导数及其应用教案.doc
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新邵八中高二数学理科2-2教案编写教师：
刘二辉
课题：
变化率问题
教学目标：
1．理解平均变化率的概念；
2．了解平均变化率的几何意义；
3．会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点：
平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
教学难点：
平均变化率的概念．
教学过程：
一、情景导入
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：
研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
二、知识探究
探究一：
气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
n气球的体积V（单位:
L）与半径r（单位:
dm）之间的函数关系是
n如果将半径r表示为体积V的函数,那么
⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
⑵当V从1增加到2时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
探究二：
高台跳水：
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h（单位：
m）与起跳后的时间t（单位：
s）存在函数关系h（t）=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
h
t
o
思考计算：
和的平均速度
在这段时间里，；
在这段时间里，
探究：
计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：
如图是函数h（t）=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，所以，虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态。
探究（三）：
平均变化率
1、平均变化率概念：
上述问题中的变化率可用式子表示,
称为函数f（x）从x1到x2的平均变化率
2．若设,（这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样）
则平均变化率为
y
x1
O
f（x1）
f（x2）
y=f（x）
思考：
观察函数f（x）的图象：
平均变化率表示什么?
△x=x2-x1
△y=f（x2）-f（x1）
直线AB的斜率
x2
x
3、函数f（x）从x0到x0＋△x的平均变化率怎么表示？
三、典例分析
例1．已知函数f（x）=的图象上的一点及临近一点,则．
解：
，
∴
例2、求在附近的平均变化率。
解：
，所以
所以在附近的平均变化率为
例3、求函数y＝5x2＋6在区间[2，2＋△x]内的平均变化率
1.7
8
例4、某盏路灯距离地面高8m，一个身高1.7m的人从路灯的正底下出发，以1.4m/s的速度匀速沿某直线离开路灯，求人影长度的平均变化率.
解：
略
四．课堂练习
1．质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为．
2.物体按照s（t）=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.
3.过曲线y=f（x）=x3上两点P（1，1）和Q（1+Δx,1+Δy）作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
五．回顾总结
1．平均变化率的概念
2．函数在某点处附近的平均变化率
六．布置作业
课后记:
课题:
导数的概念
教学目标：
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
3．会求函数在某点的导数
教学重点：
瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；
教学难点：
导数的概念．
教学过程：
一、复习引入
1、函数平均变化率：
2、函数平均变化率的几何意义：
表示曲线上两点连线（割线）的斜率
3、在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映运动员在这段时间里运动状态.因为运动员从高台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。
二、知识探究
h
t
o
1、引例：
计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：
如图是函数h（t）=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，所以，
虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
2、．瞬时速度：
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？
比如，时的瞬时速度是多少？
考察附近的情况：
①、思考：
当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？
②、结论：
当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值．
③、从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是
④、为了表述方便，我们用表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值”
⑤、小结：
局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
3、导数的概念：
函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是:
我们称它为函数在出的导数，记作或，
即
说明：
（1）导数即为函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率
（2），当时，，所以
4、一般地，求函数f（x）在x＝x0处的导数有哪几个基本步骤？
第一步，求函数值增量：
△y＝f（x＋△x）－f（x0）；
第二步，求平均变化率：
第三步，取极限，求导数：
5、常见结论：
（1）
（2）
（3）（4）
三、典例分析
例1．
（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.
分析：
先求Δy=f（１＋Δx）-f（１）=6Δx+（Δx）2
再求再求
解：
法一（略）
法二：
（2）求函数f（x）=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：
例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：
）为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：
在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和
根据导数定义，
所以
同理可得:
在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升．
注：
一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况．
四．课堂练习
1．质点运动规律为，求质点在的瞬时速度为．
2．求曲线y=f（x）=x3在时的导数．
3．例2中，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
五．回顾总结
1．瞬时速度、瞬时变化率的概念
2．导数的概念
六．布置作业
课题：
导数的几何意义
教学目标：
1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；
2．理解曲线的切线的概念；
3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；
教学重点：
曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；
教学难点：
导数的几何意义．
教学过程：
一．复习引入
1、函数f（x）在x＝x0处的导数的含义是什么？
2、求函数f（x）在x＝x0处的导数有哪几个基本步骤？
3、导数f′（x0）表示函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率，这是导数的代数意义，导数是否具有某种几何意义，是一个需要探究的问题.
二．知识探究
探究一：
导数的几何意义
1、曲线的切线及切线的斜率：
如图3.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？
图3.1-2
我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.
问题：
⑴割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？
⑵切线PT的斜率为多少？
容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即
说明：
⑴、设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
这个概念：
①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在处的导数.
⑵、曲线在某点处的切线：
①、与该点的位置有关；②、要根据割线是否有极限位置来判断与求解。
如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的；如不存在,则在此点处无切线；③、曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
2、导数的几何意义：
函数y=f（x）在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，
即：
说明：
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①、求出P点的坐标;
②、求出函数在点处的变化率，得到曲线在点的切线的斜率；
③、利用点斜式求切线方程.
探究二；导函数概念：
1、导函数定义：
由函数f（x）在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时,是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f（x）的导函数.记作：
或，
即:
注：
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
2、函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。
1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f（x）的导函数
3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一。
三．典例分析
例1:
（1）求曲线y=f（x）=x2+1在点P（1,2）处的切线方程.
（2）求函数y=3x2在点处的导数.
解：
（1）,
所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为即
（2）因为
所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为即
练习：
求函数f（x）=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：
例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数，根据图像，请描述、比较曲线在、、附近的变化情况．
解：
我们用曲线在、、处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．
（1）当时，曲线在处的切线平行于轴，所以，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
（2）当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．
（3）当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．
从图3.1-3可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢．
例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度（单位：
）随时间（单位：
）变化的图象．根据图像，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到）．
解：
血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率．
如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．
作处的切线，并在切线上去两点，如，，则它的斜率为：
所以
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：
0.2
0.4
0.6
0.8
药物浓度瞬时变化率
0.4
0
-0.7
-1.4
四．课堂练习
1．求曲线y=f（x）=x3在点处的切线；
2．求曲线在点处的切线．
五．回顾总结
1．曲线的切线及切线的斜率；
2．导数的几何意义
六．布置作业
课后记
课题：
几个常用函数的导数
教学目标：
1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式；
2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．
教学重点：
四种常见函数、、、的导数公式及应用
教学难点：
四种常见函数、、、的导数公式
教学过程：
一．复习引入
1、导数的几何意义是什么？
2、如何求函数f（x）的导函数？
3、我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．
二．知识探究
函数
导数
1．函数的导数
⑴根据导数定义，因为，
所以
⑵表示函数图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度为0，即物体一直处于静止状态．
函数
导数
2．函数的导数
⑴因为。
所以
⑵表示函数图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
3．函数的导数
函数
导数
⑴因为
所以
⑵表示函数图像（图3.2-3）上点处的切线的斜率都为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：
当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为．
4．函数的导数
因为
所以
函数
导数
（2）推广：
若，则
三．课堂练习
1．课本P13探究1；2．课本P13探究2；3．求函数的导数
四．回顾总结
五．布置作业
课题：
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
教学目标：
1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
教学重点：
基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则
教学难点：
基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用
教学过程：
一．复习引入
1、四种常见函数、、、的导数公式及应用
二．知识探究
探究一：
基本初等函数的导数公式表
函数
导数
探究二：
导数的运算法则
导数运算法则
1．
2．
特别：
3．
三．典例分析
例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价（单位：
元）与时间（单位：
年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
解：
根据基本初等函数导数公式表，有
所以（元/年）
因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．
例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
（1）
（2）y＝；（3）y＝x·sinx·lnx；
（4）y＝；（5）y＝．（6）y＝（2x2－5x＋1）ex
（7）y＝
说明：
①求导数是在定义域内实行的．②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．
例3、日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用为：
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
（1）
（2）
解：
略
四．课堂练习
1．课本P92练习
2．已知曲线C：
y＝3x4－2x3－9x2＋4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；
（y＝－12x＋8）
五．回顾总结
（1）基本初等函数的导数公式表
（2）导数的运算法则
六．布置作业
课后记
课题：
复合函数的求导法则
教学目标：
理解并掌握复合函数的求导法则．
教学重点：
复合函数的求导方法：
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．
教学难点：
正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．
教学过程：
一．复习引入
1、基本初等函数的导数公式表
函数
导数
2、导数的运算法则
导数运算法则
1．
2．
特别：
3．
二、知识探究
1、复合函数的概念：
一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。
2、下列函数可以看成那两个函数复合而成？
⑴y＝ln（x2＋3）⑵y＝（2x＋3）3⑶y＝sin（ax＋1）
3、复合函数的导数：
复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．
若，则
三．典例分析
例1求下列函数的导数：
（1）y＝（2x＋3）3；
（2）
（3）（4）y＝ln（3x＋2）.
例2求y＝的导数．
例3求y＝sin4x＋cos4x的导数．
【解法一】y＝sin4x＋cos4x＝（sin2x＋cos2x）2－2sin2cos2x＝1－sin22x
＝1－（1－cos4x）＝＋cos4x．y′＝－sin4x．
【解法二】y′＝（sin4x）′＋（cos4x）′＝4sin3x（sinx）′＋4cos3x（cosx）′＝4sin3xcosx＋4cos3x（－sinx）＝4sinxcosx（sin2x－cos2x）＝－2sin2xcos2x＝－sin4x
例4曲线y＝x（x＋1）（2－x）有两条平行于直线y＝x的切线，求此二切线之间的距离．
【解】y＝－x3＋x2＋2xy′＝－3x2＋2x＋2令y′＝1即3x2－2x－1＝0，解得x＝－或x＝1．于是切点为P（1，2），Q（－，－），
过点P的切线方程为，y－2＝x－1即x－y＋1＝0．
显然两切线间的距离等于点Q到此切线的距离，故所求距离为＝．
四．课堂练习
1．求下列函数的导数
（1）y=sinx3+sin33x；
（2）;（3）
2.求的导数
五．回顾总结
六．布置作业
课题：
函数的单调性与导数
教学目标：
1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；
2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；
教学重点：
利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间
教学难点：
利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间
教学过程：
一．情景导入
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．
二．知识探究
1．问题：
图3.3-1
（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图3.3-1
（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像．
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像，我们可以发现：
⑴、运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，
即是增函数．相应地，．
⑵、从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，
即是减函数．相应地，．
2．函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
如图3.3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率．
在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；
在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减．
结论：
函数的单调性与导数的关系
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．
说明：
（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．
3．求解函数单调区间的步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．
三．典例分析
例1．已知导函数的下列信息：
当时，；当，或时，；当，或时，，试画出函数图像的大致形状．
解：
当时，，可知在此区间内单调递增；
当，或时，；可知在此区间内单调递减；
当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．
综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示．
例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
（1）；
（2）
（3）；（4）
解：
（1）因为，所以，
因此，在R上单调递增，如图3.3-5
（1）所示．
（2）因为，所以，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减；
函数的图像如图3.3-5
（2）所示．
（3）因为，所以，
因此，函数在单调递减，如图3.3-5（3）所示．
（4）因为，所以．
当，即时，函数；
当，即时，函数；
函数的图像如图3.3-5（4）所示．
注：
（3）、（4）生练
例3如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．
解：
思考：
例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？
一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．
如图3.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭”，在或内的图像“平缓”．
例4求证：
函数在区间内是减函数．
证明：
因为
当即时，，所以函数在区间内是减函数．
说明：
证明可导函数在内的单调性步骤：
（1）求导函数；
（2）判断在内的符号；
（3）做出结论：
为增函数，为减函数．
例5、已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．
解：
，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：
所以
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