《概率论与数理统计》讲义.doc

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第一章随机事件和概率

第一节基本概念

1、排列组合初步

（1）排列组合公式

从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

例1．1：

方程的解是

A． 4B．3C．2D．1

例1．2：

有5个队伍参加了甲A联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？

（2）加法原理（两种方法均能完成此事）：

m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。

（3）乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：

m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成。

例1．3：

从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？

例1．4：

6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？

例1．5：

用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法

A．120种 B．140种 C．160种 D．180种

（4）一些常见排列

①特殊排列

②相邻

③彼此隔开

④顺序一定和不可分辨

例1．6：

晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：

分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？

①3个舞蹈节目排在一起；

②3个舞蹈节目彼此隔开；

③3个舞蹈节目先后顺序一定。

例1．7：

4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？

例1．8：

5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？

①重复排列和非重复排列（有序）

例1．9：

5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？

②对立事件

例1．10：

七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？

例1．11：

15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？

例1．12：

有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

③顺序问题

例1．13：

3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？

（有序）

例1．14：

3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？

（有序）

例1．15：

3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？

（无序）

2、随机试验、随机事件及其运算

（1）随机试验和随机事件

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

例如：

掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

（1）每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

（2）任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示，例如（离散）。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。

一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。

通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。

如果某个是事件A的组成部分，即这个在事件A中出现，记为。

如果在一次试验中所出现的有，则称在这次试验中事件A发生。

如果不是事件A的组成部分，就记为。

在一次试验中，所出现的有，则称此次试验A没有发生。

为必然事件，Ø为不可能事件。

（2）事件的关系与运算

①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：

如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：

A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：

AB，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。

A、B同时发生：

AB，或者AB。

AB=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。

基本事件是互不相容的。

-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。

它表示A不发生的事件。

互斥未必对立。

②运算：

结合率：

A（BC）=（AB）CA∪（B∪C）=（A∪B）∪C

分配率：

（AB）∪C=（A∪C）∩（B∪C）（A∪B）∩C=（AC）∪（BC）

德摩根率：

，

例1．16：

一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。

现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。

写出该试验的样本空间。

若表示取到的两只球是白色的事件，表示取到的两只球是红色的事件，试用、表示下列事件：

（1）两只球是颜色相同的事件，

（2）两只球是颜色不同的事件，

（3）两只球中至少有一只白球的事件。

例1．17：

硬币有正反两面，连续抛三次，若Ai表示第i次正面朝上，用Ai表示下列事件：

（1）前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件，

（2）至少有一次正面朝上的事件，

（3）前两次正面朝上的事件。

3、概率的定义和性质

（1）概率的公理化定义

设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P（A），若满足下列三个条件：

1°0≤P（A）≤1，

2°P（Ω）=1

3°对于两两互不相容的事件，，…有

常称为可列（完全）可加性。

则称P（A）为事件的概率。

（2）古典概型（等可能概型）

1°，

2°。

设任一事件，它是由组成的，则有

P（A）==

例1．18：

集合A中有100个数，B中有50个数，并且满足A中元素与B中元素关系a+b=10的有20对。

问任意分别从A和B中各抽取一个，抽到满足a+b=10的a,b的概率。

例1．19：

5双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？

例1．20：

在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者，则指定的4个座位被坐满的概率是

A． B． C． D．

例1．21：

3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的概率？

（有序）

例1．22：

3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的概率？

（有序）

例1．23：

3白球，2黑球，任取2球，2白的概率？

（无序）

注意：

事件的分解；放回与不放回；顺序问题。

4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）

（1）加法公式

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

当P（AB）＝0时，P（A+B）=P（A）+P（B）

例1．24：

从0，1，…，9这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：

A＝“三个数字中不含0或者不含5”。

（2）减法公式

P（A-B）=P（A）-P（AB）

当BA时，P（A-B）=P（A）-P（B）

当A=Ω时，P（）=1-P（B）

例1．25：

若P（A）=0.5,P（B）=0.4,P（A-B）=0.3，求P（A+B）和P（+）.

例1．26：

对于任意两个互不相容的事件A与B，以下等式中只有一个不正确，它是：

（A）P（A-B）=P（A）（B）P（A-B）=P（A）+P（∪）-1

（C）P（-B）=P（）-P（B）（D）P[（A∪B）∩（A-B）]=P（A）

（E）p[]=P（A）-P（∪）

（3）条件概率和乘法公式

定义设A、B是两个事件，且P（A）>0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P（Ω/B）=1P（/A）=1-P（B/A）

乘法公式：

更一般地，对事件A1，A2，…An，若P（A1A2…An-1）>0，则有

…………。

例1．27：

甲乙两班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。

例1．28：

5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？

①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。

（4）全概公式

设事件满足

1°两两互不相容，，

2°，

则有

。

此公式即为全概率公式。

例1．29：

播种小麦时所用的种子中二等种子占2％，三等种子占1.5％，四等种子占1％，其他为一等种子。

用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，试求种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。

例1．30：

甲盒内有红球4只，黑球2只，白球2只；乙盒内有红球5只，黑球3只；丙盒内有黑球2只，白球2只。

从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是：

A．0.5625 B．0.5 C．0.45 D．0.375 E．0.225

例1．31：

100个球，40个白球，60个红球，不放回先后取2次，第2次取出白球的概率？

第20次取出白球的概率？

（5）贝叶斯公式

设事件，，…，及满足

1°，，…，两两互不相容，>0，1，2，…，，

2°，，

则

，i=1，2，…n。

此公式即为贝叶斯公式。

，（，，…，），通常叫先验概率。

，（，，…，），通常称为后验概率。

如果我们把当作观察的“结果”，而，，…，理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

例1．32：

假定用甲胎蛋白法诊断肝癌。

设表示被检验者的确患有肝癌的事件，表示诊断出被检验者患有肝癌的事件，已知，，。

现有一人被检验法诊断为患有肝癌，求此人的确患有肝癌的概率。

5、事件的独立性和伯努利试验

（1）两个事件的独立性

设事件、满足，则称事件、是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。

若事件、相互独立，且，则有

所以这与我们所理解的独立性是一致的。

若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。

（证明）

由定义，我们可知必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。

（证明）

同时，Ø与任何事件都互斥。

（2）多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P（AB）=P（A）P（B）；P（BC）=P（B）P（C）；P（CA）=P（C）P（A）

并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

两两互斥→互相互斥。

两两独立→互相独立？

例1．33：

已知，证明事件、相互独立。

例1．34：

A，B，C相互独立的充分条件：

（1）A，B，C两两独立

（2）A与BC独立

例1．35：

甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为0.9，乙射中的概率为0.8，求目标没有被射中的概率。

（3）伯努利试验

定义我们作了次试验，且满足

u每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；

u次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；

u每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。

用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率，

，。

例1．36：

袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中任取a+b次球，每次放回，试求其中含a

个白球，b个黑球的概率（a≤α，b≤β）。

例1．37：

做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p，求在第n次成功之前恰失败m次的概率。

第二节练习题

1、事件的运算和概率的性质

例1．38：

化简（A+B）（A+）（+B）

例1．39：

ABC=AB（C∪B）成立的充分条件为：

（1）ABC

（2）BC

例1．40：

已知P（A）=x，P（B）=2x，P（C）=3x，P（AB）=P（BC），求x的最大值。

例1．41：

当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则下列结论正确的是

（A）P（C）=P（AB）。

（B）P（C）=P（AB）。

（C）P（C）≥P（A）+P（B）-1

（D）P（C）≤P（A）+P（B）-1。

[ ]

2、古典概型

例1．42：

3男生，3女生，从中挑出4个，问男女相等的概率？

例1．43：

电话号码由四个数字组成，每个数字可以是0,1,2,…,9中的任一个数，求电话号码是由完全不同的数字组成的概率。

例1．44：

袋中有6只红球、4只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，则得分不大于6分的概率是

A． B． C． D．

例1．45：

10个盒子，每个装着标号为“1－6”的卡片。

每个盒子任取一张，问10张中最大数是4的概率？

例1．46：

将n个人等可能地分到N（n≤N）间房间中去，试求下列事件的概率。

A＝“某指定的n间房中各有1人”；

B＝“恰有n间房中各有1人”

C＝“某指定的房中恰有m（m≤n）人”

例1．47：

有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问全是白色的概率？

3、条件概率和乘法公式

例1．48：

假设事件A和B满足P（B|A）=1，则

（A）A是必然事件。

（B）。

（C）。

（D）。

[ ]

例1．49：

设A，B为两个互斥事件，且P（A）>0,P（B）>0，则结论正确的是

（A）P（B|A）>0。

（B）P（A|B）=P（A）。

（C）P（A|B）=0。

（D）P（AB）=P（A）P（B）。

[ ]

例1．50：

某种动物由出生而活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率。

例1．51：

某人忘记三位号码锁（每位均有0～9十个数码）的最后一个数码，因此在正确拨出前两个数码后，只能随机地试拨最后一个数码，每拨一次算作一次试开，则他在第4次试开时才将锁打开的概率是

A． B． C． D．

例1．52：

在空战训练中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率是0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率是0.4，求在这几个回合中：

①甲机被击落的概率；②乙机被击落的概率。

例1．53：

为防止意外事故，在矿井内同时安装两种报警系统A与B，每种系统单独使用时，其有效率A为0.92，B为0.93，在A失灵条件下B有效概率为0.85。

求：

（1）这两种警报系统至少有一个有效的概率；

（2）在B失灵条件下，A有效的概率。

4、全概和贝叶斯公式

例1．54：

甲文具盒内有2支蓝色笔和3支黑色笔，乙文具盒内也有2支蓝色笔和3支黑色笔．现从甲文具盒中任取2支笔放入乙文具盒，然后再从乙文具盒中任取2支笔．求最后取出的2支笔都是黑色笔的概率。

例1．55：

三个箱子中，第一箱装有4个黑球1个白球，每二箱装有3个黑球3个白球，第三箱装有3个黑球5个白球。

现先任取一箱，再从该箱中任取一球，问：

（1）取出的球是白球的概率？

（2）若取出的为白球，则该球属于第二箱的概率？

例1．56：

袋中有4个白球、6个红球，先从中任取出4个，然后再从剩下的6个球中任取一个，则它恰为白球的概率是 。

5、独立性和伯努利概型

例1．57：

设P（A）>0,P（B）>0，证明

（1）若A与B相互独立，则A与B不互斥；

（2）若A与B互斥，则A与B不独立。

例1．58：

设两个随机事件A，B相互独立，已知仅有A发生的概率为，仅有B发生的概率为，则P（A）= ，P（B）= 。

例1．59：

若两事件A和B相互独立，且满足P（AB）=P（）, P（A）=0.4，求P（B）.

例1．60：

设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件；ABC=Ф，P（A）=P（B）=P（C）<，且已知，则P（A）= 。

例1．61：

A发生的概率是0.6，B发生的概率是0.5，问A,B同时发生的概率的范围？

例1．62：

设某类型的高炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要多少门这样的高炮同时独立发射（每门射一次）才能使击中飞机的概率达到95%以上。

例1．63：

由射手对飞机进行4次独立射击，每次射击命中的概率为0.3，一次命中时飞机被击落的概率为0.6，至少两次命中时飞机必然被击落，求飞机被击落的概率。

例1．64：

将一骰子掷m+n次，已知至少有一次出6点，求首次出6点在第n次抛掷时出现的概率。

例1．65：

两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2：

1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2：

1。

今任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的

（A）154倍（B）254倍（C）798倍（D）1024倍

第二章随机变量及其分布

第一节基本概念

在许多试验中，观察的对象常常是一个随同取值的量。

例如掷一颗骰子出现的点数，它本身就是一个数值，因此P（A）这个函数可以看作是普通函数（定义域和值域都是数字，数字到数字）。

但是观察硬币出现正面还是反面，就不能简单理解为普通函数。

但我们可以通过下面的方法使它与数值联系起来。

当出现正面时，规定其对应数为“1”；而出现反面时，规定其对应数为“0”。

于是

称为随机变量。

又由于是随着试验结果（基本事件）不同而变化的，所以实际上是基本事件的函数，即X=X（ω）。

同时事件A包含了一定量的ω（例如古典概型中A包含了ω1，ω2，…ωm，共m个基本事件），于是P（A）可以由P（X（ω））来计算，这是一个普通函数。

定义设试验的样本空间为，如果对中每个事件都有唯一的实数值X=X（ω）与之对应，则称X=X（ω）为随机变量，简记为。

有了随机变量，就可以通过它来描述随机试验中的各种事件，能全面反映试验的情况。

这就使得我们对随机现象的研究，从前一章事件与事件的概率的研究，扩大到对随机变量的研究，这样数学分析的方法也可用来研究随机现象了。

一个随机变量所可能取到的值只有有限个（如掷骰子出现的点数）或可列无穷多个（如电话交换台接到的呼唤次数），则称为离散型随机变量。

像弹着点到目标的距离这样的随机变量，它的取值连续地充满了一个区间，这称为连续型随机变量。

1、随机变量的分布函数

（1）离散型随机变量的分布率

设离散型随机变量的可能取值为Xk（k=1,2,…）且取各个值的概率，即事件（X=Xk）的概率为

P（X=xk）=pk，k=1,2,…，

则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。

有时也用分布列的形式给出：

。

显然分布律应满足下列条件：

（1），，

（2）。

例2．1：

投骰子，出现偶数的概率？

例2．2：

4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X（ω）为“取白球的数”，求X的分布律。

例2．3：

若干个容器，每个标号1－3，取出某号容器的概率与该号码成反比，令X（ω）表示取出的号码，求X的分布律。

（2）分布函数

对于非离散型随机变量，通常有，不可能用分布率表达。

例如日光灯管的寿命，。

所以我们考虑用落在某个区间内的概率表示。

定义设为随机变量，是任意实数，则函数

称为随机变量X的分布函数。

可以得到X落入区间的概率。

也就是说，分布函数完整地描述了随机变量X随机取值的统计规律性。

分布函数是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。

的图形是阶梯图形，是第一类间断点，随机变量在处的概率就是在处的跃度。

分布函数具有如下性质：

1°；

2°是单调不减的函数，即时，有；

3°，；

4°，即是右连续的；

5°。

例2．4：

设离散随机变量的分布列为

，

求的分布函数，并求，，。

例2．5：

设随机变量X的分布函数为

其中A是一个常数，求

（1）常数A

（2）P（1≤X≤2）

（3）连续型随机变量的密度函数

定义设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有

，

则称为连续型随机变量。

称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

的图形是一条曲线，称为密度（分布）曲线。

由上式可知，连续型随机变量的分布函数是连续函数。

所以，

密度函数具有下面4个性质：

1°。

2°。

的几何意义；在横轴上面、密度曲线下面的全部面积等于1。

如果一个函数满足1°、2°，则它一定是某个随机变量的密度函数。

3°＝＝。

4°若在处连续，则有。

它在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

对于连续型随机变量，虽然有，但事件并非是不可能事件Ø。

令，则右端为零，而概率，故得。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

例2．6：

随机变量X的概率密度为f（x），，求A和F（x）。

例2．7：

随机变量X的概率密度为

求X的分布函数和．

2、常见分布

①0－1分布

P（X=1）=p,P（X=0）=q

例如树叶落在地面的试验，结果只能出现正面或反面。

②二项分布

在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。

事件发生的次数是随机变量，设为，则可能取值为。

，其中，

则称随机变量服从参数为，的二项分布。

记为。

容易验证，满足离散型分布率的条件。

当时，，，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

例2．8：

某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率。

③泊松分布

设随机变量的分布律为

，，，

则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者P（）。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。

如飞机被击中的子弹数、来到公共汽车站的乘客数、机床发生故障的次数、自动控制系统中元件损坏的个数、某商店中来到的顾客人数等，均近似地服从泊松分布。

例2．9：

某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。

④超几何分布

随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布。

例2．10：

袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中任取a+b个球，试求其中含a个白球，b个黑球的概率（a≤α，b≤β）。

（非重复排列）

例2．11：

袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中连续地取a+b个球（不放回），试求其中含a个白球，b个黑球的概率（a≤α，b≤β）。

（非重复排列）

例2．12：

袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中连续地取a+b个球（放回），试求其中含a个白球，b个黑球的概率（a≤α，b≤β）。

（重复排列）

⑤几何分布

，其中p≥0，q=1-p。

随机变量X服从参数为p的几何分布。

例2．13：

5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开不扔掉，问以下事件的概率？

①