（3）质数与合数
质数：
如果一个大于1的整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（或素数）.例如：
2、3、5、7、、、.
合数：
一个大于1的正整数，除了能被1和本身整除外，还能被其他正整数整除.这样的正整数叫做合数.例如：
4、6、9、、、.
（4）有理数与无理数
有理数，整数、有限小数和无限循环小数，统称为有理数.
无理数；无限不循环小数叫做无理数.
（5）实数；有理数和无理数统称为实数，实数集用R表示.
2、实数的基本性质：
（1）实数与数轴上的点一一对应.
（2）a，b∈R，则在ab中只有一个关系成立.
（3）a∈R,则a2≥0.
3、实数的运算.
实数的加、减、乘除四则运算符合加法和乘法运算的交换律，结合律和分配律。
下面讨论实数的乘方和开方运算
（1）乘方运算
当a∈R，a≠0时，a0=1，a-n=,负实数的奇数次幂为负数；负数的偶次数幂为正数。
（2）开方运算
在实数范围内，负实数无偶次方根；0的偶次方根是0；正实数的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的偶次方根称为算术根。
在运算有意义时，
三、绝对值
１、定义 实数a的绝对值，用︱a︱表示
几何意义：
数轴上表示数a的点Ａ到原点Ｏ的距离。
２、性质
（１）︱a︱≥０
（２）︱–a︱=︱a︱
（３）–︱a︱≤a≤︱a︱
（４）
（５）
（６）（a≠0）
（７）︱a+b︱≤︱a︱+︱b︱,当且仅当a,b同号时，等式成立．
（８）︱a-b︱≥︱a︱-︱b︱,当且仅当a,b同号时，等式成立.
（９）a∈R时，︱a︱2=a2
四、平均值
１、算术平均值：
n个数的算术平均值为
２、几何平均值：
n个正数,的几何平均值为
五、比和比例
１、比的意义：
两个数相除，又叫做这两个数的比记做、即
a叫做比的前项，b叫做比的后项，若的商为k则称k为a:
b的值。
2、比的性质
（1）a:
b=ka=kb
（2）a:
b=ma:
mb（m≠0）
3、百分比
把比值表示成分母为100的分数，这个数就称为百分比或百分率，如1:
2=50%
a:
b=r%常表述为a是b的r%,即a=br%.
4、比例的定义
如果两个比a:
b和c:
d的比值相等，就称a、b、c、d成比例，记作
a:
b=c:
d或=a和d叫做比例的外项，b和c叫做比例的内项。
当a:
b=b:
d时，称b为a和d的比例中项即b2=ad
（乙）典型例题
一、充分条件判断，举例
1、方程x2-5x+6=0
（1）x=2
（2）x=1
解:
将
（1）x=2代入方程,22-52+6=0满足方程.
条件
（1）充分.
将
（2）x=1代入方程12-51+6=20条件
（2）不充分.答案应选A
注:
若比题题干不变
所给出的条件有如下变化时:
（一）
（1）x=1,
（2）x=3答案应选B
（二）
（1）x=2
（2）x=3答案应选D
（三）
（1）x=0
（2）x=1答案应选E
2、等式x=y成立（x,y实数）
（1）x2=y2
（2）x和y同号
解:
由x2=y2x=y或x=-y条件
（1）不充分.x和y同号时,可能x-y,条件
（2）不充分.
但条件
（1）与
（2）联合起来,x2=y2且x与y同号x=y故答案选C
3、将一篇文章录入讲算机,录入员甲比录入员乙效率高
（1）录入员甲与录入员丙合作,需3小时完成;
（2）录入员乙与录入员丙合作,需4小时完成;
解:
设甲单独录入需x小时录完,乙单独录入y小时录完.
由条件
（1）丙每小时录入量为-,再由条件
（2）得+（-）==+>
即:
甲每小时完成的工作量大于乙每小时完成的工作量.
即:
甲的效率比乙高,此题应选C
二、实数
5、从1到105的自然数中，能被3整除或被5整除的数的个数是（）
（A）58个（B）57个（C）56个（D）49个（E）47个
解：
能被3整除的数可表示为3k，k=1，2、、、、35是1到105能被整除的数.能被5整除的数可表示为5k,k=1,2、、、、,21是1到105能被整除的数.
3和5的最小公倍数是15既能被3整除,又能被5整除的数一定是15的倍数,可表示为15k，k=1,2、、、、、7是从1到105中能被15整除的数,从而能被3整除或被5整除的个数为35+21－7=49个答案是D
5、（充分性判断）（2009年10月考题）
m是一个整数。
（1）若m=，其中p与q为非零整数，且m2是一个整数。
（2）若m=，其中p与q为非零整数，且是一个整数。
解：
由条件
（1），若m=，知m是有理数，又m2是一个整数，即有理数的平方是整数，则该有理数m必是一个整数，条件
（1）充分
由条件
（2），若m=，知m是有理数，又=z是一个整数,即2m+4=3 zm=故m不一定是一个整数,条件
（2）不充分,故选A.
6、（2008年10月考试）
一个大于1的自然数的算术平方根为a，则与这个自然数左右相邻的两个自然数的算术平方根分别为（）
（A）-1，+1（B），（C），，（D），（E）,
解：
设n是大于1的自然数，则,分别为，，从而，的算术平方根分别为，故选D
7、把无理数记作，它的小数部分记作则等于（）
（A）-1（B）1（C）-2（D）2（E）-3
解：
因为9<13<16所以3<<4,故的整数部分是3,即b=a-3.所以,答案选E
三、绝对值
8、已知︱︱+（）2=0,则logyx=_______
解：
由
log28=3答案：
3
9、求适合下列条件的所有x的值
（1）
（2）
（3）
解：
（1）
（2）
（3）
10、已知.
解:
已知等式可能简化表示为
由
所以取值范围是
11、（2001年考题）
已知
（A）2（B）-2（C）12（D）-12（E）6
解：
由则可知
当
从而
当
从而所以答案选C
12、（充分性判断）
方程f（x）=2有且只有一个实根
（1）
（2）
解：
由
（1）得
得，x＝3，条件
（1）充分
由
（2），
此方程有两个实根：
所以条件
（2）不充分，此题应选A
13、（充分性判断）（2003年考题）
不等式
（1）
解：
即，显然当，不等式无解，即条件
（1）充分
当时，不等式有解，即条件
（2）不充分，所以选A
三平均值
14、将一长为a的线段截成为x和a-x，使x恰是a与a-x的几何平均值，我们称对任意一个量a的这种分割为黄金分割，试求x
解：
由已知，得
两边平方整理得
舍去负值，即
15、（问题求解）
车间共有40人，某次技术操作考核的平均值成绩为80分，某中男工平均成绩为83分，女工平均成绩为78分，该车间有女工（）
（A）16人（B）18人（C）20人（D）22人（E）24人
解：
设该车间有女工x人，则有男工（40-x）人
由已知女工的平均成绩为78分，女工所得总分为
故
故此题应选E
16、（2006年考题）
如果三个数的算术平均值为5，则与8的算术平均值为（）
（A）（B）（C）7（D）（E）
解：
由已知
即
因此
所以选C
17、（充分性判断）
a与b的算术平均值为8
（1）a,b为不等的自然数，且，的算术平均值为
（2）a,b为自然数，且，的算术平均值为
解：
由条件
（1）知
又因a,b是自然数，故a,b中至少有一个是3的倍数
不妨设a为3的倍数，即a=3k（k为自然数）
则
由于k与k-1互质，所以k-1必为3的约数.
又因a>3所以k-1>0因此k-1=1或k-1=3
即k=2或k=4
当k=2时a=6,b=6,此时a,b的算术平均值为6不是8
当k=4时a=12,b=4
此时
所以条件
（1）充分，条件
（2）不充分，故选A
18、试判断x与三个数的算术平均值与x的大小关系
解：
因为有意义，所以
于是算术平均值
所以（当且仅当时等号成立）
四比和比例
19、设求使成立的z值
解：
由已知条件，设
所以代入
所以
20、一公司向银行借款31万元，欲按的份额分配给下属甲、乙、丙三个车间进行技术改造，求甲车间应得的款数.
解：
设甲、乙、丙三个车间应得的款数依次为万元，万元，万元，于是有++=31
故甲车间应得=15（万元）
21、（问题求解）（2009年考题）
某国参加北京奥运会的男女运动员比例原为19:
12，由于先增加若干女运动员，于是男女运动员比例变为20:
13，后又增加了若干男运动员，于是男女运动员的比例最终变为30:
19,如果后增加的男运动员比先增加的女运动员才多3人，则最后运动员的总人数为（）
（A）686（B）637（C）700（D）661（E）600
解：
设原男女运动人数分别a与b，后增加女运动员x人，增加男运动员为y人
则有
从而最后运动员总人数为380+240+7+10=637（人）
所以选B
22、（问题求解）（2005年考题）
甲，乙两个储煤仓库的库存煤量之比为10:
7，要使这两个仓库的库存煤量相等，甲仓库需向仓库搬入的煤矿量占甲仓库库存煤量的（）
（A）10%（B）15%（C）20%（D）25%（E）30%
解：
设甲仓库存煤矿量为a吨，则乙仓库存煤量为吨，现从甲仓库运走x吨，依题意
所以=15%故选B
23、（充分性判断）（2003年考题）
某公司得到一笔贷款共68万元，用于下属三个工厂的设备改造，结果甲、乙、丙三个工厂按比例分别得到36万元，24万元和8万元
（1）甲、乙、丙三个工厂按的比例分配贷款.
（2）甲、乙、丙三个工厂按9:
6:
2的比例分配贷款.
解：
设甲、乙、丙三个工厂分别得到贷款为x、y、z（万元）
由条件
（1）知
于是，，条件
（1）充分
由条件
（2）设一份贷款为a（万元），
则
于是条件
（2）也充分，所以选D
24、（充分性判断）
一轮船沿河航行于相距48公里的两码头间，则往返一共需10小时（不计到达码头后停船的时间）
（1）轮船在静水中的速度是每小时10公里
（2）水流的速成度是每小时2公里
解：
条件
（1）和条件
（2）单独都不充分
联合条件
（1）和条件
（2），则轮船顺水流行驶需，而往返共需4+6=10（小时），所以选C
25（问题求解）（2007年考题）
完成某项任务，甲单独做需要4天，乙单独做需要6天，丙单独做需要8天，现甲、乙、丙三人依次一日一轮地工作，则完成该项任务共需的天数为（）
（A）（B）（C）6（D）（E）4
解：
甲、乙、丙三人的工作效率分别为
即故甲做2天，乙做2天，丙做1天，还剩，剩下的由丙完成，需要，一共所以选B
练习1
一、问题求解
1、已知（）
（A）4（B）3（C）（D）（E）
2、使得的值不存在的x是（）
（A）0或1（B）6或1（C）6或0
（D）1（E）2
3、若，则x的取值范围是（）
（A）（B）（C）D）（E）
4、已知是三个正数，且若的算求平均值为，几何平均值4且之积恰为则的值依次为（）
（A）6，5，3（B）12，6，2（C）4，2，8
（D）8，2，4（E）8，4，2
5、某商品单价上调15%后，再降为原价，则降价率为（）
（A）15%（B）14%（C）13%（D）12%（E）11%
6、今年王先生的年龄是他父亲年龄的一半，他父亲的年龄又是王先生儿子的15倍，两年后他们三人的年龄之和恰好是100岁，那么王先生今年的岁数（）
（A）45（B）40（C）38（D）32（E）30
7、原价a元可购5件衬衫，现价a元可购8件衬衫，则该衬衫降价的百分比是（）
（A）25%（B）30%（C）37.5%（D）38.5%（E）40%
8、公司有职工50人，法律知识考试平均成绩为81分，按成绩将公职工分为优秀与非优秀两类，优秀职工的平均成绩为90分，非优秀职工的平均成绩是75分，则优秀职工的人数为（）
（A）30（B）25（C）22（D）20（E）18
9、若，则x的取值范围是（）
（A）（B）（C）（D）（E）
10、不等式（）
（A）（B）（C）（D）（E）
11、若，则等于（）
（A）（B）（C）（D）（E）
12、甲与乙的比是3:
2，丙与乙的比是2:
3,则甲与丙的比是（）
（A）1:
1（B）2:
3（C）3:
2（D）9:
4（E）8:
5
13、车间共有60人，某次技术考核的平均成绩为80分，其中男工平均成绩为82分，女工平均成绩为77分，该车间有女工人数为（）
（A）36（B）34（C）30（D）24（E）22
14、某校今年的毕业生中，本科生和硕士生人数之比为5:
2椐5月份统计，本科生有70%，硕士生有90%已经落实了工作单位，此时，尚未落实工作单位的本科生和硕士生人数比是（）
（A）35:
18（B）15:
2（C）10:
3（D）8:
3（E）7:
4
15、一个分数的分子减少25%，而分母增加25%，则新分数比原来分数减少的百分率是（）
（A）40%（B）45%（C）50%（D）55%（E）60%
16、已知A股票上涨的0.16元相当于该股票原价的16%，B股票上涨的1.68元也相当于其原价的16%，则这两种股原价相差（）
（A）8元（B）9元（C）9.5元（D）10元（E）10.5元
17、一商店把某商品按标价的9折出售，仍可获利20%，该商品进价为每件21元，则该商品的每件的标价的16%，则这两种股票原价相差（）
（A）24元（B）26元（C）28元（D）30元（E）32元
18、某工厂生产某种定型产品，一月份每件产品销售的利润是出厂价的25%（假设利润等于出厂价减去成本），若二月份每件产品的出厂价降低10%，成本不变，销售件数比一月份增加80%，那么，二月份的销售总利润比一月份销售总利润增（）
（A）6%（B）8%（C）15.5%（D）21.5（E）25.5
19、已知（）
（A）（B）2（C）（D）（E）
20、某商品在第一次降价10%的基础上，第二次又降价5%，若第二次降价后恢复到原来的价格，则价格上涨的百分率为（）
（A）13%（B）14%（C）15%（D）16%（E）17%
21、n为任意正整数，则必有约数（因数）（）
（A）4（B）5（C）6（D）7（E）8
22、每一个合数都可以写成k个质数的乘积，在小于130的合数中，k的最大值为（）
（A）4（B）5（C）6（D）7（E）8
23、（2008年10月考题）
以下命题中正确的一个是（）
（A）两个数的和为正数，则这两个数都是正数。
（B）两个数的差为负数，则这两个数都是负数。
（C）两个数中较大的一个其绝对值也较大
（D）加上一个负数，等于减去这个数的绝对值。
（E）一个数的2倍大于这个数本身
24、已知3个质数的倒数和为，则这三个质数的和为（）
（A）112（B）113（C）114（D）115（E）116
25、有一个正的既约分数，如果其分子加上24，分母加上54后，其分数值不变，那么此既约分数的分子与分母的乘积等于（）
（A）24（B）30（C）32（D）36（E）38
26、（2005年考题）
一支部队排成长度为800米的队列行军，速度为80米/分钟，在队首的通讯员以3倍于行军的速度跑步到队尾，花1分钟传达首长命令后，立即从同样的速度跑回队首，在这往返过程中通讯员所花费的时间为（）
（A）6．5分钟（B）7.5分钟（C）8分钟（D）8.5分钟（E）10分钟
27、（2006年考题）
一辆大巴车从甲城以匀速行驶，可按预定时间到达乙城，但距乙城还有150公里处，因故停留了半小时，因此需要平均每小时增加10公里才能按预定时间到达乙城，则大巴车原来的速成度为（）
（A）45（B）50（C）55（D）60（E）65
28、（2008年考题）
王女士以一笔资金分别投入股市和基金，但因故需抽回一部分资金，若从股市中抽回10%，从股市各基金的投资额中各抽回15%各10%，则其中总投资额减少130万元，其总投资额为（）
（A）1000万元B）1500万元（C）2000万元
（D）2500万元（E）3000万元
29（2008年考题）
将价值200元的甲原料与价值480元的乙原料配成一种新原料，若新原料每千克的售价分别比甲，乙原料每千克的售价少3元和多1元，则新原料的售价是（）
（A）15元（B）16元（C）17元（D）18元（E）19元
30、（2009年考题）
一家商店为回收资金，把甲，乙两件商品均以480元一件卖出，已知甲商品赚了20%，乙商品亏了20%，则商店盈亏结果为（）
（A）不亏不赚（B）亏了50元（C）赚了50元
（D）赚了40元（E）亏了40元
二．条件充分性判断
31、（2007年考题）
（1）若x和y都是正整数，且;
（2）若x和y都是正整数，且；
32、（2007年考题）
（1）a为实数，；
（2）a为实数，
33、使
（1）
（2）
34使
（1）ab>0
（2）ab<0
35、（2008年考题）
（1）实数a,b,c满足a+b+c=0
（2）实数a,b,c满足a36、（2008年10月考题）
（1）
（2）
37、（2008年10月考题）
是一个整数
（1）n是一个整数，且也是一个整数
（2）n是一个整数，且也是一个整数
38计算某商销售额增加的百分比
（1）某商品销售量增加了500件
（2）某商品打八折，使销售量增加60%
39、确定x和y的值
（1）；
（2）
40、某班男生人数比女生人数少
（1）男生中共青团员的人数是全班人数的20%
（2）女生中共青团员的人数是全班人数的52%
41、商品换季大甩卖，某种上衣价格下降60%
（1）原来买2件的钱，现在可以买5件；
（2）原来的价格是现在价格的2.5倍；
42、两个正数x与y的算术平均值等于几何平均值。
（1）x=5,y=5
（2）x=3,y=3
43、质检员在A，B两种相同数量的产品中进行抽样检查后，可以计算出A产品的合格率比B产品的合格率高出5%，则抽样的产品数可求出
（1）抽出的样品中，A产品中合格品有48个；
（2）抽出的样品中，B产品中合格品有45个；
第二章整式和分式
（甲）内容要点；
一、代数式有关概念及其分类
1、代数式：
由运算符号（加，减，乘除，乘方，开方），把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式，单独的一个数或者一个字母也是代数式。
2、代数式的值：
用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值。
3、代数式系统表
一、整式及其运算
1、整式：
整式包括单项式和多项式；由数和字母相乘形成的代数式叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式。
2、整式的运算；整式能进行加，减，乘的运算，整式加，减，乘的结果仍是整式，整式可以进行带余除法的运算，整式的运算符合交换律，结合律，分配律。
（1）加减法：
就是合并同类项。
（2）乘法：
幂的运算性质是乘法，除法的基础，
幂的运算法则
；；
；；
乘法公式
（3）除法：
多项式F（x）除以多项式f（x）商式为g（x）,余式为r（x）
则有,当
此时则称整式F能被整式整除。
整式F（x）除以x-a的余式为r（x）,则
故成立
三、多项式的因式分解
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，常用的方法有
1、提取公因式法，例如：
等
2、公式法，（乘法公式从右到
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