高等数学等价替换公式.doc

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无穷小极限的简单计算

【教学目的】

1、理解无穷小与无穷大的概念；

2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；

3、不同类型的未定式的不同解法。

【教学内容】

1、无穷小与无穷大；

2、无穷小的比较；

3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；

4、求极限的方法。

【重点难点】

重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。

难点是未定式的极限的求法。

【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。

最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。

【授课内容】

一、无穷小与无穷大

1.定义

前面我们研究了数列的极限、（、）函数的极限、（、）函数的极限这七种趋近方式。

下面我们用

＊表示上述七种的某一种趋近方式，即

＊

定义：

当在给定的＊下，以零为极限，则称是＊下的无穷小，即。

例如,

【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。

定义：

当在给定的＊下，无限增大，则称是＊下的无穷大，即。

显然，时，都是无穷大量，

【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。

无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如

，，

所以当时为无穷小，当时为无穷大。

2．无穷小与无穷大的关系：

在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，

则为无穷小；反之，如果为无穷小，且，则为无穷大。

小结：

无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。

3.无穷小与函数极限的关系:

定理1其中是自变量在同一变化过程（或）中的无穷小.

证：

（必要性）设令则有

（充分性）设其中是当时的无穷小，则

【意义】

（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题（无穷小）;

（2）

3.无穷小的运算性质

定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.

【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

如：

，，

推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.

推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.

推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.

二、无穷小的比较

例如，观察各极限：

不可比.

极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.

1．定义:

设是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且

例1

证：

例2

解

2．常用等价无穷小:

（1）～；

（2）～；（3）～；

（4）～；（5）～；（6）～

（7）～（8）～（9）～

用等价无穷小可给出函数的近似表达式:

例如

3．等价无穷小替换

定理：

证：

例3

（1）；

（2）

解:

（1）故原极限=8

（2）原极限==

例4

错解:

=0

正解:

故原极限

【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。

例5

解:

原式

三、极限的简单计算

1.代入法：

直接将的代入所求极限的函数中去，若存在，即为其极限，例如；若不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。

例如，就代不进去了，但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解。

2.分解因式，消去零因子法

例如，。

3.分子（分母）有理化法

例如，

又如，

4.化无穷大为无穷小法

例如，，实际上就是分子分母同时除以这个无穷大量。

由此不难得出

又如，，（分子分母同除）。

再如，，（分子分母同除）。

5.利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限

例如，，（无穷小量乘以有界量）。

又如，

解：

商的法则不能用

由无穷小与无穷大的关系,得

再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。

6.利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）

7.分段函数、复合函数求极限

例如，

解:

左右极限存在且相等,

【启发与讨论】

思考题1：

解：

无界，

不是无穷大．

结论：

无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.

思考题2：

若，且，问：

能否保证有的结论？

试举例说明.

解：

不能保证.例

思考题3：

任何两个无穷小量都可以比较吗？

解：

不能．例如当时都是无穷小量

但不存在且不为无穷大，故当时和不能比较.

【课堂练习】求下列函数的极限

（1）；

解：

原极限=

（2）求

【分析】“”型，拆项。

解：

原极限===

（3）；

【分析】“抓大头法”，用于型

解：

原极限==，或原极限

（4）；

【分析】分子有理化

解：

原极限===

（5）

【分析】型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。

解：

===

（6）

【分析】“”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因子。

解：

原极限==6

（7）

解:

先变形再求极限.

【内容小结】

一、无穷小（大）的概念

无穷小与无穷大是相对于过程而言的.

1、主要内容:

两个定义;四个定理;三个推论.

2、几点注意:

（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；

（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.

（3）无界变量未必是无穷大.

二、无穷小的比较:

1.反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较。

高（低）阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶。

2.等价无穷小的替换:

求极限的又一种方法,注意适用条件.

三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;

a.多项式与分式函数代入法求极限;

b.消去零因子法求极限;

c.无穷小因子分出法求极限;

d.利用无穷小运算性质求极限;

e.利用左右极限求分段函数极限.

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