浅谈初中趣味数学问题.docx

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浅谈初中趣味数学问题

毕业论文题目　网络化数字视频监控系统的研究、设计与实现姓名　严展　　　长江师范学院

长江师范学院本科毕业论文

网络化数字视频监控系统的研究、设计与实现

TheResearch，DesignandApplicationofDigitalNetworkVideoSurveillanceSystem

专业：

数学与应用数学

学号：

200806032224

学生：

肖光兰

指导教师：

扬天标

长江师范学院数学与计算机学院

2013年6月

浅谈初中趣味数学问题

摘要

数学针对大多数人都是那么熟悉，但一致的认为都是那么的枯燥无味并为了升学才去学习它。

而这些问题的主要原因是他们不知道数学题中的趣味，每一道题有不同的趣味，并有不同的解法，趣味数学问题可以给学生带来很大的乐趣，并从中可获得很多新知识和思维能力。

关键词数学史；趣味数学；牛吃草

目录

一、引言………………………………………………………………………………

（1）

二、历史背景……………………………………………………………………………

（2）

三、趣味数学题

1、“一元钱到哪去了”………………………………………………………（3）

2、动物中的数学“天才”……………………………………………………………（3）

3、行程问题…………………………………………………………………………（4）

4、牛顿的牛吃草问题………………………………………………………………（4）-（7）

…………

四、结语……………………………………………………………………………（7）

五、参考文献…………………………………………………………………（8）

六、致谢……………………………………………………………………（8）

一、引言

先来看看《国际象棋发明人的报酬》的故事：

这是印度的一个古老传说，舍罕王打算重赏象棋发明人:

宰相西萨·班·达依尔。

这位聪明的大臣的胃口看来并不大，他跪在国王面前说：

‘陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，用这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。

陛下，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！

’

‘爱卿，你所求的并不多啊。

”国王说道，心里为自己对这样一件奇妙的发明赏赐的许诺不致破费太多而暗喜。

“你当然会如愿以偿的，”国王命令如数付给达依尔。

　计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放2粒，第三格内放22粒，…没有到第二十格，一袋麦子已经空了。

一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。

但是，麦粒数一格接一格飞快增长着，国王很快就看出，即便拿全印度的粮食，也兑现不了他对达依尔的诺言。

原来，所需麦粒总数

　　１＋２＋２2＋２3＋２4＋……＋２65＝２64－１

　　＝１８４４６７４４０７３７０９５５１６１５。

这些麦子究竟有多少？

打个比方，如果造一个仓库来放这些麦子，仓库高4米，宽10米，那么仓库的长度就等于地球到太阳的距离的两倍。

而要生产这么多的麦子，全世界要两千年。

尽管印度舍罕王非常富有，但要这样多的麦子他是怎么也拿不出来的。

这么一来，舍罕王就欠了宰相很大一笔债。

要么是忍受达依尔没完没了的讨债，要么是干脆砍掉他的脑袋。

结果究竟如何，可惜史书上没有记载。

从这个故事，我们就可以而知道数学是一门非常有趣的学科，因为它是以“数”和“形”为基础的，所以非常直观和易懂。

但很多人却认为数学是一门很枯燥的学科，只是应付考试才去学它的，根本就没把握到其中的乐趣，但这也不能怪他们，因为数学理论很强需要很多抽象思考，但是在数学发展中也发生了很多有意思的事情，它可以让你充分的体会数学的乐趣，并在其中掌握数学知识。

数学的特点是“活”，是“千变万化”。

一个定理远远超出它字面上的含义，一个方程可能表示完全不同的现象，一道应用题可能有不同的解法，但每种解法都有其中的意义。

因此，学习数学不能只停留在课堂上、书本上，要结合实际，要融会贯通。

这样，数学的学习才有生命力。

这样，才能感受到其中趣味。

二、历史背景

我国是趣味数学最早的发源地，世界数学发展史上一些著名的趣题，在我国古数学书中早有记载。

  在12世纪的印度数学家巴斯卡拉提出的“莲花问题”：

“波平如镜一湖面，半尺高处出红莲，孤零直立在那里，狂风把它吹一边，距根生处两尺远，试问湖水多深浅？

”然而此类趣味题我国早在一世纪数学著作《九章算术》[1]中，早就有了如：

“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？

”葭（jia）是初生的芦苇。

印度数学家巴斯卡提出的“莲花问题”是讲湖中的莲花一系列的问题，而我国古代数学中讲的是池中的芦苇问题。

通过比较这两道趣味题，很容易的发现它们的已知和求证是一样的，也就是说它们的趣味性质是一样的，然而它们的年代却相差了11个世纪，这就说明我国比印度同类型的趣味题的提出和计算要早1100多年。

在公元七世纪到十世纪，我国唐代流传的《孙子算经》[2]也记载着这样的趣味题：

“今有出门望有九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？

”

又如公元约1170年到1250年，意大利的著名数学家斐波纳契写的《算盘全书》[3]一书里，收集了不少数学趣味题，其中有一道就说：

“今有七个老太婆，一起动身赴罗马，每人各有七头骡，每头骡子驼七袋，每袋装有七只面包，每只面包有七把小刀，每把小刀有七个套子，问这些东西有多少？

”

    从上面的这些趣味题可以看出，它们的性质完全一样，内容又惊人的相似，但是我国的这类趣味题都比古意大利早500多年。

   通过以上的例子，我们就知道趣味题有很多，只是我们没发现，但是可以知道的是，我国的数学趣味题远远比其他的国家要早。

因此许多书本上提出了许多趣味题和问题，在我国古代数学著作中早就有了，这就是趣味题的历史发展。

三、趣味数学题

刚我们说了一下数学趣味题的历史，我国是最早的，但不能让它流失，我们就进一步的来看几道典型并很流传的趣味题：

1、问题：

一元钱到哪里去了？

有3个人去投宿,一晚30元3个人每人掏了10元凑够30元交给了老板。

后来老板说今天优惠只要25元就够了,拿出5元命令服务生退还给他们，服务生偷偷藏起了2元,然后,把剩下的3元分给了那3个人,每人分到1元。

这样,一开始每人掏了10元,现在又退回1元,也就是10-1=9,每人只花了9元钱3个人每人9元,3x9=27元+服务生藏起的2元=29元，还有1元,去了那里呢?

这个问题是网上很常见的，但很少有人能正确说出那一元去哪了，所以下面就来分析一下，分别用了两种方法：

方法一：

一共给了30元，店老板要退了5元，服务生藏了2元，只退了3元。

应该是3x9=27，27-2+5=30元。

服务生藏的2元在3x9=27元之中。

所以题目27+2=29的算法是混淆逻辑的。

方法二：

此次由客人提供现金总共9x3=27元其中实际收住宿费25元，服务员贪了客人所付款中的2元，所以实际总钱数为27元，思路很清晰，钱都有着落了。

题目中提出的27+2元，实际上是重复算了2元，27元中就包含了服务员贪的2元，再次计算就会产生错误

2、动物中的数学“天才”

丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。

“人”字形的角度是110度。

更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！

而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！

是巧合还是某种大自然的“默契”？

　冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。

3、行程问题

两个男孩各骑一辆自行车，从相距20公里的A、B两地，开始沿直线相向而行。

在他们起步的那一瞬间，一辆自行车车把上的一只苍蝇，开始向另一辆自行车径直飞去。

它一到达另一辆自行车车把，就立即转向往回飞行。

这只苍蝇如此往返，在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到两辆自行车相遇为止。

如果每辆自行车都以每小时10公里的等速前进，苍蝇以每小时15公里的等速飞行，那么，苍蝇总共飞行了多少英里？

答案：

苍蝇总共飞行了15公里。

因为每辆自行车的运动速度是每小时10公里，并在一个小时后相遇于20公里的中点。

而苍蝇飞行的速度是每小时15公里，时间也是1小时，所以的它的路程=速度x时间=15x1=15公里

分析：

看到这道题，很多人都认为很复杂，因此试图用复杂的方法来解决，越想越复杂。

他们主要是计算苍蝇在两辆自行车车把之间的第一次路程和后面来回的路程，再将这些路程依次加起来，结果就是苍蝇的路程，但这种解法会涉及到无穷极数求和，无穷级数求和是难度很大的高等数学。

有关于这道题的一个小故事，说：

在一次的鸡尾酒会上，有人向冯·诺伊曼提出这个问题，他思考一会后就给出了正确的答案。

提问者就显得有点沮丧并解释说：

“大部分的数学家总是会忽略能解决这道题的简单方法，而一直采用无穷极数求和的复杂方法。

冯·诺伊曼听后，脸上露出惊奇的神色。

“可是，我用的是无穷级数求和的方法.”他解释。

4、牛顿的牛吃草问题

牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。

这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？

牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。

解题环节主要从以下四个步骤：

1、求出每天的长草量；

2、求出牧场的原有草量；

3、求出每天实际消耗的原有草量（牛吃的草量-生长的草量=消耗原有的草量）；

4、最后求出草可供牛吃的天数

分析：

这个问题的难点就是怎么分析这片草地天天的匀速生长。

假如把10头牛在22天吃草总量与16头牛在10天吃草总量进行比较，得到的10×22-16×10=60，是6头牛一天吃的草，把这个量平均分到（22-10）天里，就可以知道是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。

求出了这个条件，把所有牛分成两部分来研究，用其中的一头吃掉新长出的草，用其余牛吃原有的草，即可求出全部牛吃的天数。

解：

设一头牛1天吃的草为1份。

那么10头牛22天吃草为：

1×10×22=220（份），

16头牛10天吃草为：

1×16×10=160（份）

（220-160）÷（22-10）=5（份），说明牧场上一天长出新草5份。

220-5×22=110（份），说明原有老草110份。

综合：

110÷（25-5）=5.5（天），就能算出一共多少天。

如果想求出有多少牛，那么题目一定会告诉你原来的草量，方法就和求草的一样。

你可以先写出求草的算式，再带入数字。

分析：

在牧草不生产的条件下，如果12条公牛在四星期内吃掉三又三分之一的牧草，则按比例36头公牛四星期内，或16头公牛九个星期内，或八头公牛18星期内吃掉10由牧草，由于牧草在生长，所以21头公牛9星期只吃掉10由格尔牧草，即在随后的五周内，在10由格尔的草地上新长的牧草足够21-16=5头公牛吃9星期，或足够5/2头公牛吃18个星期，由此推得，14个星期（即18个星期减去初的四个星期）内新长的牧草可供7头公牛吃18个星期，因为5：

14=5/2：

7。

前已算出，如牧草不长，则10由格尔草地牧草可供8头公牛吃18个星期，现考虑牧草生长，故应加上7头，即10由格尔草地的牧草实际可供15头公牛吃18个星期，由此按比例可算出。

24由格尔草地的牧草实际可供36头公牛吃18星期。

还给出代数解法：

他设1由格尔草地一个星期内新长出的牧草相当于面积为y由格尔的草地，又每头公牛每个星期所吃牧草所占的面积是相等的。

根据题意，设若所求的公牛头数为x，

则（10/3+10/3*4y）/（12*4）=（10+10*9y）/（21*9）=（24+24*18y）/18x

解得x=36

即36条公牛在18个星期内吃掉24由格尔的牧草。

还有一种方法就是使用方程式的解法。

例如有一块牧场，可供9头牛吃3天，或者5头牛吃6天，请问多少牛能够2天吃完？

我们做方程式：

设牧场原有草量为y，每天新增加的牧草可供x头牛食用，N头牛能够2天将草吃完，根据题目条件，我们列出方程式：

y=（9-x）×3

y=（5-x）×6

y=（N-x）×2

解方程组得x=1y=24N=13

其实这种牛吃草问题的核心公式是：

原有草量=（牛数-单位时间长草量可供应的牛的数量）×天数

另一解法：

牛吃草问题的关键点在于这个问题隐藏了一个基本的平衡在里面，那就是：

假若每头牛每天的吃草速率和吃草量都不相同，那么此题无解，为什么？

因为很可能一头牛心情好一天就能吃完这些草，也可能10头牛食欲不佳一个月吃都不完这些草，因此每头牛每天的吃草速率和数量必须都是相同的是这个问题成立并且能够得到答案的充要条件。

得到这个结论后，我们就要开始确定一个平衡的方程式出来，如何确定？

不难想到，可以是吃草量和草本身量之间的平衡，也就是吃草量=草总量。

于是我们就可以假设一头牛一天的吃草量为1个单位，并假设第三种情况牛吃草的天数为N；接下来开始寻找平衡方程，我们可以看到，在问题提供的条件中，第一种情况的草的总量为10×22，第二种情况的草的总量为16×10，第三种情况的草的总量为25×N。

然后我们开始寻找方程的平衡：

既然我们现在已经找到三种情况里草地的总量，那么不难想到方程的另一边就要靠草的量来进行平衡，于是，我们假设原有草量为Y，草每天的生长量为X，得到如下方程组：

10×22=22X+Y

16×10=10X+Y

25×N=NX+Y

解此方程组，可得X=5，Y=110，N=5.5，因此25头牛用五天半的时间就能吃完这些草。

总结此问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。

解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。

显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量——每天（每周）新长出的草的数量。

基本思路：

假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

基本特点：

原草量和新草生长速度是不变的；

关键问题：

确定两个不变的量。

基本公式：

生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；

总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；

牛吃草问题常用到四个基本公式：

牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。

典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。

由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随?

吃的天数不断地变化。

解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰

（1）草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

（2）原有草量=牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`

（3）吃的天数=原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

（4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。

这四个公式是解决消长问题的基础。

由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。

牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。

正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。

这几个趣味问题只是我们生活中的一部分，还有许许多多的需要我们大家去发现了探究，它不仅给人带来很多乐趣，只要你去看，去探究，就会得出不同的收获，不同的乐趣。

四、总结

本文章，主要是围绕趣味数学问题在探讨，通过趣味故事、趣味问题的历史背景、几道简单的趣味的问题学习，来探讨。

数学其实是一个很有趣的学科，就仅仅的一道数学题，你可以从中找出不同的解法，从而就可以得到不同的喜悦，得到不同的乐趣，来增加学习的氛围。

五、主要参考文献目录

[1]王汝发.李德生.《九章算术》新论[J].贵州文史丛刊,1993年03期

[2]潘有发.我国最古的数学著作——《九章算术》[J].江苏教育,1982年02期

[3]顾东春.有趣的“鸡兔同笼”问题[J].红领巾（高年级版）,2006年Z1期

[4]斐波纳契.《算盘全书》.意大利著名学家[M]，1902年

[5]张晓辉.牛吃草问题的多种解法[J].数理化学习（初中版）,2011年05期

[6]卢卫红.《第二重奥秘》——生命王国中的心数学[J].中国图书商报,2002.12.6

致谢

经过两个多月的努力，初中趣味数学问题及策略论文终于完成，在整个的过程中，出现过很多的困难，但这些都在老师和同学的帮助下顺利解决了，在不断的学习过程中我体会到：

写论文是一个不断学习的过程，从最初刚写论文时对趣味数学问题的模糊认识到最后能够对该问题有了深刻的认识，并体会到实践对于学习的重要性，以前只是明白理论知识，却没有经过实践考察，对知识的理解还不够明确，通过这次的经历，真正做到理论实践相结合。

总之，通过毕业设计,我深刻体会到要做好一个完整的事情，需要有系统的思维方式和方法，对待要解决的问题，要耐心、要善于运用已有的资源来充实自己。

同时我也深刻的认识到，在对待一个新事物时，一定要从整体考虑，完成一步之后再作下一步，这样才能更加有效。

在这里深深地感谢指导老师扬天标给予我的悉心指导、多方面的入微关怀和帮助。

老师渊博的知识、扎实的理论功底、高深的学术造诣、严谨的治学态度和胸怀宽宏的高尚品质，让我受益匪浅，终身难忘。

同时还感谢本寝室全体人员四年来的照顾和帮助，这四年的欢声笑语是永远的美好回忆。

最后感谢父母多年来在学业和生活上给予我的物质帮助，感谢所有支持过我的人，你们的关心和鼓励将使我在工作和学习中不断进取。