中科大12年微积分期末及答案.docx

中科大12年微积分期末及答案.docx

《中科大12年微积分期末及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中科大12年微积分期末及答案.docx（2页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

中国科学技术大学2012-2013年第一学期《单变量微积分》期末考试试卷

一．20分求下列不定积分每小题5分

1xx-1ndx,（n>0）

解：

原式=1n+2（x-1）n+2+1n+1（x-1）n+1+c.

（2）sin⁡（2x）（cosx）2dx

解：

原式=-12（cosx）4+c.

（3）sinxdx

=2tsintdt=-2tcost+2costdt=-2tcost+2sint+c=-2xcosx+2sinx+c.

（4）ln⁡（x+x2+1）dx

=xln（x+x2+1）-xx2+1dx=xlnx+x2+1-x2+1+c.

二．20分求下列积分每小题5分

101x2arcsinxdx

=π6-29.

21+∞arctanxx2dx

=π4+12ln2.

3011+3xx2+1x+1dx

=π2-12ln2.

（4）02πcosx（sinx）5dx=0.

三．14分求下面的极限每小题7分

（1）limx→+∞1x4+sinx0x3t31+t2dx=12.

（2）limn→∞k=1nnn2+k2=π4.

四．20分求下面微分方程的通解或初值问题（每小题10分）

1y2-3y/+2y=2x-3.

Y=c1ex+c2e2x+x.

2y2+（y/）2=y/,y0=y/0=1.

用降阶法，令p=y/,dpdy+p=1,解得p=1+ce-y.由初始条件得c=0,从而得p=1,

于是y=x+c,再用初始条件得c=1,所以y=x+1.

五．10分设u是正常数，求曲边梯形D:

0≤y≤ex+e-x2,0≤x≤u,

绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和侧面积。

解：

体积=π8e2u-e-2u+4u,

则面积=π4（u2u-e-2u+4u）.

六．6分设fx是区间0,1上的可导函数且满足

f（0）=0和f/x>0.对于0<α<β<1,求证：

01fxdx>1-αβ-ααβf（x）dx.

证：

01fxdx=0αfxdx+αβfxdx+β1fxdx>αβf（x）dx+β1f（x）dx=

=f（ξ）（β-α）+f（η）（1-β）>（1-β）f（ξ）=1-αβ-ααβfxdx.

0αfxdx+β1fxdx>1-ββ-ααβfxdx.

其中，上面的运算用到积分中值定理，α<ξ<β,β<η<1;最后的不等式是因为

f（x）严格增。

七．10分每小题5分

1设f（x）在（-∞,+∞）上连续，令

gx,y=0x（ft+y-f（t））dt

求证：

g（x,y）=g（y,x）.

2求在（-∞,+∞）上连续且满足方程f（x+y）-f（x）-f（：

：

y）=xy及

条件f

（1）=12的函数f（x）.

证：

（1）用定积分的变量替换，有

g（x,y）=0xft+ydt-0xftdt=yy+xftdt-0xftdt=

=0x+yftdt-0yftdt-0xftdt.

上式右边关于x,y对称，所以g（x,y）=g（y,x）.

（3）令g（x,y）如题中所定义，则有g（x,y）=0xfy+tydt=xfy+12x2y,

因g（x,y）=g（y,x）,所以，xf（y）+12x2y=yfx+12y2x,在此式中令y=1,解出

f（x）=12x2+f1-12x.

由定解条件f

（1）=12,代入上式，得f（x）=x22,证毕。

（完）。