高中导数及其应用教案.doc

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教育教师备课手册

教师姓名

学生姓名

填写时间

2012.2.1

学科

数学

年级

高三

上课时间

10:

00-12:

00

课时计划

2小时

教学目标

教学内容

中考复习三角形

个性化学习问题解决

基础知识回顾，典型例题分析

教学重点、难点

教

学

过

程

导数及其运用

知识网络

导数的概念

基本初等函数的导数公式

导数

函数的单调性研究

的的的

函数的极值与最值研究

导数的定义

导数的物理及几何意义意义

导数的运算

导数的四则运算法则及复合函数的导数

导数的应用

最优化问题

计算定积分

的的的

定积分与微积分

的基本定理

定积分的应用

第1讲导数的概念及运算

★知识梳理★

1.用定义求函数的导数的步骤.

（1）求函数的改变量Δy；

（2）求平均变化率.（3）取极限，得导数（x0）=.

2.导数的几何意义和物理意义

几何意义：

曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线的

物理意义：

若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0））处导数的意义是t=t0处

的

解析：

斜率.；瞬时速度.

3.几种常见函数的导数

（为常数）；（）；

；；

；；

；.

解析：

4.运算法则

①求导数的四则运算法则：

；；.

解析：

；

②复合函数的求导法则：

或

★重难点突破★

1.重点：

理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法

2.难点：

切线方程的求法及复合函数求导

3.重难点：

借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决有关的问题.

（1）平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。

问题1.比较函数与,当时,平均增长率的大小.

点拨:

解题规律技巧妙法总结:

计算函数的平均增长率的基本步骤是

（1）计算自变量的改变量

（2）计算对应函数值的改变量

（3）计算平均增长率:

对于,又对于,

故当时,的平均增长率大于的平均增长率.

（2）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则,

问题2.已知,则.

点拨：

复合函数求导数计算不熟练,其与系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:

.

设,,则

.

（3）求切线方程时已知点是否切点至关重要。

问题3.求在点和处的切线方程。

点拨：

点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值；

点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．切忌直接将，看作曲线上的点用导数求解。

即过点的切线的斜率为4，故切线为：

．

设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又，

故，。

即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为：

★热点考点题型探析★

考点1:

导数概念

题型1.求函数在某一点的导函数值

[例1]设函数在处可导，则等于

　　A．B．C．D．

【解题思路】由定义直接计算

[解析].故选

【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式

考点2.求曲线的切线方程

[例2]（高明一中2009届高三上学期第四次月考）如图，函数的图象在点P处的切线方程是 ，则=.

【解题思路】区分过曲线处的切线与过点的切线的不同，后者的点不一定在曲线上.解析:

观察图形,设,过P点的切线方程为

即

它与重合,比较系数知:

故=2

【名师指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．

题型3.求计算连续函数在点处的瞬时变化率

[例3]一球沿一斜面从停止开始自由滚下，10s内其运动方程是s=s（t）=t2（位移单位：

m，时间单位：

s），求小球在t=5时的加速度.

【解题思路】计算连续函数在点处的瞬时变化率实际上就是在点处的导数.

解析：

加速度v=

（10+Δt）=10m/s.

∴加速度v=2t=2×5=10m/s.

【名师指引】计算连续函数在点处的瞬时变化率的基本步骤是

1.计算

2.计算

【新题导练】.

1.曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是.

解析：

曲线和在它们的交点坐标是（1，1），两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与轴所围成的三角形的面积是.

点拨:

:

与切线有关的问题,应有运用导数的意识,求两曲线的交点坐标只要联立解方程组即可.

2.某质点的运动方程是，则在t=1s时的瞬时速度为 （）

A．－1 B．－3 C．7 D．13

解:

B点拨:

计算即可

3.已知曲线C1:

y=x2与C2:

y=－（x－2）2,直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程.

解：

设l与C1相切于点P（x1,x12）,与C2相切于Q（x2,－（x2－2）2）

对于C1：

y′=2x,则与C1相切于点P的切线方程为

y－x12=2x1（x－x1）,即y=2x1x－x12 ①

对于C2：

y′=－2（x－2）,与C2相切于点Q的切线方程为y+（x2－2）2=－2（x2－2）（x－x2）,即y=－2（x2－2）x+x22－4 ②

∵两切线重合，∴2x1=－2（x2－2）且－x12=x22－4,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0

∴直线l方程为y=0或y=4x－4

点拨:

利用解方程组求交点,利用直线间的位置和待定系数法求斜率.

考点2导数的运算

题型1:

求导运算

[例1]求下列函数的导数：

（1）　

（2）　　（3）

【解题思路】按运算法则进行

[解析]

（1）

（2）

（3）

【名师指引】注意复合函数的求导方法（分解求导回代）；注意问题的变通：

如的导数容易求错，但的导数不易求错.

题型2:

求导运算后求切线方程

例2.（广州市2008届二月月考）已知函数

（1）若，点P为曲线上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；

（2）若函数上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.

【解题思路】先按运算法则求导,再按几何意义求切线方程.

解析：

（1）设切线的斜率为k，则

又，所以所求切线的方程为：

即

【名师指引】求三次函数图象的切线在高考中经常出现.

与曲线相切于P处的切线方程是（D）

A．B．C．D．

题型3:

求导运算后的小应用题

例3.某市在一次降雨过程中,降雨量与时间的函数关系可近似地表示为,则在时刻的降雨强度为（）

A.B.C.D.

【解题思路】先对的求导,再代的数值.

解析:

选D

【名师指引】求某一时刻的降雨量相当于求瞬时变化率,即那一时刻的导数值.

【新题导练】.

4.设函数，且，则

A．0B．-1C．3D．-6

思路分析:

按导数乘积运算法则先求导,然后由已知条件构造关于的方程求解.

解:

+++

故又,故

5.设函数，（、、是两两不等的常数），

则．

解析:

代入即得0..

6.质量为的物体按的规律作直线运动,动能,则物体在运动后的动能是

解析:

先求瞬时速度后,再代入公式求解提3125J

基础巩固训练

1.（广东省六校2009届高三第二次联考试卷）是的导函数，则的值是．

解析:

故=3

2.（广东省2008届六校第二次联考）在处的导数值是___________.

解析：

故填

3.已知直线x+2y－4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点，O是坐标原点，P是抛物线的弧上求一点P，当△PAB面积最大时，P点坐标为.

解析：

|AB|为定值，△PAB面积最大，只要P到AB的距离最大，只要点P是抛物线的平行于AB的切线的切点，设P（x,y）.由图可知，点P在x轴下方的图象上

∴y=－2,∴y′=－,∵kAB=－,∴－

∴x=4,代入y2=4x（y<0）得y=－4.∴P（4,－4）

4.（广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试）已知，（），直线与函数、的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1．求直线的方程及的值；

解：

依题意知：

直线是函数在点处的切线，故其斜率

，

所以直线的方程为．

又因为直线与的图像相切，所以由

，

得（不合题意，舍去）；

5.（湛江市实验中学2009届高三第四次月考）

已知函数的图象都相切，且l与函数图象的切点的横坐标为1,求直线l的方程及a的值；

解由，故直线l的斜率为1，切点为

即（1，0）∴①又∵

∴即②

比较①和②的系数得

综合拔高训练

6.对于三次函数，定义：

设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”。

现已知,请解答下列问题:

（1）求函数的“拐点”A的坐标;

（2）求证的图象关于“拐点”A对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）.

[解析]

（1），.令得

，.拐点

（2）设是图象上任意一点，则，因为关于的对称点为，把代入得

左边,

右边

右边=右边在图象上关于A对称

7.已知定义在正实数集上的函数，其中。

设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同。

（1）若，求的值；

（2）用表示，并求的最大值。

解：

（1）设与在公共点处的切线相同

由题意知 ，∴

由得，，或（舍去）

即有

（2）设与在公共点处的切线相同

由题意知 ，∴

由得，，或（舍去）

即有

令，则，于是

当，即时，；

当，即时，

故在的最大值为，故的最大值为

8.设三次函数在处取得极值，其图象在处的切线的斜率为。

求证：

；

解：

（Ⅰ）方法一、.由题设，得①

②

∵，∴，∴。

由①代入②得，∴，

得∴或③

将代入中，得④

由③、④得；

方法二、同上可得：

将

（1）变为：

代入

（2）可得：

，所以，则

方法三：

同上可得：

将

（1）变为：

代入

（2）可得：

，显然，所以

因为图象的开口向下，且有一根为x1=1

由韦达定理得,

所以，即，则，由得：

所以：

第2讲导数在研究函数中的应用

★知识梳理★

1.函数的单调性与导数的关系

一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：

在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内；如果，那么函数在这个区间内.

解析：

单调递增；单调递减

2.判别f（x0）是极大、极小值的方法

若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是

解析：

极大值点；极小值.

3．解题规律技巧妙法总结:

求函数的极值的步骤:

（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）.

（2）求方程f′（x）=0的根.

（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查

f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f（x）在这个根处无极值.

4．求函数最值的步骤：

（1）求出在上的极值.

（2）求出端点函数值.

（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.

★重难点突破★

1.重点：

熟悉利用导数处理单调性、极值与最值的一般思路，熟练掌握求常见函数的单调区间和极值与最值的方法

2.难点：

与参数相关单调性和极值最值问题

3.重难点：

借助导数研究函数与不等式的综合问题

（1）在求可导函数的极值时，应注意可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。

问题1.设，．令，讨论在内的单调性并求极值；

点拨:

根据求导法则有，

故，于是，

2

减

极小值

增

列表如下：

故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．

（2）借助导数处理函数的单调性，进而研究不等关系关键在于构造函数.

问题2.已知函数是上的可导函数，若在时恒成立.

（1）求证：

函数在上是增函数；

（2）求证：

当时，有.

点拨:

由转化为为增函数是解答本题关键.类似由

转化为为增函数等思考问题的方法是我们必须学会的.

（1）由得因为，

所以在时恒成立，所以函数在上是增函数.

（2）由

（1）知函数在上是增函数，所以当时，

有成立，

从而

两式相加得

★热点考点题型探析★

考点1:

导数与函数的单调性

题型1.讨论函数的单调性

例1（08广东高考）设，函数，，，试讨论函数的单调性．

【解题思路】先求导再解和

【解析】

对于，

当时，函数在上是增函数；

当时，函数在上是减函数，在上是增函数；

对于，

当时，函数在上是减函数；

当时，函数在上是减函数，在上是增函数。

【名师指引】解题规律技巧妙法总结:

求函数单调区间的一般步骤.

（1）求函数的导数

（2）令解不等式，得的范围就是单调增区间;令解不等式，得的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论.

[误区警示]求函数单调区间时，容易忽视定义域，如求函数的单调增区间，错误率高，请你一试，该题正确答案为.

题型2.由单调性求参数的值或取值范围

例2:

若在区间[－1,1]上单调递增，求的取值范围.

【解题思路】解这类题时,通常令（函数在区间上递增）或

（函数在区间上递减）,得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.

解析：

又在区间[－1,1]上单调递增

在[－1,1]上恒成立即在[－1,1]的最大值为

故的取值范围为

【名师指引】:

本题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系,要特别注意导数值等于零的用法.

题型3.借助单调性处理不等关系

例3.当，求证

【解题思路】先移项,再证左边恒大于0

解析：

设函数

当时，，故在递增，当时，,又，，即，故

【名师指引】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，往往构造函数，借助于函数的单调性来证明

【新题导练】.

1.若函数f（x）=x3－ax2+1在（0,2）内单调递减，则实数a的取值范围是

A.a≥3B.a=2 C.a≤3 D.0

分析：

本题主要考查导数的应用.利用函数的单调性及二次函数的图象确定参数的范围.

解析：

f′（x）=3x2－2ax=3x（x－a）,由f（x）在（0，2）内单调递减，得3x（x－a）≤0,

即a≥2,∴a≥3.答案：

A

2.函数y=x3+x的单调增区间为

A.（－∞,+∞） B.（0,+∞） C.（－∞,0） D.不存在

解析：

∵y′=3x2+1>0恒成立，∴y=x3+x在（－∞,+∞）上为增函数，没有减区间.

答案：

A

3.已知函数,,设．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；

解析：

（I），

∵，由，∴在上单调递增。

由，∴在上单调递减。

∴的单调递减区间为，单调递增区间为。

（II），

恒成立

当时，取得最大值。

∴，∴

考点2:

导数与函数的极值和最大（小）值.

题型1.利用导数求函数的极值和最大（小）值

例1.若函数在处取得极值,则.

【解题思路】若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极大值；若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极小值.

[解析]因为可导,且,所以,解得.经验证当时,函数在处取得极大值.

【名师指引】若是可导函数，注意是为函数极值点的必要条件.要确定极值点还需在左右判断单调性.

例2．（2008·深圳南中）设函数（），其中，求函数的极大值和极小值．

【解题思路】先求驻点，再列表判断极值求出极值。

解析：

.，

．

令，解得或．

由于，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且；

函数在处取得极大值，且．

【名师指引】求极值问题严格按解题步骤进行。

例3.（广东省深圳外国语学校2009届高三上学期第二次统测）已知函数.

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.

【解题思路】先求极值再求端点值,比较求出最大（小）值.当区间只有一个极大（小）值时,该值就是最大（小）值

解析：

的定义域为，…………1分

的导数.………………3分

令，解得；令，解得.

从而在单调递减，在单调递增.………………5分

所以，当时，取得最小值.…………………………6分

（Ⅱ）解法一：

令，则，……………………8分

①若，当时，，

故在上为增函数，

所以，时，，即.……………………10分

②若，方程的根为，

此时，若，则，故在该区间为减函数.

所以时，，

即，与题设相矛盾.……………………13分

综上，满足条件的的取值范围是.……………………………………14分

解法二：

依题意，得在上恒成立，

即不等式对于恒成立.……………………8分

令，则.……………………10分

当时，因为，

故是上的增函数，所以的最小值是，………………13分

所以的取值范围是.…………………………………………14分

【名师指引】求函数在闭区间上的最大值（或最小值）的步骤：

①求在内的极大（小）值，②将极大（小）值与端点处的函数值进行比较，其中较大者的一个是最大者，较小的一个是最小者．

题型2.已知函数的极值和最大（小）值，求参数的值或取值范围。

例3．（广东省六校2009届高三第二次联考）

已知函数图像上的点处的切线方程为．

（1）若函数在时有极值，求的表达式

（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围

【解题思路】求函数的解析式一般用待定系法法，求参数的取值范围一般需建立关于参数的不等式（组）

解析：

，-----------------2分

因为函数在处的切线斜率为-3，

所以，即，------------------------3分

又得。

------------------------4分

（1）函数在时有极值，所以，-------5分

解得，------------------------------------------7分

所以．------------------------------------8分

（2）因为函数在区间上单调递增，所以导函数

在区间上的值恒大于或等于零，--------------------------------10分

则得，所以实数的取值范围为----14分

【名师指引】已知在处有极值，等价于。

【新题导练】

4．在区间上的最大值为，则=（）

A. B. C. D.或

解析：

选B

在上的最大值为，且在时，，解之或（舍去），选B.

5．在区间上的最大值是

A．B．0C．2D．4

[解析]，令可得或（2舍去），当时，>0，当时，<0，所以当时，f（x）取得最大值为2.选C

6．已知函数是上的奇函数，当时取得极值.

（1）求的单调区间和极大值；

（2）证明对任意不等式恒成立.

[解析]

（1）由奇函数定义，有.即因此，

由条件为的极值，必有

故,解得

因此

当时，，故在单调区间上是增函数.

当时，，故在单调区间上是减函数.

当时，，故在单调区间上是增函数.

所以，在处取得极大值，极大值为

（2）由

（1）知，是减函数，且

在上的最大值为最小值为

所以，对任意恒有

[方法技巧]善于用函数思想不等式问题,如本题.

★抢分频道★

基础巩固训练

1．（广东省六校2009届高三第二次联考试卷）

函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在内有极小值点共有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

解析：

观察图象可知，只有一处是先减后增的，选A

2．、函数有（）

A.极小值－1，极大值1 B.极小值－2，极大值3

C. 极小值－2，极大值2 D.极小值－1，极大值3

解析：

，令得

当时，；当时，；当，

时，，当，故选D.

3．函数y=f（x）=lnx－x,在区间（0,e］上的最大值为

A.1－e B.－1 C.－e D.0

解析：

y′=－1,令y′=0,即x=1,在（0，e］上列表如下：

x

（0,1）

1

（1,e）

e

y′

+

0

－

y

增函数

极大值－1

减函数

1－e

由于f（e）=1－e,而－1＞1－e,从而y最大=f

（1）=－1.

答案：

B

4．（广东深圳外国语学校2008—2009学年高三第二次月考）若，求函数的单调区间.

[解析]

（当a.>1时，对x∈（0，+∞）恒有>0，∴当a.>1时，f（x）在（0，+∞）上为增函数；

5．（汕头市金山中学2009届高三上学期11月月考）已知函数f（x）=ax3+3x2－x+1，问是否存在实数a，使得f（x）在（0，4）上单调递减？

若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。

解：

（x）=3ax2+6x－1.要使f（x）在[0，4]递减，则当x∈（0，4）时，（x）<0。

∴或，解得a≤－3.

综合拔高训练

6．（东莞高级中学2009届高三上学期11月教学监控测试）已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

　（Ⅱ）求证：

对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）－f（x2）|≤4；

（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围.

解：

（I）f′（x）=3ax2+2bx－3，依题意，f′

（1）=f′（－1）=0，

即…………………………………………2分

解得a=1，b=0.

∴f（x）=x3－3x.……………………………………………………4分

（II）∵f（x）=x3－3x,∴f′（x）=3x2－3=3（x+