线性代数考研题.doc

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一、填空题：

（1）设均为3维列向量，记矩阵，

，

如果，那么2.

【解】由题设，有

=，

于是有

（2）设行向量组，，，线性相关，且，则a=.

【解】由题设，有

得，但题设，故

二、选择题：

（1）设矩阵A=满足，其中是A的伴随矩阵，为A的转置矩阵.若为三个相等的正数，则为

（A）.（B）3.（C）.（D）.

【解】由及，有，其中为的代数余子式，且或

而，于是，且

（2）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是

（A）.（B）.（C）.（D）.

【解】实际上是考虑，当线性无关时，向量组，何时线性无关的问题。

由结论知，当行列式时，向量组线性无关。

（3）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,分别为A,B的伴随矩阵，则

（A）交换的第1列与第2列得.（B）交换的第1行与第2行得.

（C）交换的第1列与第2列得.（D）交换的第1行与第2行得.

【解】由题设，存在初等矩阵（交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得，于是，即,可见应选（C）.

注意：

结论.

（4）设A,B,C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB,C=A+CA，则B-C为

（A）E.（B）-E.（C）A.（D）-A

【解】由B=E+AB,C=A+CA，知（E-A）B=E,C（E-A）=A,

可见，E-A与B互为逆矩阵，于是有B（E-A）=E.

从而有（B-C）（E-A）=E-A,而E-A可逆，故B-C=E.应选（A）.

三、计算题

（1）（本题满分9分）

已知二次型的秩为2.

（I）求a的值；

（II）求正交变换，把化成标准形；

（III）求方程=0的解.

【解】（I）二次型对应矩阵为

，

由二次型的秩为2，知，得a=0.

（II）这里，可求出其特征值为.

解，得特征向量为：

，

解，得特征向量为：

由于已经正交，直接将，单位化，得：

令，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy，可化原二次型为标准形：

=

（III）由=0，得（k为任意常数）.

从而所求解为：

x=Qy=，其中c为任意常数.

（2）（本题满分9分）

已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.

【解】由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且

（1）若k,则r（B）=2,于是r（A）,显然r（A）,故r（A）=1.可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r（A）=2,矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0的通解为：

为任意常数.

（2）若k=9，则r（B）=1,从而

1）若r（A）=2,则Ax=0的通解为：

为任意常数.

2）若r（A）=1,则Ax=0的同解方程组为：

不妨设,则其通解为为任意常数.

（3）（本题满分13分）

已知齐次线性方程组

（i）

和

（ii）

同解，求a,b,c的值.

【解】法一、方程组（ii）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii）有无穷多解.因为方程组（i）与（ii）同解，所以方程组（i）的系数矩阵的秩小于3.

对方程组（i）的系数矩阵施以初等行变换

，

从而a=2.此时，方程组（i）的系数矩阵可化为

，

故是方程组（i）的一个基础解系.

将代入方程组（ii）可得

或

当时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有

，

显然此时方程组（i）与（ii）同解.

当时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有

，

显然此时方程组（i）与（ii）的解不相同.

综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组（i）与（ii）同解.

法二、求a也可利用行列式，得a=2.

本题也可这样考虑：

方程组必存在无穷多解，化系数矩阵为阶梯形，可确定a=2,b=0,c=1或a=2,b=1,c=2，再对两组数据进行讨论即可.

（4）（本题满分13分）

设为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为矩阵.

（I）计算，其中；

（II）利用（I）的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论.

【解】（I）因，有

=

=

=.

（II）矩阵是正定矩阵.

由（I）的结果可知，矩阵D合同于矩阵

又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵.

因矩阵M为对称矩阵，故为对称矩阵.对及任意的，有

故为正定矩阵.

【评注】判定正定矩阵的典型方法有：

（1）用顺序主子式全大于0；

（2）用特征值全大于零；（3）用定义.对于抽象矩阵，一般用后两个方法.

（5）（本题满分13分）

设A为三阶矩阵，是线性无关的三维列向量，且满足

，，.

（I）求矩阵B,使得；

（II）求矩阵A的特征值；

（III）求可逆矩阵P,使得为对角矩阵.

【解】（I）,

可知

（II）因为是线性无关的三维列向量，可知矩阵可逆，所以

，即矩阵A与B相似，由此可得矩阵A与B有相同的特征值.

由

，

得矩阵B的特征值，也即矩阵A的特征值

（III）对应于，解齐次线性方程组（E-B）X=0，得基础解系

，；

对应于，解齐次线性方程组（4E-B）X=0，得基础解系

令矩阵

，

则

因，记矩阵

=，

故P即为所求的可逆矩阵.