集合与简易逻辑教案.docx

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集合与简易逻辑教案

高中数学第一册（上）

第一章集合与简易逻辑

◇教材分析

【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（可看做集合的化简）、简易逻辑三部分：

【知识点与学习目标】

【高考评析】

集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法．

◇学习指导

【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆．

【数学思想】1．等价转化的数学思想；　　2．求补集的思想；

　　3．分类思想；　　4．数形结合思想．

【解题规律】

1．如何解决与集合的运算有关的问题？

　　　　1）对所给的集合进行尽可能的化简；

　　　　2）有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系；

　　　　3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素．

　　2．如何解决与简易逻辑有关的问题？

　　　　1）力求寻找构成此复合命题的简单命题；

　　　　2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题．

引言

通过一个实际问题，目的是为了引出本章的内容。

1、分析这个问题，要用数学语言描述它，就是把它数学化，这就需要集合与逻辑的知识；

2、要解决问题，也需要集合与逻辑的知识．

在教学时，主要是把这个问题本身讲清楚，点出为什么“回答有20名同学参赛”不一定对．而要进一步认识、讨论这个问题，就需要运用本章所学的有关集合与逻辑的知识了．

§1.1集合

〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：

（1）初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；

（2）初步了解“属于”关系的意义；

（3）初步了解有限集、无限集、空集的意义．

〖教学重点与难点〗本小节的重点是集合的基本概念与表示方法；难点是运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合．

〖教学过程〗

☆本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子．

1、集合的概念：

在初中代数里学习数的分类时，就用到“正数的集合”，“负数的集合”等此外，对于一元一次不等式2x一1＞3，所有大于2的实数都是它的解．我们也可以说，这些数组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．

在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．

一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．这句话，只是对集合概念的描述性说明．集合则是集合论中原始的、不定义的概念．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．例如，“我校篮球队的队员”组成一个集合；“太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋”也组成一个集合．我们一般用大括号表示集合，上面的两个集合就可以分别表示成4我校篮球队的队员）与4太平洋。

大西洋，印度洋，北冰洋）．为了方便起见，我们还经常用大写的拉丁字母表示集合．例如，A＝｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝，B＝｛1，2，3，4，5｝．

集合中的每个对象叫做这个集合的元素．例如，“地球上的四大洋”这一集合的元素是：

太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋．集合的元素常用小写的拉丁字母表示。

2、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性：

集合中的元素必须是确定的。

这就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定7。

例如，给出集合（地球上的四大洋），它只有太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋四个元素．其他对象都不是它的元素．又如。

“我国的小河流”就不能组成一个集合，因为组成它的对象是不确定的。

集合中的元素是互异的。

这就是说，集合中的元素是没有重复现象的，任何两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素．

集合中的元素是无序的。

这就是说，集合中的元素排列与顺序无关。

3、常用的数集及其记法：

全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N，非负整数集内排除0的集，也称正整数集，表示成N

或N

；

全体整数的集合通常简称整数集，记作Z；

全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q；

全体实数的集合通常简称实数集，记作R．

★（教科书中给出的常用数集的记法，是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意以下两点：

（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0；

（2）非负整数集内排除0的集，表示成N

或N

。

新的国家标准定义自然数集N含元素O．这样做一方面是为了推行国际标准化组织（ISO）制定的国际标准，以便与之早日相衔接；另一方面，o还是十进位数｛0，1，2，…，9｝中最小的数，有了0，减法运算a—a仍属于N，其中a∈N．）

4、集合的表示方法，常用的有列举法和描述法：

列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法．

例如，由方程

—1＝0的所有的解组成的集合，可以表示为｛-1，1｝；

又如，由所有大于0巳小于10的奇数组成的集合，可以表示为｛1，3，5，7，9｝。

描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法．

例如，不等式x-3＞2的解集可以表示为｛x∈R｜x-3＞2｝;

★（列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法．要注意，一般无限集，不宜采用列举法，因为不能将无限集中的元素一一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定．）

5、集合的分类：

一般地，含有有限个元素的集合叫做有限集．

一般地，含有无限个元素的集合叫做无限集．

不含任何一个元素的集合叫做空集．记作φ。

6、素与集合之间的关系：

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a?

A（或a∈A）．

例如，设B＝｛1，2，3，4，5｝，那么5∈B，8?

B．

7、练习：

①P5与P6练习。

②P7习题1.1第1题、第2题的⑴、⑵。

8、小结：

（略）。

9、作业：

①P7习题1.1第2题的⑶、⑷。

②练习册：

§1.1集合的内容。

§1．2子集、全集、补集

〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：

（1）了解集合的包含、相等关系的意义；

（2）理解子集、真子集的概念；

（3）理解补集的概念；（4）了解全集的意义．

〖教学重点与难点〗本小节的重点是子集、补集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别。

〖教学过程〗

☆本小节分为两部分：

第一部分讲子集，第二部分讲全集与补集．

第一部分先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系，并引出于集的概念，然后，对比集合的“包含”与“相等”关系，得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质．

第二部分是在子集概念的基础上讲述补集的概念，并介绍了全集的概念．

1、子集的定义：

先看集合与集合之间的“包含”关系设A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝，集合A是集合B的一部分，我们就说集合B包含集合A。

一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作AB（或BA）．这时我们也说集合A是集合B的子集．

当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB（或BA）．

规定：

空集是任何集台的子集。

也就是说，对于任何一个集合A，有φA。

2、集合与集合的相等：

一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B。

记作A＝B。

3、真子集的定义：

对于两个集合A与B，如果AB，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，

记作AB（或BA）。

★（关于子集与真子集的记法，教科书中采用的是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意；在开始接触子集与真子集的符号时，要提醒学生注意这些符号的方向不要搞错．）

4、性质：

①AA（任何一个集台是它本身的子集）；

②空集是任何非空集合的真子集；

③对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．

同样可知，如果AB，BC，那么AC．

④对于集合A，B，如果AB，同时BA，那么A＝B．

5、一些容易混淆的符号的区分：

①∈与的区别：

∈是表示元素与集合之间关系的，因此，有1∈N，—1∈N等；是表示集合与集合之间关系的，因此，有NR，φR等．

②a与｛a｝的区别：

一般地，a表示一个元素，而｛a｝表示只有一个元素的一个集合．因此，有1∈｛1,2,3｝,0∈｛0｝,｛1｝｛1,2,3｝等，不能写成0=｛0｝,｛1｝∈｛1,2,3｝．

③｛0｝与φ的区别：

｛0｝是含有一个元素的集合，φ是不含任何元素的集合，因此，有φ｛0｝，不能写成φ＝｛0｝、φ∈｛0｝．

④｛φ｝与φ的区别：

｛φ｝是含有一个元素φ的集合，φ是不含任何元素的集合，因此，有φ｛φ｝、φ｛φ｝、φ∈｛φ｝，不能写成φ＝｛φ｝．

6、补集和全集的定义：

一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即AS），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）。

记作

，即

＝{x｜x∈S，且x?

A}．

如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示．例如．在实数范围内讨论问题时，可以把实数集R看作全集。

有理数集Q的补集

Q是全体无理数的集合。

★（关于补集，新的国家标准规定。

与补集相关的概念是集合的差，教科书中没有这个概念．集合A与集合B之差或集合A减集合B记作A＼B，即A＼B＝{x｜x∈A，且x?

A}．要注意，上式等号右边与补集定义中的式子类似，但意义不同．在

中，要求B是A的子集；A＼B中，B可以不是A的子集．当B是A的子集的时候，也可以写成

＝A＼B．）

7、补集性质：

CUU=φ，CUφ=U，CU（CUA）=A。

8、例题：

例⑴写出集合｛a、b｝、｛a、b、c｝的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集．并总结出集合中的元素个数与它的子集数、真子集数之间的关系。

解：

（略）。

例⑵解不等式x-3＞2，并把结果用集合表示．

解：

x＞5，原不等式的解集是｛x｜x＞5｝．

9、练习：

①P9与P10练习。

②P10习题1.2第1题、第2题。

10、小结：

（略）。

11、作业：

①P10习题1.2第3题、第4题、第5题。

②练习册：

§1.2集合的内容。

§1．3交集、并集

〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：

（1）理解交集与并集的概念；

（2）掌握有关集合的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．

〖教学重点与难点〗本小节的重点是交集与并集的概念，难点是弄清交集与并集的概念、符号之间的区别与联系．习本小节，关键是要能达到会正确表示一些简单集合的目标．

〖教学过程〗

★本小节首先结合表示两个集合的图，引出交集与并集的概念，然后在完成一些练习的基础上，介绍了交集与并集的简单性质．

1、交集、并集的概念：

一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B（读作“A交B”），即A∩B＝

且

．

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B（读作“A并B”），即A∪B＝

或

．

“x∈A或x∈B”—→

2、交集、并集的性质：

1A∩A=A，A∩φ=φ，A∩B=B∩A；

2A∪A=A，A∪φ=A，A∪B=B∪A；

3A∩BAA∪B、A∩BAA∪B；

4ABA∩B=AA∪B=B；

5CUA∩A=φ，CUA∪A=U；

6CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）；

7A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）；A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）；

3、例题：

例1、设A＝｛x|x>-2｝，B＝｛x|x<3｝，求A∩B．

解：

A∩B＝｛x|x>-2｝∩｛x|x<3｝＝｛x|-2

★（解决有数集的运算问题，往往借助数轴进行数形结合。

）

例2、设A＝｛x|x是等腰三角形｝，B＝｛x|x是直角三角｝，求A∩B．

解：

A∩B＝｛x|x是等腰三角形｝∩｛x|x是直角三角｝＝｛x|x是等腰直角三角形｝．

例3、设A＝｛4，5，6，8｝，B＝｛3，5，7，8｝，求A∪B．

A∪B＝｛4，5，6，8｝，∪｛3，5，7，8｝=｛3，4，5，6，7，8｝。

★（集合中的元素是没有重复现象的，在两个集合的并集中，原两个集合的公共元素只能出现一次。

）

例4、设A＝｛x|x是锐角三角形｝，B＝｛x|x是钝角三角形｝，求A∪B．

解：

A∪B＝｛x|x是锐角三角形｝∪｛x|x是钝角三角｝＝｛x|x是斜三角形｝。

例5、设A＝

x|-1＜x＜2

，B＝

x|1＜x＜3

，求A∪B．

解：

A∪B＝

x|-1＜x＜2

∪

x|1＜x＜3

＝

x|-1＜x＜3

。

★（解决有数集的运算问题，往往借助数轴进行数形结合。

）

例6、设A＝

（x，y）|y=－4x+6

，B＝

（x，y）|y=5x－3

，求A∩B．

解：

A∩B=

（x，y）|y=－4x+6

∩

（（x，y）|y=5x－3

=

（（x，y）|

＝

（1，2）

。

★（本题中，（z，y）可以看作直线上的点的坐标，也可以看作二元一次方程的一个解．）

例7、已知A为奇数集，B为偶数集，Z为整数集，求A∩B，A∩Z，B∩Z，A∪B，A∪Z，B∪Z。

解：

A∩B＝｛奇数｝∩｛偶数｝＝，A∩Z＝｛奇数｝∩Z＝｛偶数｝=A，

B∩Z＝｛偶数｝∩Z=｛偶数｝＝B，A∪B＝｛奇数｝∪｛偶数｝＝z，

A∪Z=｛奇数｝∪Z=Z，B∪Z=｛偶数｝∪Z=Z。

★（学习有关集合的初步知识，其目的主要在于应用．具体地说，就是在学习其他知识时，能读懂其

中的简单的集合概念和符号；在处理简单的实际问题时，能根据需要，运用集合语言进行表述．在安排训

练时，要把握一定的分寸，不要搞偏题、怪题．）

8、练习：

①P12与P13练习。

②P13习题1.3第1题—第6题。

9、小结：

（略）。

9、作业：

①P13习题1.3第7题、第8题。

②练习册：

§1.3交集、并集的内容。

§1．4含绝对值的不等式解法

〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到掌握｜ax+b｜＜c与｜ax+b｜＞c（c＞0）型的不等式的解法．

〖教学重点与难点〗重点是｜x｜＜a与｜x｜＞a（a＞0）型的不等式的解法，关键是对绝对值意义的理解．

〖教学过程〗

☆本小节首先由实际问题引出含绝对值的不等式，然后由易到难，顺次介绍了｜x｜＜a与｜x｜＞a（a＞0）型、｜ax+b｜＜c与｜ax+b｜＞c（c＞0）型的不等式的解法．本小节开始讲了一个有关商品质量的例子，这是为了说明含绝对值的不等式是解决实际问题所需要的，教学时，还可以适当补充学生熟悉的实例．

☆在学习含绝对值的不等式的解法时，可以先复习初中数学学过的不等式的三条基本性质：

（1）如果a＞b，那么a+c＞b+c；

（2）如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；

（3）如果a＞b，c＜O，那么ac＜bc．不等式的基本性质是解不等式的基础．

1、不等式｜x｜＜a（a＞0）解集是

x｜－a＜x＜a

；

不等式｜x｜＞a（a＞0）解集是

x｜x＜－a，或x＞a

。

★（｜x｜＜a与｜x｜＞a（a＞0）型不等式的解法，教科书是从具体例子人手讲述的．先考虑含绝对值的方程｜x｜＝2的解，由此出发，根据绝对值的意义，结合数轴表示，就得到了含绝对值的不等式｜x｜＜2与｜x｜＞2的解。

对这个结论，应根据绝对值的意义，结合数轴表示进行讲解．注意，从数轴上看，｜x｜＜a（a＞0）的解集是－a与a之间的部分，｜x｜＞a（a＞0）的解集是－a左侧与a右侧两部分。

＝

2、把不等式｜x｜＜a与｜x｜＞a（a＞0）中的x替换成ax+b，就可以得到｜ax+b｜＜c与｜ax+b｜＞c（c＞0）型的不等式的解法了．

在具体求解时，可以先直接在｜x｜＜a与｜x｜＞a（a＞0）型不等式的解集中进行替换，这时，原不等式化成了一元一次不等式，然后就可以根据不等式的基本性质求解．

★（教学时，要注意对－c＜ax+b＜c（c＞0）型不等式的化简做必要的说明．初学解这类不等式时，为了方便，如果所解｜ax+b｜＜c与｜ax+b｜＞c（c＞0）型的不等式中的a是负数，可以先把a化成正数，例如要解不等式｜2－x｜＜5，可以先把它变形成｜x－2｜＜5，再求解．＝

★（教学时，要注意控制教学要求．本小节的练习、习题所解的不等式，只限于绝对值号内为一元一次的代数式，并且是数字系数，只在习题1．4的最后，编排了｜x－a｜＜b（b>0）这样的简单的带有字母常数的题目．＝

3、例题：

例1、解不等式｜x－500｜

5。

例2、解不等式｜2x+5｜>7。

例3、解不等式｜x｜+｜x－2｜

5。

★（根据绝对值的定义，采用“零点区分法”。

）

4、练习：

①P16练习。

②P16习题1.4第1题、第2题、第3题⑵⑷⑹。

5、小结：

（略）。

6、作业：

①P16习题1.4第3题⑴⑶⑸、第4题。

②练习册：

§1.4含绝对值的不等式解法的内容。

§1．5一元二次不等式的解法

〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：

（1）掌握一元二次不等式的解法；

（2）知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组s

（3）了解简单的分式不等式的解法．

〖教学重点与难点〗

重点是一元二次不等式的解法，关键是弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．

〖教学过程〗

☆本小节首先对照学生已经了解的一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，利用二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法．然后，说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此又引出了简单的分式不等式的解法．

1、引入新课：

首先利用一次函数的图象，讨论一无一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的关系，进而导出一元一次不等式的解集．这些基本内容学生都比较熟悉，但是，初中数学并没有专门讲述这种解法，安排这些内容，既可以复习、巩固初中的知识，也为接下来讨论二次的问题做了铺垫．

直线与x轴交点的横坐标，就是对应的一元一次方程的根，进一步，结合直线的位置，就可以确定对应的一元一次不等式的解集了．

2、通过一个具体实例，开始对一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间关系进行讨论的．

先给出二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象，然后，由对应值表与图象得出：

当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x2－x－6＝0；

当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x2－x－6＞0；

当－2＜x＜3时，y＜0，即x2－x－6＜0．

教科书中不但给出了函数的图象，还给出了函数的对应值表，这是因为结合函数的对应值表才能确定函数的图象与x轴交点的坐标，进而确定对应的一元二次方程x2－x－6＝0的根．

要确定一元二次不等式x2－x－6＞0与x2－x－6＜0的解集，既要考虑一元二次方程x2－x－6＝0的根，还要考虑抛物线的开口方向．在讲本例时，可以只就本例的具体情形考虑，暂不讨论抛物线的开口向下类型的问题。

3、结合图象指出，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式△＝b2－4ac的三种取值情况（△＞0、△＝0、△＜0＝来确定．因此，要分三种情况讨论，以寻求对应的一元二次不等式ax2+bx+c＞0与ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集．

在讨论了a＞0的情况以后，再提出a＜0的情况，由学生完成．

4、可以结合例题，指出解一无二次不等式的步骤：

1先把二次项系数化成正数；

2解对应的一元二次方程；

3根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集．

例1、解不等式2x2－3x－2＞0；

例2、解不等式－3x2+6x＞2；

例3、解不等式4x2－4x+1＞0；

例4、解不等式－x2+2x－3＞0。

5、关于（x－a）（x－b）＞0、（x－a）（x－b）＜0（a＜b＝型的不等式，有简便的解法，由（x－a）（x－b）=0的根是a与b，结合“不等号的方向”可直接写出解集．

教科书是为了介绍一种更一般的解法，即把二次或二次以上的不等式化成一次不等式组的方法．一方面，这种解法可以为以后解比较复杂的不等式打基础；另一方面，这种方法也涉及了集合知识的应用．

6、对分式不等式的基本要求，仅限于可以化成一元二次不等式的类型．在全章最后的复习参考题一的B组题中，有两个简单的、相当于三次不等式的小题，它们不属于基本要求，但可以用简便的方法求解．

7、练习：

①P20及P21练习。

②P21习题1.5第1题—第4题。

8、小结：

（略）。

9、作业：

①P22习题1.5第5题—第8题。

②练习册：

§1.5一元二次不等式的解法的内容。

集合的元素个数

1．本阅读材料介绍了有关集合的元素个数的初步概念及简单的性质．编排这个阅读材料是为了扩展学生的知识，提高学生的兴趣，在关于中学生数学课外活动的材料中，常常会遇到与之有关的问题．

2．阅读这撂材料，可以与本章章头的引言结合起来．顺便指出，由于章头引言的问题比较简单，不用有关集合元素个数的公式也可以处理（用文氏图），另外，复习参考题一的B组题的第1题，同样可以用有关集合元紊个数的公式．

§1．6逻辑联结词

〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：

（1）了解含有“或”、“且”、“非”的复合命题的构成；

（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。

〖教学重点与难点〗本小节的重点是判断复合命题真假的方法，难点是对“或”的含义的理解．

〖教学过程〗

☆初中数学中已经有了一些关于命题的初步知识，在此基础上，本小节首先由简单命题出发，给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的概念，然后借助真值表，给出判断复合命题真假的方法．

1、命题的定义：

判断一件事情的句子，叫做命题（初中）．

可以判断真假的语句叫做命题（高中）．

虽然说法不同，但实质是一样的。

语句是不是命题，关键在于能不能判断其真假，也就是判断其是否成立．不能判断真假的语句，就不能叫命题．例如，

⑴“这是一棵大树”；⑵“x＜2”．都不能叫命题．由于“大树”没有界定，就不能判断“这是一棵大树”的真假．由于x是未知数，也不能判断“x＜2”是否成立．

在教学时，不要在判断一个语句是不是命题上下功夫，因为这个工作过于复杂，要求学生能够从正面的例子了解命题的概念就可以了．

2、、逻辑联结词、简单命题与复合命题：

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

构成复合命题