《理论力学》动力学典型习题+答案.doc
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《动力学I》第一章
运动学部分习题参考解答
1－3
解：
运动方程：
，其中。
将运动方程对时间求导并将代入得
1－6
x
y
o
证明：
质点做曲线运动,所以,
设质点的速度为,由图可知:
，所以:
将，
代入上式可得
x
y
o
证毕
1－7
证明：
因为，
所以：
证毕
1－10
解：
设初始时,绳索AB的长度为,时刻时的长度
为,则有关系式：
，并且
将上面两式对时间求导得：
，
由此解得：
（a）
（a）式可写成：
，将该式对时间求导得：
（b）
将（a）式代入（b）式可得：
（负号说明滑块A的加速度向上）
A
O
A
O
B
R
1－11
解：
设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在A、B两点连线上的投影相等，即：
（a）
因为
（b）
将上式代入（a）式得到A点速度的大小为：
（c）
由于，（c）式可写成：
，将该式两边平方可得：
将上式两边对时间求导可得：
将上式消去后，可求得：
由上式可知滑块A的加速度方向向左，其大小为
1－13
解：
动点：
套筒A；
动系：
OA杆；
定系：
机座；
运动分析：
绝对运动：
直线运动；
相对运动：
直线运动；
牵连运动：
定轴转动。
根据速度合成定理
有：
，因为AB杆平动，所以，
由此可得，OC杆的角速度为，，所以
当时，OC杆上C点速度的大小为
x
1－15
解：
动点：
销子M
动系1：
圆盘
动系2：
OA杆
定系：
机座；
运动分析：
绝对运动：
曲线运动
相对运动：
直线运动
牵连运动：
定轴转动
根据速度合成定理有
，
由于动点M的绝对速度与动系的选取无关，即，由上两式可得：
（a）
将（a）式在向在x轴投影,可得：
由此解得：
1－17
解：
动点：
圆盘上的C点；
动系：
OA杆；
定系：
机座；
运动分析：
绝对运动：
圆周运动；
相对运动：
直线运动（平行于O1A杆）；
牵连运动：
定轴转动。
根据速度合成定理有
（a）
将（a）式在垂直于O1A杆的轴上投影以及在O1C轴上投影得：
，
，，
根据加速度合成定理有
（b）
将（b）式在垂直于O1A杆的轴上投影得
其中：
，，
由上式解得：
1－19
解：
由于ABM弯杆平移，所以有
取：
动点：
套筒M；
动系：
OC摇杆；
定系：
机座；
运动分析：
绝对运动：
圆周运动；
相对运动：
直线运动；
牵连运动：
定轴转动。
根据速度合成定理
可求得：
，，
根据加速度合成定理
将上式沿方向投影可得：
由于，，，根据上式可得：
，
1-20
M
O
A
B
解：
取小环为动点，OAB杆为动系
运动分析
绝对运动：
直线运动；
相对运动：
直线运动；
牵连运动：
定轴转动。
由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示，
其中：
根据速度合成定理：
可以得到：
，
M
O
A
B
加速度如图所示，其中：
，
根据加速度合成定理：
将上式在轴上投影，可得：
由此求得：
1－21
O
x’
y’
解：
求汽车B相对汽车A的速度是指以汽车
A为参考系观察汽车B的速度。
取：
动点：
汽车B；
动系：
汽车A（Ox’y’）；
定系：
路面。
运动分析
绝对运动：
圆周运动；
相对运动：
圆周运动；
牵连运动：
定轴转动（汽车A绕O做定轴转动）
求相对速度，根据速度合成定理
将上式沿绝对速度方向投影可得：
O
x’
y’
因此
其中：
，
由此可得：
求相对加速度，由于相对运动为圆周运动，
相对速度的大小为常值，因此有：
2-1
x
解：
当摩擦系数足够大时，平台AB
相对地面无滑动，此时摩擦力
取整体为研究对象，受力如图，
系统的动量：
将其在轴上投影可得：
根据动量定理有：
即：
当摩擦系数时，平台AB的加速度为零。
当摩擦系数时，平台AB将向左滑动，此时系统的动量为：
将上式在轴投影有：
根据动量定理有：
由此解得平台的加速度为：
（方向向左）
2-2
x
取弹簧未变形时滑块A的位置为x坐标原点，取整体为研究对象，受力如图所示,其中为作用在滑块A上的弹簧拉力。
系统的动量为：
将上式在x轴投影：
根据动量定理有：
系统的运动微分方程为：
2－4取提起部分为研究对象，受力如图（a）所示，提起部分的质量为，提起部分的速度为，根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为，方向向下，大小为（如图a所示）。
y
（a）（b）
根据变质量质点动力学方程有：
将上式在y轴上投影有：
由于，所以由上式可求得：
。
再取地面上的部分为研究对象，由于地面上的物体没有运动，并起与提起部分没有相互作用力，因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力，即：
x
3－5将船视为变质量质点，取其为研究对象，
受力如图。
根据变质量质点动力学方程有：
船的质量为：
，水的阻力为
将其代入上式可得：
将上式在x轴投影：
。
应用分离变量法可求得
由初始条件确定积分常数，并代入上式可得：
2-8图a所示水平方板可绕铅垂轴z转动，板对转轴的转动惯量为，质量为的质点沿半径为的圆周运动，其相对方板的速度大小为（常量）。
圆盘中心到转轴的距离为。
质点在方板上的位置由确定。
初始时，，方板的角速度为零，求方板的角速度与角的关系。
o
M
图a图b
解：
取方板和质点为研究对象，作用在研究对象上的外力对转轴z的力矩为零，因此系统对z轴的动量矩守恒。
下面分别计算方板和质点对转轴的动量矩。
设方板对转轴的动量矩为，其角速度为，于是有
设质点M对转轴的动量矩为，取方板为动系，质点M为动点，其牵连速度和相对速度分别为。
相对速度沿相对轨迹的切线方向，牵连速度垂直于OM连线。
质点M相对惯性参考系的绝对速度。
它对转轴的动量矩为
其中：
系统对z轴的动量矩为。
初始时，，此时系统对z轴的动量矩为
当系统运动到图8-12位置时，系统对z轴的动量矩为
由于系统对转轴的动量矩守恒。
所以有，因此可得：
由上式可计算出方板的角速度为
2－11取链条和圆盘为研究对象，受力如图（链条重力未画），设圆盘的角速度为，则系统对O轴的动量矩为：
P
根据动量矩定理有：
整理上式可得：
由运动学关系可知：
，因此有：
。
上式可表示成：
令，上述微分方程可表示成：
，该方程的通解为：
根据初始条件：
可以确定积分常数，于是方程的解为：
系统的动量在x轴上的投影为：
系统的动量在y轴上的投影为：
根据动量定理：
由上式解得：
，
2－14取整体为研究对象，系统的动能为：
其中：
分别是AB杆的速度和楔块C的速度。
若是AB杆上的A点相对楔块C的速度，则根据
复合运动速度合成定理可知：
，
因此系统的动能可表示为：
，系统在能够过程中，AB杆的重力作功。
根据动能定理的微分形式有：
，系统的动力学方程可表示成：
由上式解得：
，
2－17质量为的均质物块上有一半径为的半圆槽，放在光滑的水平面上如图A所示。
质量为光滑小球可在槽内运动，初始时，系统静止，小球在A处。
求小球运动到B处时相对物块的速度、物块的速度、槽对小球的约束力和地面对物块的约束力。
A
B
A
B
图A图B
解：
取小球和物块为研究对象，受力如图B所示，由于作用在系统上的主动力均为有势力，水平方向无外力，因此系统的机械能守恒，水平动量守恒。
设小球为动点，物块为动系，设小球相对物块的速度为，物块的速度为，则系统的动能为
设为势能零点，则系统的势能为
根据机械能守恒定理和初始条件有，即
系统水平方向的动量为：
根据系统水平动量守恒和初始条件有
由此求出，将这个结果代入上面的机械能守恒式,且最后求得：
下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。
分别以小球和物块为研究对象，受力如图C，D所示。
设小球的相对物块的加速度为，物块的加速度为，对于小球有动力学方程
A
B
A
B
（a）
图C图D
对于物块，由于它是平移，根据质心运动动力学方程有
（b）
将方程（a）在小球相对运动轨迹的法线方向投影，可得
其中相对加速度为已知量，。
将方程（b）在水平方向和铅垂方向投影，可得
领，联立求解三个投影可求出
2－18取小球为研究对象，两个小球对称下滑，
设圆环的半径为R。
每个小球应用动能定理有：
（a）
将上式对时间求导并简化可得：
（b）
每个小球的加速度为
取圆环与两个小球为研究对象，应用质心运动定理
将上式在y轴上投影可得：
将（a）,（b）两式代入上式化简后得
时对应的值就是圆环跳起的临界值，此时上式可表示成
上述方程的解为：
，
圆环脱离地面时的值为
而也是方程的解，但是时圆环已脱离地面，因此不是圆环脱离地面时的值。
z
2－19取圆柱、细管和小球为研究对象。
作用于系统上的外力或平行于铅垂轴或其作用线通过铅垂轴。
根据受力分析可知：
系统对铅垂轴的动量矩守恒。
设小球相对圆柱的速度为，牵连速度为系统对z轴的动量矩守恒，有：
其中：
，则上式可表示成：
由此解得：
其中：
，
根据动能定理积分式，有：
其中：
，将其代入动能定理的积分式，可得：
将代入上式，可求得：
由可求得：
2－20取链条为研究对象，设链条单位长度的质量为
应用动量矩定理，链条对O轴的动量矩为：
外力对O轴的矩为：
因为：
，所以上式可表示成：
积分上式可得：
由初始条件确定积分常数，最后得：
动力学第三章部分习题解答
3－3取套筒B为动点，OA杆为动系
根据点的复合运动速度合成定理
可得：
，
研究AD杆，应用速度投影定理有：
，
再取套筒D为动点，BC杆为动系，根据点的复合运动速度合成定理
将上式在x轴上投影有：
，
3－4AB构件（灰色物体）作平面运动，
已知A点的速度
C
AB的速度瞬心位于C，应用速度瞬心法有：
，
设OB杆的角速度为，则有
设P点是AB构件上与齿轮I的接触点，
该点的速度：
齿轮I的角速度为：
3－6AB杆作平面运动，取A为基点
根据基点法公式有：
将上式在AB连线上投影，可得
因此，
因为B点作圆周运动，此时速度为零，
因此只有切向加速度（方向如图）。
根据加速度基点法公式
将上式在AB连线上投影，可得
，
x
y
（瞬时针）
3－7齿轮II作平面运动，取A为基点有
将上式在x投影有：
由此求得：
x
y
再将基点法公式在y轴上投影有：
，由此求得
再研究齿轮II上的圆心，取A为基点
将上式在y轴上投影有
，
由此解得：
再将基点法公式在x轴上投影有：
由此解得：
，又因为
由此可得：
3－9卷筒作平面运动，C为速度瞬心，
其上D点的速度为，卷筒的角速度为
角加速度为
卷筒O点的速度为：
O点作直线运动，其加速度为
O
C
B
研究卷筒，取O为基点，求B点的加速度。
将其分别在x,y轴上投影
同理，取O为基点，求C点的加速度。
将其分别在x,y轴上投影
P
3－10图示瞬时，AB杆瞬时平移，因此有：
AB杆的角速度：
圆盘作平面运动，速度瞬心在P点，圆盘的
的角速度为：
圆盘上C点的速度为：
AB杆上的A、B两点均作圆周运动，取A为基点
根据基点法公式有
将上式在x轴上投影可得：
因此：
由于任意瞬时，圆盘的角速度均为：
B
C
将其对时间求导有：
，由于，所以圆盘的角加速度。
圆盘作平面运动，取B为基点，根据基点法公式有：
P
3－13滑块C的速度及其加速度就是DC杆的速度
和加速度。
AB杆作平面运动，其速度瞬心为P，
AB杆的角速度为：
杆上C点的速度为：
取AB杆为动系，套筒C为动点，
根据点的复合运动速度合成定理有：
其中：
，根据几何关系可求得：
AB杆作平面运动，其A点加速度为零，
B点加速度铅垂，由加速度基点法公式可知
由该式可求得
由于A点的加速度为零，AB杆上各点加速度的分布如同定轴转动的加速度分布，AB杆中点的加速度为：
再去AB杆为动系，套筒C为动点，
根据复合运动加速度合成定理有：
其中牵连加速度就是AB杆上C点的加速度
即：
将上述公式在垂直于AB杆的轴上投影有：
科氏加速度，由上式可求得：
3-14：
取圆盘中心为动点，半圆盘为动系，动点的绝对运动为直线运动；相对运动为圆周运动；牵连运动为直线平移。
由速度合成定理有：
O
A
B
图A
速度图如图A所示。
由于动系平移，所以，
根据速度合成定理可求出：
由于圆盘A在半圆盘上纯滚动，圆盘A相对半圆盘
的角速度为：
由于半圆盘是平移，所以圆盘的角速度就是其相对半圆盘的角速度。
再研究圆盘，取为基点根据基点法公式有：
O
A
B
图B
O
图C
为求B点的加速度，先求点的加速度和圆盘的角加速度。
取圆盘中心为动点，半圆盘为动系，根据加速度合成定理有
（a）
其加速度图如图C所示，，，
将公式（a）在和轴上投影可得：
由此求出：
，圆盘的角加速度为：
下面求圆盘上B点的加速度。
取圆盘为研究对象，为基点，应用基点法公式有：
（b）
O
B
图D
将（b）式分别在轴上投影：
其中：
，
由此可得：
3－15（b）取BC杆为动系（瞬时平移），
套筒A为动点（匀速圆周运动）。
根据速度合成定理有：
由上式可解得：
因为BC杆瞬时平移，所以有：
P
y
x
3－15（d）取BC杆为动系（平面运动），
套筒A为动点（匀速圆周运动）。
BC杆作平面运动，其速度瞬心为P，设其角速度为
根据速度合成定理有：
根据几何关系可求出：
将速度合成定理公式在x,y轴上投影:
:
由此解得:
DC杆的速度
3-16（b）BD杆作平面运动,根据基点法有:
由于BC杆瞬时平移,,上式可表示成:
将上式在铅垂轴上投影有:
由此解得:
再研究套筒A,取BC杆为动系（平面运动），套筒A为动点（匀速圆周运动）。
y
（a）
其中:
为科氏加速度,因为,所以
动点的牵连加速度为:
由于动系瞬时平移,所以,
牵连加速度为,（a）式可以表示成
将上式在y轴上投影:
由此求得:
y
x
3－16（d）取BC杆为动系，套筒A为动点，
动点A的牵连加速度为
动点的绝对加速度为
其中为动点A的科氏加速度。
将上式在y轴上投影有
上式可写成
（a）
其中：
（见3－15d）为BC杆的角加速度。
再取BC杆上的C点为动点，套筒为动系，由加速度合成定理有
其中，上式可表示为
y
x
将上式在y轴投影有：
该式可表示成：
（b）
联立求解（a）,（b）可得
3－17AB杆作平面运动，其速度瞬心位于P，
P
O
R
可以证明：
任意瞬时，速度瞬心P均在以O为
圆心，R为半径的圆周上，并且A、O、P在同
一直径上。
由此可得AB杆任何时刻的角速度均
为
杆上B点的速度为：
AB杆的角加速度为：
O
R
x
y
取A为基点，根据基点法有
将上式分别在x,y轴上投影有
x
y
3－18取DC杆上的C点为动点，构件AB为动系
根据几何关系可求得：
再取DC杆上的D点为动点，构件AB为动系
由于BD杆相对动系平移，因此
将上式分别在x,y轴上投影可得
x
y
求加速度：
研究C点有
将上式在y轴投影有
由此求得
再研究D点
由于BD杆相对动系平移，因此
将上式分别在x,y轴上投影有
3－21由于圆盘纯滚动，所以有
根据质心运动定理有：
根据相对质心的动量矩定理有
求解上式可得：
，
若圆盘无滑动，摩擦力应满足，由此可得：
当：
时，
3－22研究AB杆，BD绳剪断后，其受力如图所示，
由于水平方向没有力的作用，根据质心运动定理可知
AB杆质心C的加速度铅垂。
由质心运动定理有：
根据相对质心的动量矩定理有：
刚体AB作平面运动，运动初始时，角速度为零。
P
A点的加速度水平，AB杆的加速度瞬心位于P点。
有运动关系式
求解以上三式可求得：
A
R
3－35设板和圆盘中心O的加速度分别为
，圆盘的角加速度为，圆盘上与板
的接触点为A，则A点的加速度为
将上式在水平方向投影有
（a）
取圆盘为研究对象，受力如图，应用质心运动定理有
（b）
应用相对质心动量矩定理有
（c）
再取板为研究对象，受力如图，应用质心运动定理有
（d）
作用在板上的滑动摩擦力为：
（e）
由上式可解得：
3－29
解：
由于系统在运动过程中，只有AB杆的重力作功，因此应用动能定理，可求出有关的速度和加速度。
系统运动到一般位置时，其动能为AB杆的动能与圆盘A的动能之和：
P
其中：
因此系统的动能可以表示成：
系统从位置运动到任意角位置，
AB杆的重力所作的功为：
根据动能定理的积分形式
初始时系统静止，所以，因此有
将上式对时间求导可得：
将上式中消去可得：
根据初始条件，可求得初始瞬时AB杆的角加速度
因为，所以AB杆的角加速度为顺时针。
初始瞬时AB杆的角速度为零，此时AB杆的加速度瞬心在点，由此可求出AB杆上A点的加速度：
C
3－33设碰撞后滑块的速度、AB杆的角速度如图所示
根据冲量矩定理有：
（a）
其中：
为AB杆质心的速度，根据平面运动关系有
（b）
再根据对固定点的冲量矩定理：
系统对固定点A（与铰链A重合且相对地面不动的点）的动量矩为滑块对A点的动量矩和AB杆对A点的动量矩，由于滑块的动量过A点，因此滑块对A点无动量矩，AB杆对A点的动量矩（也是系统对A点的动量矩）为
将其代入冲量矩定理有：
（c）
由（a,b,c）三式求解可得：
（滑块的真实方向与图示相反）
3－34研究整体，系统对A轴的动量矩为：
其中：
AC杆对A轴的动量矩为
设为BC杆的质心，BC杆对A轴的动量
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