所以、是守恒量。

（3分）

四、方程求解题（每题10分，共20分）

1.粒子在一维无限深势阱

中运动，求粒子的能级和波函数。

解：

当x<0和x>a时，有y=0；

当0

，（2分）

令，解出。

（2分）

X=0时,y=0,ÞA=0；x=a时,y=0,ÞBsinaa=0,\aa=np,

，，Þ（2分）

。

（2分）

由

\，（1分）

（1分）

2.厄米算符A与B满足A、B均无简并，求：

在A表象中A与B矩阵表示形式，并求A与B的本征函数表示式。

解：

因为，算符的本征值为,在A表中，的矩阵表示式为对角阵，对角元为其本征值=，（1分）

设的矩阵表示为，，（2分）

，又因为，故有,于是，有，

=（2分）

在表象中，的波函数为基矢量，所以有：

本征值为1的本征矢量为本征值为-1的本征矢量为（1分）

设的本证矢量为，，

所以：

，由归一化条件，有

相应的本征值为1，的本征函数为，（2分）

，，所以：

，

由归一化条件，有，相应的本征值为，，（2分）

五、求算符平均值题（每题6分，共12分）

1.氢原子处在基态，求动能平均值。

解：

（法1）：

（3分）

,（2分）

（1分）

（法2）：

（2分）

（2分）

（2分）

2.在本征态下，求

解：

因为，而

（2分）

（2分）

所以，（1分）

六．微扰计算题（13分）

设哈密顿在能量表象中的矩阵是,a,b是实数，且远小于

，用微扰论法求能量至二级修正。

解：

由（2分），

∴（6分）；

同理（5分）。