2.（2019北京文20）已知函数
1
f（x）=x−x+x．
32
4
（Ⅰ）求曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当x[−2,4]时，求证：
x−6f（x）x；
（Ⅲ）设F（x）=|f（x）−（x+a）|（aR），记F（x）在区间[−2,4]上的最大值为M（a），
当M（a）最小时，求a的值．
3.（2019江苏19）设函数f（x）=（x−a）（x−b）（x−c）,a,b,cR、f'（x）为f（x）的导函
数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f'（x）的零点均在集合{−3,1,3}中，求f（x）的极小值；
（3）若a=0,0b„1,c=1，且f（x）的极大值为M，求证:
M≤
4
27
．
4.（2019全国Ⅰ文20）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：
f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
5.（2019全国Ⅰ文20）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：
f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
6.（2019全国Ⅱ文21）已知函数f（x）=（x−1）lnx−x−1.证明：
（1）f（x）存在唯一的极值点；
（2）f（x）=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
1
7.（2019天津文20）设函数f（x）=lnx−a（x−1）ex，其中aR.
（Ⅰ）若a≤0，讨论f（x）的单调性；
1
（Ⅱ）若
0a，
e
（i）证明f（x）恰有两个零点
（ii）设x为f（x）的极值点，
x为f（x）的零点，且
1
xx，证明3x−x2.
1001
8.（2019浙江22）已知实数a0，设函数f（x）=alnx+x+1,x0.
（1）当
3
a=−时，求函数f（x）的单调区间；
4
（2）对任意
1x
x[,+）均有（）,
fx求a的取值范围.
e2a
2
注：
e=2.71828…为自然对数的底数.
2010-2018年
一、选择题
1．（2017新课标Ⅰ）已知函数f（x）=lnx+ln（2−x），则
A．f（x）在（0,2）单调递增B．f（x）在（0,2）单调递减
C．y=f（x）的图像关于直线x=1对称D．y=f（x）的图像关于点（1,0）对称
2．（2017浙江）函数y=f（x）的导函数y=f（x）的图像如图所示，则函数y=f（x）的图
像可能是
y
Ox
2
yy
O
xx
O
A．B．
y
y
xx
OO
C．D．
3．（2016年全国I卷）若函数
1
fx=x−x+ax在（−,+）单调递增，则a的
（）sin2sin
3
取值范围是
A．[−1,1]B．[−1,1]C．[−1,1]D．[1,1]
−−
3333
4．（2016年四川）已知a为函数f（x）=x3−12x的极小值点，则a=
A．−4B．−2C．4D．2
5．（2014新课标2）若函数f（x）=kx−lnx在区间（1，+）单调递增，则k的取值范围
是
A．（−,−2B．（−,−1C．2,+）D．1,+）
6．（2014新课标2）设函数f（x）3sinx
=．若存在f（x）的极值点
m
x满足
0
（）
2
x+fxm，则m的取值范围是
2200
A．（−,−6）（6,+）B．（−,−4）（4,+）
C．（−,−2）（2,+）D．（−,−1）（1,+）
7．（2014辽宁）当x[−2,1]时，不等式ax3−x2+4x+30恒成立，则实数a的取值范
围是
3
A．[−5,−3]B．[6,9]
−−C．[−6,−2]D．[−4,−3]
8
8．（2014湖南）若
0xx1，则
12
xx
lnlne−elnx−lnxA．21
e−ex−xB．xx
21
2121
C．
xexeD．
xx
12
21
xexxex
12
21
a
9．（2014江西）在同一直角坐标系中，函数y=ax2−x+与y=a2x3−2ax2+x+a
2
（aR）的图像不．可．能．的是
yy
y
y
O
x
x
O
A
x
O
BC
x
O
D
fx=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是10．（2013新课标2）已知函数（）
A．（）
x0R,fx0=0
B．函数y=f（x）的图像是中心对称图形
C．若
x是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（）
−,x单调递减
00
D．若
x是f（x）的极值点，则（）
f'x=0
00
11．（2013四川）设函数f（x）=ex+x−a（aR，e为自然对数的底数）．若存在b[0,1]
使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（）
A．[1,e]B．[1,1+e]C．[e,1+e]D．[0,1]
x0（x00）是f（x）的极大值点，以下结论一
12．（2013福建）设函数f（x）的定义域为R，
定正确的是
A．x
xR,f（x）f（x）B．−是f（−x）的极小值点
00
C．−x是−f（x）的极小值点D．−是−f（−x）的极小值点
x00
12−
13．（2012辽宁）函数y=xlnx的单调递减区间为
2
4
A．（－1,1]B．（0,1]C．[1,+）D．（0,+）
14．（2012陕西）设函数f（x）=xex，则
A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点
C．x=−1为f（x）的极大值点D．x=−1为f（x）的极小值点
15．（2011福建）若a0，b0，且函数f（x）=4x3−ax2−2bx+2在x=1处有极值，
则ab的最大值等于
A．2B．3C．6D．9
16．（2011浙江）设函数f（x）=ax+bx+c（abcR），若x=−1为函数（）
2,,fxe的一
x
个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是
ABCD
17．（2011湖南）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图像分别交于点M,N，
则当MN达到最小时t的值为
A．1B．
1
2
C．
5
2
D．
2
2
二、填空题
18．（2016年天津）已知函数f（x）=（2x+1）ex,f（x）为f（x）的导函数，则f（0）的值为____.
19．（2015四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中aR）．对于不相等的实数
f（x）−f（x）
xx，设m＝12
1,2
x−x
12
g（x）−g（x）
，n＝12
x−x
12
．现有如下命题：
①对于任意不相等的实数
xx，都有m0；
1,2
②对于任意的a及任意不相等的实数
xx，都有n>0；
1,2
③对于任意的a，存在不相等的实数
xx，使得m=n；
1,2xx，使得m=n；
5
④对于任意的a，存在不相等的实数
xx，使得m=−n．
1,2xx，使得m=−n．
其中真命题有___________（写出所有真命题的序号）．
20．（2011广东）函数
fx=x−x+在x=______处取得极小值．
（）31
32
三、解答题
21．（2018全国卷Ⅰ）已知函数f（x）=aex−lnx−1．
（1）设x=2是f（x）的极值点．求a，并求f（x）的单调区间；
1
（2）证明：
当a≥时，f（x）≥0．
e
22．（2018浙江）已知函数f（x）=x−lnx．
（1）若f（x）在
x=x，
1
x（
2
xx）处导数相等，证明：
12
f（x）+f（x）8−8ln2；
12
（2）若a≤3−4ln2，证明：
对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一
公共点．
23．（2018全国卷Ⅱ）已知函数（）13（21）
fx=x−ax+x+．
3
（1）若a=3，求f（x）的单调区间；
（2）证明：
f（x）只有一个零点．
24．（2018北京）设函数
f（x）=[ax−（3a+1）x+3a+2]ex．
2
（1）若曲线y=f（x）在点（2,f
（2））处的切线斜率为0，求a；
（2）若f（x）在x=1处取得极小值，求a的取值范围．
25．（2018全国卷Ⅲ）已知函数
f（x）
ax2+x−1
=．
ex
（1）求曲线y=f（x）在点（0,−1）处的切线方程；
（2）证明：
当a≥1时，f（x）+e≥0．
26．（2018江苏）记f（x）,g（x）分别为函数f（x）,g（x）的导函数．若存在
xR，满足
0
f（x）=g（x）且
00
fx=gx，则称
（）（）
00
x为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．
0
（1）证明：
函数f（x）=x与g（x）=x2+2x−2不存在“S点”；
6
（2）若函数
f（x）=ax−1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；
2
（3）已知函数
fx=−x+a，（）e
（）gx=．对任意a0，判断是否存在b0，使函
b
x
2
x
数f（x）与g（x）在区间（0,+）内存在“S点”，并说明理由．
27．（2018天津）设函数
f（x）=（x−t）（x−t）（x−t），其中tttR，且
1,2,3ttt是公差
1,2,3
123
为d的等差数列．
（1）若20,1,
t=d=求曲线y=f（x）在点（0,f（0））处的切线方程；
（2）若d=3，求f（x）的极值；
（3）若曲线y=f（x）与直线
y=−（x−t）−63有三个互异的公共点，求d的取值范围．
2
28．（2017新课标Ⅰ）已知函数
f（x）=ex（ex−a）−ax．
2
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
29．（2017新课标Ⅱ）设函数
f（x）=（1−x2）ex．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．
30．（2017新课标Ⅲ）已知函数
f（x）=lnx+ax+（2a+1）x．
2
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a0时，证明（）32
fx−−
≤．
4a
31．（2017天津）设a,bR，|a|≤1．已知函数f（x）=x3−6x2−3a（a−4）x+b，
g（x）=exf（x）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=ex的图象在公共点（x,y）处有相同的切线，
00
（i）求证：
f（x）在
x=x处的导数等于0；
0
7
（ii）若关于x的不等式g（x）≤ex在区间[x−1,x+1]上恒成立，求b的取值范围．
00
32．（2017浙江）已知函数f（x）=（x−2x−1）e−x
（1）
x≥．
2
（Ⅰ）求f（x）的导函数；
1
（Ⅱ）求f（x）在区间[,+）上的取值范围．
2
33．（2017江苏）已知函数（）1
fx=x3+ax2+bx+（a0,bR）有极值，且导函数f（x）
的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
b23a；
（2）证明：
34．（2016年全国I卷）已知函数
f（x）=（x−2）e+a（x−1）.
22
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.
35．（2016年全国II卷）已知函数f（x）=（x+1）lnx−a（x−1）.
（Ⅰ）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1,f
（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若当x（1,+）时，f（x）＞0，求a的取值范围.
36．（2016年全国III卷）设函数f（x）=lnx−x+1．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明当x（1,+）时，11
x；
x−
lnx
（III）设c1，证明当x（0,1）时，1+（c−1）xcx．
37．（2015新课标2）已知函数f（x）=lnx+a（1−x）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a−2时，求a的取值范围．
fx=2−ax．38．（2015新课标1）设函数（）
exln
8
（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f（x）零点的个数；
2
（Ⅱ）证明：
当a0时（）
fx2a+aln
≥．
a
39．（2014新课标2）已知函数
f（x）=x−3x+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的
32
切线与x轴交点的横坐标为－2．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）证明：
当k1时，曲线y=f（x）与直线y=kx−2只有一个交点．
40．（2014山东）设函数（）（2ln）
x=−k+（k为常数，e=2.71828L是自然对数
e
f
x
2x
xx
的底数）
（Ⅰ）当k0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0,2）内存在两个极值点，求k的取值范围．
1−a
fx=alnx+x−bxa1，41．（2014新课标1）设函数（）（）
2
2
曲线y=f（x）在点（1，f
（1））处的切线斜率为0
（Ⅰ）求b；
a
（Ⅱ）若存在，求a的取值范围．
x使得（）
01,fx
0a−1
x−1
42．（2014山东）设函数（）=ln+，其中a为常数．
fxax
x+1
（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1,f
（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．
43．（2014广东）已知函数
1
f（x）=x+x+ax+1（aR）
32
3
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a0时，试讨论是否存在
11
x（0,）U（,1），使得
0
22
1
f（x）=f（）．
0
2
44．（2014江苏）已知函数f（x）=ex+e−x，其中e是自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：
f（x）是R上的偶函数；
（Ⅱ）若关于x的不等式mf（x）≤e−x+m−1在（0,+）上恒成立，求实数m的取值范围；
9
（Ⅲ）已知正数a满足：
存在x0[1,+），使得f（x0）a（−x03+3x0）成立．试比较ea−1
与ae−1的大小，并证明你的结论．
45．（2013新课标1）已知函数
f（x）=ex（ax+b）−x2−4x，曲线y=f（x）在点（0,f（0））
处切线方程为y=4x+4．
（Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．
46．（2013新课标2）已知函数
f（x）=x2e−x．
（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．
a
=−+（aR，e为自然对数的底数）．
47．（2013福建）已知函数f（x）x1
e
x
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1,f
（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l:
y=kx−1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大
值．
48．（2013天津）已知函数f（x）=x2lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：
对任意的t0，存在唯一的s，使t=f（s）．
（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），
te时，有2lng（t）1
2
．证明：
当
5lnt2
49．（2013江苏）设函数f（x）=lnx−ax，（）
gx=ex−ax，其中a为实数．
（Ⅰ）若f（x）在（1,+）上是单调减函数，且g（x）在（1,+）上有最小值，求a的取
值范围；
10
（Ⅱ）若g（x）在（−1,+）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．
50．（2012新课标）设函数f（x）=e－ax－2
x
（Ⅰ）求f（x）的单调区间
（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x0时，（x−k）f（x）+x+10，求k的最大值
51．（2012安徽）设函数
1
f（x）=aex++b（a0）
ae
x
（Ⅰ）求f（x）在[0,+）内的最小值；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（2,f
（2））的切线方程为3
y=x；求a,b的值。
2
fx
=lnxk（k为常数，e=2.71828是自然对数的底数），
+
e
x
曲线y=f（x）在点（1,f
（1））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=（x2+x）f（x），其中f（x）是f（x）的导数．
证明：
对任意的x0，（）
gxe．
1+−2
53．（2011新课标）已知函数
f（x）
alnxb
=+
x+1x
，曲线y=f（x）在点（1,f
（1））处的切线方程
为x+2y−3=
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