漆安慎力学第二版课后习题解答.doc
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第2章质点运动学习题解答76第2章质点运动学习题解答
第二章基本知识小结
⒈基本概念
（向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件：
）
⒉直角坐标系与x,y,z轴夹角的余弦分别为.
与x,y,z轴夹角的余弦分别为.
与x,y,z轴夹角的余弦分别为
⒊自然坐标系
⒋极坐标系
⒌相对运动对于两个相对平动的参考系
（时空变换）
（速度变换）
（加速度变换）
若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有：
yy'
V
oxo'x'
zz'
2.1.1质点运动学方程为：
求质点轨迹并用图表示.
解：
⑴轨迹方程为的直线.
x
y
5
x
y
5/3
5/4
⑵，消去参数t得轨迹方程
2.1.2质点运动学方程为.⑴求质点轨迹；⑵求自t=-1到t=1质点的位移。
解：
⑴由运动学方程可知：
，所以，质点是在z=2平面内的第一像限的一条双曲线上运动。
⑵
。
所以，位移大小：
2.1.3质点运动学方程为.⑴求质点轨迹；⑵求质点自t=0至t=1的位移.
解：
⑴，消去参数t得：
⑵
R
θ
2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为
0.75s后测得，R1,R2均在铅直面内，求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（α角）
θ1
R1
R2
ΔR
θ1
θ2
α
解：
，在图示的矢量三角形中，应用余弦定理，可求得：
据正弦定理：
y
x
0
x1
x2
2.2.2一圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为y=x2/200（长度：
毫米）。
第一次观察到圆柱体在x=249mm处，经过时间2ms后，圆柱体移到x=234mm处。
求圆柱体瞬时速度的近似值。
解：
由于Δt很小，所以，，
其中，
。
其大小
；与x轴夹角
2.2.3一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者17m；另一人在广州听同一演奏的转播，广州离北京2320km，收听者离收音机2m，问谁先听到声音？
声速为340m/s，电磁波传播的速率为3.0×108m/s.
17m
340m/s
2320km,3×108m/s
340m/s
2m
解：
声音传播情况如图所示，
北京人听到演奏声音所需时间：
广州人听到演奏声音所需时间：
α
v2
30°
v1=90km/h
v2=70km/h
Δv
西
北
2.2.5火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90km/h速率行驶，3min后以70km/h速率向北偏西30°方向行驶，求列车的平均加速度。
解：
对矢量三角形应用余弦定理：
，由正弦定理：
2.2.6⑴，R为正常数，求t=0,π/2时的速度和加速度。
⑵，求t=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式）。
解：
⑴
⑵；
10
20
30
10
20
30°
45°
120°
-10
-20
0
x（m）
t（s）
a
b
c
2.3.1图中a、b和c表示质点沿直线运动三种不同情况下的x-t图像，试说明每种运动的特点（即速度，计时起点时质点的位置坐标，质点位于坐标原点的时刻）
解：
质点直线运动的速度
，在x-t图像中为曲线斜率。
由于三种图像都是直线，因此三种运动都是匀速直线运动，设直线与x轴正向夹角为α，则速度
对于a种运动：
对于b种运动：
对于c种运动：
2.3.2质点直线运动的运动学方程为x=acost,a为正常数，求质点速度和加速度，并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）
解：
显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围：
2.3.3跳伞运动员的速度为，v铅直向下，β,q为正常量，求其加速度，讨论时间足够长时（即t→∞）速度、加速度的变化趋势。
解：
因为v>0，a>0，所以，跳伞员做加速直线运动，但当t→∞时，v→β，a→0，说明经过较长时间后，跳伞员将做匀速直线运动。
v（km/h）
v=v0cosπx/5
x（km）
1.5
v0
2.3.4直线运行的高速列车在电子计算机控制下减速进站。
列车原运行速率为v0=180km/h，其速率变化规律如图所示。
求列车行至x=1.5km时的加速度。
解：
，将v0=180km/h,x=1.5km代入
A
B
aA
0.5g
0
x
2.3.5在水平桌面上放置A、B两物体，用一根不可伸长的绳索按图示的装置把它们连接起来，C点与桌面固定，已知物体A的加速度aA=0.5g，求物体B的加速度。
解：
设整个绳长为L，取图示坐标o-x，则3xA+（-4xB）=L
对时间求两次导数，3aA=4aB，所以aB=3aA/4=3×0.5g/4=3g/8
2.3.6质点沿直线的运动学方程为x=10t+3t2.⑴将坐标原点沿o-x正方向移动2m，运动学方程如何？
初速度有无变化？
⑵将计时起点前移1s，运动学方程如何？
初始坐标和初速度发生怎样的变化？
加速度变不变？
解：
x=10t+3t2，v=dx/dt=10+6t，a=dv/dt=6，t=0时，x=0,v=10
⑴将坐标原点向x轴正向移动2m，即令x'=x-2，x=x'+2，则运动学方程为：
x'=10t+3t2-2，∵v'=dx'/dt=10+6t，∴v'=v
⑵将计时起点前移1s，即令t'=t+1，t=t'-1，则运动学方程变为：
x=10（t'-1）+3（t'-1）2=10t'–10+3t'2-6t'+3=4t'+3t'2–7
v'=dx/dt'=4+6t'，t'=0时，x=-7，v'=4，加速度a不变。
2.4.1质点从坐标原点出发时开始计时，沿x轴运动，其加速度ax=2t（cms-2），求在下列两种情况下质点的运动学方程，出发后6s时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。
⑴初速度v0=0；⑵初速度v0的大小为9cm/s，方向与加速度方向相反。
解：
⑴
⑵
令vx=0，由速度表达式可求出对应时刻t=3，由于3秒前质点沿x轴反向运动，3秒后质点沿x轴正向运动，所以路程：
2.4.2质点直线运动瞬时速度的变化规律为：
vx=-3sint，求t1=3至t2=5时间内的位移。
解：
2.4.3一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为
ax=-Aω2cosωt.在t=0时，vx=0,x=A，其中A,ω均为正常数。
求此质点的运动学方程。
解：
，
2.4.4飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动，刚着陆时，t=0时速度为v0，且坐标x=0，假设其加速度为ax=-bvx2，b=常量，求飞机速度和坐标随时间的变化规律。
解：
2.4.5在195m长的坡道上，一人骑自行车以18km/h的速度和-20cm/s2的加速度上坡，另一自行车同时以5.4km/h的初速度和0.2m/s2的加速度下坡，问：
⑴经多长时间两人相遇？
⑵两人相遇时各走过多长的路程？
解：
以上坡者出发点为原点沿其前进方向建立坐标o-x，用脚标1表示上坡者，用脚标2表示下坡者。
两人的加速度实际上是相同的：
x
0
195
a1
a2
v10
v20
根据匀变速直线运动公式：
⑴令x1=x2，可求得相遇时间：
5t=195-1.5t,t=195/6.5=30s
⑵对于上坡者，在相遇期间做的不一定是单方向直线运动，据上坡者的速度表达式：
v1=5-0.2t，令v1=0，求得对应时刻t=25s，所以，上坡者在25s前是在上坡，但25s后却再下坡。
因此，上坡者在30s内走过的路程：
对于下坡者，因为做单方向直线运动，所以30s内走过的路程：
2
1
0
x
2.4.6站台上送行的人，在火车开动时站在第一节车厢的最前面，火车开动后经过Δt=24s，火车第一节车厢的末尾从此人的前面通过，问第七节车厢驶过他面前需要多长时间?
火车做匀加速运动。
解：
设每节车厢长为L，以地为参考系，以人所在点为原点建立图示坐标o-x，以第一节车厢的前端点为研究对象，t=0时，前端点的坐标x=0，速度v=0，据匀加速运动公式：
，令x=L，求得：
，∴
令x=6L，可求得第6节车厢尾端通过人时所需时间t6：
令x=7L，可求得第7节车厢尾端通过人时所需时间t7：
因此，第7节车厢通过人所需时间：
y
h
0
2.4.7在同一铅直线上相隔h的两点以同样速率v0上抛二石子，但在高处的石子早t0秒被抛出，求此二石子何时何处相遇？
解：
以地为参考系，建立图示坐标o-y。
据题意，设t=0时，上面石子坐标y1=h,速度v1=v0；t=t0时，下面石子坐标y2=0，v2=v0
解法1：
根据匀变速直线运动的规律，可知
解法2：
可根据速度、加速度的导数定义和初始条件，通过积分得到⑴、⑵，然后求解。
2.4.8电梯以1.0m/s的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板0.50m高，问当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离？
解：
以电梯为参考系，小孩相对电梯做竖直上抛运动，他从起跳到再次落到地板所需时间，是他从最高处自由下落到地板所需时间的2倍。
由自由落体运动公式：
，可求得从最高出落到地板所需时间：
，所以小孩做竖直上抛所需时间为0.64s，在此时间内电梯对地下落距离：
L=1.0×0.64=0.64m
2.5.1质点在o-xy平面内运动,其加速度为，位置和速度的初始条件为：
t=0时，，求质点的运动学方程并画出轨迹。
解：
x
y
2.5.2在同一竖直面内的同一水平线上A、B两点分别以30º、60º为发射角同时抛出两球，欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点，求A、B两点间的距离。
已知小球在A点的发射速度vA=9.8米/秒。
YvAO
vBO
30º60º
ASBx
解：
以A点为原点建立图示坐标系，取发射时刻为计时起点，两点间距离为S，初始条件如图所示。
据斜抛规律有：
满足题中条件，在最高点相遇，必有vAy=vBy=0,xA=xB
x
y
A
60°
30°
v0
2.5.3迫击炮的发射角为60°发射速率150m/s，炮弹击中倾角为30°的山坡上的目标，发射点正在山脚，求弹着点到发射点的距离OA.
解：
以发射点为原点，建立图示坐标o-x，斜抛物体的轨迹方程为（见教材）：
本题，α=60°，v0=150m/s，A点坐标xA,yA应满足轨迹方程，所以：
①
另外，根据图中几何关系，可知：
，代入①中，有：
2.5.4轰炸机沿与铅直方向成53°俯冲时，在763m的高度投放炸弹，炸弹在离开飞机5.0s时击中目标，不计空气阻力：
⑴轰炸机的速率是多少？
⑵炸弹在飞行中通过的水平距离是多少？
⑶炸弹击中目标前一瞬间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少？
x
y
0
v0
53°
解：
以投放点为原点，建立图示坐标o-xy,设炸弹初速度（即轰炸机速度）为v0.由于炸弹在飞行过程中的加速度，所以炸弹在x方向做匀速直线运动，在y方向做竖直下抛运动，有
⑴令t=5.0s，y=763m，由④可求得轰炸机的速率：
⑵将v0代入①中，可求得炸弹击中目标时速度的水平分量：
令t=5，由②可求得炸弹击中目标时速度的竖直分量：
2.5.5雷达监测员正在监视一越来越近的抛射体，在某一时刻，他给出这样的信息：
⑴抛射体达到最大高度且正以速率v沿水平方向运动；⑵观测员到抛射体的直线距离是l；⑶观测员观测抛体的视线与水平方向成θ角。
问：
⑴抛射体命中点到观测者的距离D等于多少？
⑵何种情况下抛体飞越观察员的头顶以后才命中目标？
何种情况下抛体在未达到观察员以前就命中目标？
x
y
o
θ
v
l
命中点
观测者
x1
x2
解：
以抛体所达最大高度处为计时起点和坐标原点，建立图示坐标o-xy，抛体以速度v做平抛运动.
设命中时间为t1，由自由落体公式：
命中点x坐标为：
，由图中几何关系，观测者的x坐标：
。
所以，观测者与命中点间的距离：
当x1当x1>x2，即时，则抛体在飞越观察员后才命中目标。
2.6.1列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围内，其运动学方程为S=80t-t2（m,s），t=0时，列车在图中O点，此圆弧形轨道的半径r=1500m，求列车驶过O点以后前进至1200m处的速率及加速度。
东
北
O
S
τ
aτ
an
a
α
v
解：
S=80t-t2①v=dS/dt=80-2t②
令S=1200，由①可求得对应时间：
将t=60代入②中，v=-40，不合题意，舍去；将t=20代入②中，v=40m/s，此即列车前进到1200m处的速率。
2.6.2火车以200米/小时的速度驶入圆形轨道，其半径为300米。
司机一进入圆弧形轨道立即减速，减速度为2g。
求火车在何处的加速度最大？
最大加速度是多少？
解：
沿火车运动的圆形轨道建立弧坐标o-s，t=0时，s=0,v=v0=200km/h=55.56m/s。
据题意aτ=-2g，v=v0+aτt=v0-2gt，an=v2/R=（v0–2gt）2/R。
∴a=（aτ2+an2）1/2=[4g2+（v0–2gt）4/R2]1/2，显然，t=0时，a最大，
2.6.3斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道上运动，当斗车达到图中所示位置时，轨道曲率半径为150m，斗车速率为50km/h，切向加速度aτ=0.4g，求斗车的加速度。
n
τ
a
30°
解：
加速度与切向单位矢量夹角：
B120mCB
v
uLv
ω1uαω2
A A
第一次渡河矢量图第二次渡河矢量图
2.8.1飞机在某高度的水平面上飞行，机身的方向是自东北向西南，与正西夹15º角，风以100km/h的速率自西南向东北方向吹来，与正南夹45º角，结果飞机向正西方向运动，求飞机相对于风的速度及相对于地面的速度。
北
东
45°
15°
v风地
v机地
v机风
解：
，由矢量图可知，，其中，v风地=100km/h=27.78m/s，∴可求得：
2.8.3一卡车在平直路面上以恒速度30米/秒行驶，在此车上射出一个抛体，要求在车前进60米时，抛体仍落回到车上原抛出点，问抛体射出时相对于卡车的初速度的大小和方向，空气阻力不计。
解：
以卡车为参考系，设抛体初速为v0，由于要落回原抛出点，故方向只能竖直向上，即抛体相对车只能作竖直上抛运动。
取向上方向为正，抛体相对车任意时刻速度v=v0-gt⑴
由题意，抛体落回原地所需时间t=60/30=2（s），落到车上时的速度v=-v0，把数值代入⑴中，可求得v0=9.8m/s.
2.8.4河的两岸互相平行，一船由A点朝与岸垂直的方向匀速驶去，经10min到达对岸C点。
若船从A点出发仍按第一次渡河速率不变但垂直地到达彼岸的B点，需要12.5min。
已知BC=120m.求：
⑴河宽L；⑵第二次渡河时船的速度；⑶水流速度v.
解：
以船为运动质点，水为动系，岸为静系，由相对运动公式
由第一次渡河矢量图可知：
v=BC/t1=120/600=0.2m/s,⑴
u=L/t1⑵,L=ut1⑶.由第二次渡河矢量图可知：
ω2=L/t2⑷，cosα=ω2/u⑸,v=usinα⑹.把⑵、⑷代入⑸，求得cosα=t1/t2=600/750=4/5,sinα=（1-cos2α）1/2=3/5⑺
把⑴、⑺代入⑹，求得u=0.2×5/3=1/3（m/s）.再把u的数值代入⑶，求得L=600/3=200（m）.
答：
河宽200米，水流速度0.2米/秒；第二次渡河时，船对水的速度是1/3米，与河岸垂直方向所成角度α=arccos（4/5）=36º52’.
2.8.5圆形公路与沿半径方向的东西向公路相交如图，某瞬时汽车甲向东以20km/h的速率行驶，汽车乙在θ=30°的位置向东北方向以速率20km/h行驶，求此瞬时甲车相对乙车的速度。
v1
v2
v12
v1
30°
解：
由相对运动公式：
，
，显然矢量三角形为等边三角形，所以，v12=20km/h，方向向东偏南60°
第三章基本知识小结
⒈牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。
矢量式：
分量式：
⒉动量定理适用于惯性系、质点、质点系。
导数形式：
微分形式：
积分形式：
（注意分量式的运用）
⒊动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。
若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。
即
（注意分量式的运用）
⒋在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。
在直线加速参考系中：
在转动参考系中：
⒌质心和质心运动定理
⑴
⑵
（注意分量式的运用）
3.4.1质量为2kg的质点的运动学方程为
（单位：
米，秒），求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。
解：
∵,为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。
F=（242+122）1/2=12N，力与x轴之间夹角为：
3.4.2质量为m的质点在o-xy平面内运动，质点的运动学方程为：
，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。
证明：
∵
∴作用于质点的合力总指向原点。
3.4.3在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷粒，一方面逐出秸杆，筛面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸杆逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为0.4，问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动？
解：
以地为参考系，设谷物的质量为m，所受到的最大静摩擦力为，谷物能获得的最大加速度为
∴筛面水平方向的加速度至少等于3.92米/秒2，才能使谷物与筛面发生相对运动。
m2
m1
F
μ1
μ2
3.4.3题图3.4.4题图
3.4.4桌面上叠放着两块木板，质量各为m1,m2,如图所示，m2和桌面间的摩擦系数为μ2，m1和m2间的摩擦系数为μ1，问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。
解：
以地为参考系，隔离m1、m2，其受力与运动情况如图所示，
x
y
m1g
f1
N1
a1
a2
N2
N1'
m2g
F
f1'
f2
其中，N1'=N1,f1'=f1=μ1N1,f2=μ2N2，选图示坐标系o-xy，对m1,m2分别应用牛顿二定律，有
解方程组，得
要把木板从下面抽出来，必须满足，即
y
N2
a2
x
N1'=N1
α
m2g
α
x'
N1
a'
f*=m1a2
y'
m1g
α
m1
m2
α
3.4.5质量为m2的斜面可在光滑的水平面上滑动，斜面倾角为α,质量为m1的运动员与斜面之间亦无摩擦，求运动员相对于斜面的加速度及其对斜面的压力。
解：
以相对地面向右作加速直线运动的斜面为参考系（非惯性系，设斜面相对地的加速度为a2），取m1为研究对象，其受力及运动情况如左图所示，其中N1为斜面对人的支撑力，f*为惯性力，a'即人对斜面的加速度，方向显然沿斜面向下，选如图所示的坐标系o'-x'y',应用牛顿第二定律建立方程：
再以地为参考系，取m2为研究对象，其受力及运动情况如右图所示，选图示坐标o-xy,应用牛顿第二定律建立方程：
（1）、
（2）、（3）、（4）联立，即可求得：
m1
m2
F
3.4.6在图示的装置中两物体的质量各为m1,m2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。
f1
N1
m1g
T
a
F
N2
m2g
T
a
N1
f1
f2
解：
以地为参考系，隔离m1,m2，受力及运动情况如图示，其中：
f1=μN1=μm1g，f2=μN2=μ（N1+m2g）=μ（m1+m2）g.在水平方向对两个质点应用牛二定律：
①+②可求得：
将a代入①中，可求得：
T
f1
N1
m1g
a1
T
f2
N2
m2g
a2
T'
m3g
a3
C
A
B
3.4.7在图示的装置中，物体A,B,C的质量各为m1,m2,m3，且两两不相等.若物体A,B与桌面间的摩擦系数为μ，求三个物体的加速度及绳内的张力，不计绳和滑轮质量，不计轴承摩擦，绳不可伸长。
解：
以地为参考系，隔离A,B,C，受力及运动情况如图示，其中：
f1=μN1=μm1g，f2=μN2=μm2g，T'=2T，由于A的位移加B的位移除2等于C的位移，所以（a1+a2）/2=a3.
对A,B,C分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律：
①,②,③联立，可求得：
3.4.8天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m1,m2的物体（m1≠m2）,天平右端的托盘上放有砝码.问天平托盘和砝码共重若干，天平才能保持平衡？
不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。
m1
m2
解：
隔离m1,m2及定滑轮，受力及运动情况如图示，应用牛顿第二定律：
T'
m1g
a
T'
m2g
a
T
T'
T'
由①②可求得：
所以，天平右端的总重量应该等于T，天平才能保持平衡。
0.05
0.08
t（s）
F（N）
Fmax
0
3.4.11棒球质量为0.14kg，用棒击棒球的力随时间的变化
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