线性代数考研题.doc
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一、填空题:
(1)设均为3维列向量,记矩阵,
,
如果,那么2.
【解】由题设,有
=,
于是有
(2)设行向量组,,,线性相关,且,则a=.
【解】由题设,有
得,但题设,故
二、选择题:
(1)设矩阵A=满足,其中是A的伴随矩阵,为A的转置矩阵.若为三个相等的正数,则为
(A).(B)3.(C).(D).
【解】由及,有,其中为的代数余子式,且或
而,于是,且
(2)设是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为,则,线性无关的充分必要条件是
(A).(B).(C).(D).
【解】实际上是考虑,当线性无关时,向量组,何时线性无关的问题。
由结论知,当行列式时,向量组线性无关。
(3)设A为n()阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B,分别为A,B的伴随矩阵,则
(A)交换的第1列与第2列得.(B)交换的第1行与第2行得.
(C)交换的第1列与第2列得.(D)交换的第1行与第2行得.
【解】由题设,存在初等矩阵(交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得),使得,于是,即,可见应选(C).
注意:
结论.
(4)设A,B,C均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,若B=E+AB,C=A+CA,则B-C为
(A)E.(B)-E.(C)A.(D)-A
【解】由B=E+AB,C=A+CA,知(E-A)B=E,C(E-A)=A,
可见,E-A与B互为逆矩阵,于是有B(E-A)=E.
从而有(B-C)(E-A)=E-A,而E-A可逆,故B-C=E.应选(A).
三、计算题
(1)(本题满分9分)
已知二次型的秩为2.
(I)求a的值;
(II)求正交变换,把化成标准形;
(III)求方程=0的解.
【解】(I)二次型对应矩阵为
,
由二次型的秩为2,知,得a=0.
(II)这里,可求出其特征值为.
解,得特征向量为:
,
解,得特征向量为:
由于已经正交,直接将,单位化,得:
令,即为所求的正交变换矩阵,由x=Qy,可化原二次型为标准形:
=
(III)由=0,得(k为任意常数).
从而所求解为:
x=Qy=,其中c为任意常数.
(2)(本题满分9分)
已知3阶矩阵A的第一行是不全为零,矩阵(k为常数),且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.
【解】由AB=O知,B的每一列均为Ax=0的解,且
(1)若k,则r(B)=2,于是r(A),显然r(A),故r(A)=1.可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2,矩阵B的第一、第三列线性无关,可作为其基础解系,故Ax=0的通解为:
为任意常数.
(2)若k=9,则r(B)=1,从而
1)若r(A)=2,则Ax=0的通解为:
为任意常数.
2)若r(A)=1,则Ax=0的同解方程组为:
不妨设,则其通解为为任意常数.
(3)(本题满分13分)
已知齐次线性方程组
(i)
和
(ii)
同解,求a,b,c的值.
【解】法一、方程组(ii)的未知量个数大于方程个数,故方程组方程组(ii)有无穷多解.因为方程组(i)与(ii)同解,所以方程组(i)的系数矩阵的秩小于3.
对方程组(i)的系数矩阵施以初等行变换
,
从而a=2.此时,方程组(i)的系数矩阵可化为
,
故是方程组(i)的一个基础解系.
将代入方程组(ii)可得
或
当时,对方程组(ii)的系数矩阵施以初等行变换,有
,
显然此时方程组(i)与(ii)同解.
当时,对方程组(ii)的系数矩阵施以初等行变换,有
,
显然此时方程组(i)与(ii)的解不相同.
综上所述,当a=2,b=1,c=2时,方程组(i)与(ii)同解.
法二、求a也可利用行列式,得a=2.
本题也可这样考虑:
方程组必存在无穷多解,化系数矩阵为阶梯形,可确定a=2,b=0,c=1或a=2,b=1,c=2,再对两组数据进行讨论即可.
(4)(本题满分13分)
设为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为矩阵.
(I)计算,其中;
(II)利用(I)的结果判断矩阵是否为正定矩阵,并证明你的结论.
【解】(I)因,有
=
=
=.
(II)矩阵是正定矩阵.
由(I)的结果可知,矩阵D合同于矩阵
又D为正定矩阵,可知矩阵M为正定矩阵.
因矩阵M为对称矩阵,故为对称矩阵.对及任意的,有
故为正定矩阵.
【评注】判定正定矩阵的典型方法有:
(1)用顺序主子式全大于0;
(2)用特征值全大于零;(3)用定义.对于抽象矩阵,一般用后两个方法.
(5)(本题满分13分)
设A为三阶矩阵,是线性无关的三维列向量,且满足
,,.
(I)求矩阵B,使得;
(II)求矩阵A的特征值;
(III)求可逆矩阵P,使得为对角矩阵.
【解】(I),
可知
(II)因为是线性无关的三维列向量,可知矩阵可逆,所以
,即矩阵A与B相似,由此可得矩阵A与B有相同的特征值.
由
,
得矩阵B的特征值,也即矩阵A的特征值
(III)对应于,解齐次线性方程组(E-B)X=0,得基础解系
,;
对应于,解齐次线性方程组(4E-B)X=0,得基础解系
令矩阵
,
则
因,记矩阵
=,
故P即为所求的可逆矩阵.