集合与简易逻辑(数学学案原创组)(教师版).doc

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《3年高考-2年模拟-1年原创》极品数学专题系列

专题一集合与简易逻辑（教师版）

（数学学案原创组）

【考点定位】2010考纲解读和近几年考点分布

高考对集合的考查有两种主要形式：

一是直接考查集合的概念；二是以集合为工具考查集合语言和集合思想的运用。

从涉及的知识上讲，常与映射、函数、方程、不等式等知识相联系，小题目综合化是这部分内容的一种趋势。

高考对常用逻辑用语的考查以考查四种命题、逻辑联结词、充分条件、必要条件等知识点为主，难度不大，多以容易题为主。

从09年的高考题看高考命题仍会以基本概念为考查对象，并且以本节知识作为工具，以代数中的函数、不等式和几何中的点、线、面以及三角、解析几何为载体来考查。

题目以选择填空题为主，重点考查学生的推理能力。

【考点pk】名师考点透析

考点一、集合的概念

【名师点睛】

1、集合的概念：

（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；

（2）集合的分类：

①按元素个数分：

有限集，无限集；

②按元素特征分；数集，点集。

如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{（x，y）|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；

（3）集合的表示法：

①列举法：

用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。

2、两类关系：

（1）元素与集合的关系，用或表示；

（2）集合与集合的关系，用，，=表示，当AB时，称A是B的子集；当AB时，称A是B的真子集。

3、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题

4、注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论

【试题演练】

1、下面四个命题正确的是

（A）10以内的质数集合是{1，3，5，7}　　（B）方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2}

（C）0与{0}表示同一个集合　（D）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}

解：

选（D），最小的质数是2，不是1，故（A）错；由集合的定义可知（B）（C）都错。

2、已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，则实数＝．

解：

由BA，且不可能等于－1，可知＝2－1，解得：

＝1。

【试题演练】

二、集合的运算

【名师点睛】

1、交，并，补，定义：

A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且xA｝，集合U表示全集；

2、运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），

CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。

3、学会画Venn图，并会用Venn图来解决问题。

【试题演练】

3、设集合A＝{x|2x＋1＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，则AB等于（）

图1

（A）{x|－3＜x＜1} （B）{x|1＜x＜2}

（C）｛x|x>－3｝ （D）｛x|x<1｝

解：

集合A＝{x|2x＋1＜3}＝｛x|x<1｝，集合A和集合B在数轴上表示如图1所示，AB是指集合A和集合B的公共部分，故选（A）。

图2

例4、经统计知，某村有电话的家庭有35家,有农用三轮车的家庭有65家,既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为（）

A.60B.70C.80D.90

解：

画出Venn图，如图2，画图可得到有一种物品的家庭数为：

15+20+45=80.故选（C）。

5、（2008广东卷）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}。

集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（　　）

A.AB     B.BCC.A∩B=CD.B∪C=A

解：

由题意可知，应选（D）。

三、逻辑联结词

【名师点睛】

1、命题分类：

真命题与假命题，简单命题与复合命题；

2、复合命题的形式：

p且q，p或q，非p；

3、复合命题的真假：

对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。

对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。

4．命题真假的判断，先应分清所给命题是简单命题还是复合命题，若是复合命题则依据复合命题真值表来判定.

【试题演练】

6、已知命题方程有两个不相等的负数根；方程无实根．若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围．

解：

．，．

或为真，且为假，真，假或假，真．

或，故或．

四、四种命题的关系

【名师点睛】

1、命题分类：

真命题与假命题，简单命题与复合命题；

2、四种命题：

记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。

其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。

因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。

【试题演练】

7、（2008广东高考）命题“若函数在其定义域内是减函数，则”的逆否命题是（）

A、若，则函数在其定义域内不是减函数

B、若，则函数在其定义域内不是减函数

C、若，则函数在其定义域内是减函数

D、若，则函数在其定义域内是减函数

解：

逆否命题是将原命题的结论的否定作为条件，原命题的条件的否定作为结论，故应选（A）。

五、充要条件

【名师点睛】

1.要理解“充分条件”“必要条件”的概念，当“若p则q”形式的命题为真时，就记作pq，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假

2.要理解“充要条件”的概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词语“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等

3.数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质

4.从集合观点看，若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、B互为充要条件

5.证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立（即条件的充分性），又要证明它的逆命题成立（即条件的必要性）.

【试题演练】

8（2008安徽卷）是方程至少有一个负数根的（）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解：

当，得a<1时方程有根。

a<0时，，方程有负根，又a=1时，方程根为，所以选（B）。

9、（2008湖北卷）若集合,则：

（　　）

A.是的充分条件，不是的必要条件

B.不是的充分条件，是的必要条件

C是的充分条件，又是的必要条件.

D.既不是的充分条件，又不是的必要条件

解：

反之不然故选A

10：

已知p：

|1－|≤2，q：

x2－2x+1－m2≤0（m>0），若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.

思路分析利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.

解：

由题意知，命题若p是q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：

p是q的充分不必要条件p：

|1－|≤2－2≤－1≤2－1≤≤3－2≤x≤10

q：

:

x2－2x+1－m2≤0［x－（1－m）］［x－（1+m）］≤0*∵p是q的充分不必要条件，

∴不等式|1－|≤2的解集是x2－2x+1－m2≤0（m>0）解集的子集又∵m>0

∴不等式*的解集为1－m≤x≤1+m∴，∴m≥9，∴实数m的取值范围是［9，+∞

【三年高考】07、08、09高考试题及其解析

2009高考试题及解析

1.（2009年广东卷文）已知全集，则正确表示集合

2.（2009全国卷Ⅰ理）设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有（A）

（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个

解：

，故选A。

也可用摩根律：

3.（2009浙江理）设，，，则（）

A．B．C．D．

答案：

B

【解析】对于，因此．

4.（2009浙江理）已知是实数，则“且”是“且”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案：

C

【解析】对于“且”可以推出“且”，反之也是成立的

5.（2009浙江理）已知是实数，则“且”是“且”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.mC．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案：

C

【解析】对于“且”可以推出“且”，反之也是成立的

6.（2009浙江理）设，，，则（）

A．B．C．D．

答案：

Bw.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【解析】对于，因此．

7.（2009浙江文）设，，，则（）

A．B．C．D．

B【命题意图】本小题主要考查了集合中的补集、交集的知识，在集合的运算考查对于集合理解和掌握的程度，当然也很好地考查了不等式的基本性质．

10.（2009山东卷理）集合,,若,则的值为（）

A.0B.1C.2D.4

【解析】:

∵,,∴∴,故选D.

【命题立意】:

本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.

11.（2009山东卷文）集合,,若,则的值为（）

A.0B.1C.2D.4

【解析】:

∵,,∴∴,故选D.

【命题立意】:

本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.

12.（2009全国卷Ⅱ文）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则Cu（MN）=

（A）{5，7}（B）{2，4}（C）{2.4.8}（D）{1，3，5，6，7}

答案：

C本题考查集合运算能力。

13.（2009广东卷理）已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，

则阴影部分所示的集合的元素共有

A.3个B.2个C.1个D.无穷多个

【解析】由得，则，有2个，选B.

14.（2009安徽卷理）若集合则A∩B是

（A）（B）（C）（D）

[解析]集合，∴选D

15.（2009安徽卷文）若集合，则是

A．{1，2，3} B.{1，2} C.{4，5} D.{1，2，3，4，5}

【解析】解不等式得∵∴

16.（2009安徽卷文）“”是“且”的

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】易得时必有.若时，则可能有，选A。

17.（2009江西卷文）下列命题是真命题的为

A．若,则B．若,则C．若,则D．若,则

【解析】由得,而由得,由,不一定有意义,而得不到故选A.

18.（2009江西卷理）已知全集中有m个元素，中有n个元素．若非空，则的元素个数为

A．B．C．D．

【解析】因为，所以共有个元素,故选D

19.（2009天津卷文）设的w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件

【解析】因为，显然条件的集合小，结论表示的集合大，由集合的包含关系，我们不难得到结论。

【考点定位】本试题考察了充分条件的判定以及一元高次方程的求解问题。

考查逻辑推理能力。

20.（2009湖北卷理）已知是两个向量集合，则

A．｛〔1，1〕｝B.｛〔-1，1〕｝C.｛〔1，0〕｝D.｛〔0，1〕｝

【解析】因为代入选项可得故选A.

21.（2009四川卷文）设集合＝｛｜｝，＝｛｜｝.则＝

A.｛｜－7＜＜－5｝B.｛｜3＜＜5｝

C.｛｜－5＜＜3｝D.｛｜－7＜＜5｝w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【答案】C

运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12.

解:

设所求人数为，则只喜爱乒乓球运动的人数为，

故.注：

最好作出韦恩图！

25.（2009福建卷理）已知全集U=R，集合，则等于

A．{x∣0x2}B{x∣02}D{x∣x0或x2}

[解析]∵计算可得或∴.故选A

26.（2009辽宁卷文）已知集合M＝﹛x|－3＜x5﹜,N＝﹛x|x＜－5或x＞5﹜，则MN＝

（A）﹛x|x＜－5或x＞－3﹜（B）﹛x|－5＜x＜5﹜（C）﹛x|－3＜x＜5﹜（D）﹛x|x＜－3或x＞5﹜

【解析】直接利用并集性质求解,或者画出数轴求解.【答案】A

27.（2009辽宁卷文）下列4个命题㏒1/2x>㏒1/3x

㏒1/2x㏒1/3x其中的真命题是

（A）（B）（C）（D）

【解析】取x＝,则㏒1/2x＝1,㏒1/3x＝log32＜1,p2正确当x∈（0,）时,（）x＜1,而㏒1/3x＞1.p4正确

【答案】D

28.（2009辽宁卷理）已知集合M={x|－3

（A）{x|－5＜x＜5}（B）{x|－3＜x＜5}（C）{x|－5＜x≤5}（D）{x|－3＜x≤5}

【解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解.【答案】B

29.（2009宁夏海南卷理）已知集合,则

（A）（B）（C）（D）

解析：

易有，选A

30.（2009陕西卷文）设不等式的解集为M，函数的定义域为N，则为

（A）[0，1）（B）（0，1）（C）[0，1]（D）（-1，0]

解析:

则,故选A.

31.（2009四川卷文）设集合＝｛｜｝，＝｛｜｝.则＝

A.｛｜－7＜＜－5｝B.｛｜3＜＜5｝

C.｛｜－5＜＜3｝D.｛｜－7＜＜5｝

【解析】＝｛｜｝，＝｛｜｝∴＝｛｜－5＜＜3｝答案C

32.（09全国Ⅰ文）设集合A=｛4，5，6，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集=AB，则集合［u（AB）中的元素共有

（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个w

【解析】，故选A。

也可用摩根律：

33.（2009宁夏海南卷文）已知集合,则

（A）（B）（C）（D）

【解析】集合A与集合B都有元素3和9，故，选.D。

34.（2009天津卷理）命题“存在R，0”的否定是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（A）不存在R,>0（B）存在R,0

（C）对任意的R,0（D）对任意的R,>0

解析：

由题否定即“不存在，使”，故选择D。

35.（2009四川卷理）设集合则

Ａ.　Ｂ.　　Ｃ.　Ｄ.

【考点定位】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，考查集合的运算，基础题。

解析：

由题，故选择C。

解析2：

由故，故选C．

36.（2009福建卷文）若集合，则等于w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A． B C DR

则它是负数”。

【答案】B

二、填空题

1.（2009年上海卷理）已知集合，，且，则实数a的取值范围是

【答案】a≤1

【解析】因为A∪B=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a≤1。

2.（2009重庆卷文）若是小于9的正整数，是奇数，是3的倍数，则．

解法1，则所以，所以

解析2，而

3.（2009重庆卷理）若，，则．

【答案】（0，3）

【解析】因为所以

4.（2009上海卷文）已知集体A={x|x≤1},B={x|≥a},且A∪B=R，则实数a的取值范围是_____.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【解析】因为A∪B=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a≤1。

5.（2009北京文）设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.【答案】6

.w【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.什么是“孤立元”？

依题意可知，必须是没有与相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类：

因此，符合题意的集合是：

共6个.故应填6.

6.（2009天津卷文）设全集，若，则集合B=__________.【答案】{2，4，6，8}

【解析】

【考点定位】本试题主要考查了集合的概念和基本的运算能力。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

7.（2009陕西卷文）某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有人。

答案：

8.

解析:

由条件知,每名同学至多参加两个小组,故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组,设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为,则.m,

由公式

易知36=26+15+13-6-4-故=8即同时参加数学和化学小组的有8人.

8.（2009湖北卷文）设集合A=（x∣log2x<1）,B=（X∣<1）,则A=.

【答案】

【解析】易得A=B=∴A∩B=.

9..（2009湖南卷理）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_【答案】：

12

【解析】设两者都喜欢的人数为人，则只喜爱篮球的有人，只喜爱乒乓球的有人，由此可得，解得，所以，即所求人数为12人。

w.w.w.k.s.5.

2008高考试题及解析

解：

是全体非正数的集合即负数和0，所以

3、（北京卷理1）已知全集，集合，，那么集合A∩（CUB）等于（）

A． B．C． D．

【标准答案】:

D

【试题分析】:

CB=[-1,4]，＝

【高考考点】:

集合【易错提醒】:

补集求错

【备考提示】:

高考基本得分点

4、（北京卷文1）若集合，，则集合等于（）

A． B．C． D．

【答案】D【解析】

5、（福建卷文1）若集合A={x|x2-x＜0},B={x|0＜x＜3},则A∩B等于（）

A.{x|0＜x＜1}B.{x|0＜x＜3}C.{x|1＜x＜3}D.Φ

解：

A={x|0

并确保得分。

8、（湖南卷文1）已知，，，则（）

A．C．D.

【答案】B【解析】由，，，易知B正确.

9、（辽宁卷理1）已知集合，则集合＝（）

A． B． C． D．

答案：

C解析：

本小题主要考查集合的相关运算知识。

依题，

∴，

10、（辽宁卷文1）已知集合，，则（）

A． B． C． D．

答案：

D解析：

本小题主要考查集合的相关运算知识。

依题意，

∴.

11、（全国Ⅱ卷理1文2）设集合，

A． B． C． D．

【答案】B【解析】，，∴

【高考考点】集合的运算，整数集的符号识别

12、（山东卷理1文1）满足M｛a1,a2,a3,a4｝,且M∩｛a1,a2,a3｝={a1·a2}的集合M的个数是（）

（A）1　　　　　　　（B）2（C）3（D）4

解析：

本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。

集合中必含有,则或.选B.

13、（陕西卷理2）已知全集，集合，，则集合中元素的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

解：

，，

14、（陕西卷文2）已知全集，集合，，则集合（）

A．B． C． D．

解：

，所以

15、（四川卷理１文1）设集合，则（）

（Ａ）　　　　　（Ｂ）　　　　　（Ｃ）　　　　　（Ｄ）

【解】：

∵∴

又∵∴故选B；

【考点】：

此题重点考察集合的交集，补集的运算；【突破】：

画韦恩氏图，数形结合；

16、（天津卷理6）设集合，则的取值范围是

（A）（B）（C）或（D）或

解析：

，所以，选A．

17、（天津卷文1）设集合，，，则

A． B． C． D．

解析：

因为，所以，选A．

18、（浙江卷理2）已知U=R，A=,B=,则

（A）（B）（C）（D）

解析：

本小题主要考查集合运算。

19、（浙江卷文1）已知集合，，则

（A）（B）（C）（D）

答案：

解析：

本小题主要考查集合运算。

由=

20、（四川延考理1）集合，的子集中，含有元素的子集共有

（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个

解：

的子集共个，含有元素0的和不含元素0的子集各占一半，有4个．选B

21、（安徽卷理7文4）是方程至少有一个负数根的（）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

解：

当，得a<1时方程有根。

a<0时，，方程有负根，又a=1时，方程根为，所以选B

22、（北京卷理3）“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（）

A．充分而不必要条件 B．必要