数值分析试卷及其答案2.doc
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1、（本题5分）试确定作为的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。
解因为=3.142857…=
=3.141592…
所以
（2分）
这里，
由有效数字的定义可知作为的近似值具有3位有效数字。
（1分）
而相对误差限
（2分）
2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：
；
解设
由矩阵乘法得：
（3分）
由解得
（3分）
3、（本题6分）给定线性方程组
1）写出Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式；
2）考查Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的敛散性；
解1）Jacoib迭代格式为
（2分）
Gauss-Seidel迭代格式为
（2分）
2）由于所给线性方程组的系数矩阵
是严格对角占优的，所以Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式均是收敛的。
（2分）
4、（本题6分）已知方程
在附近有一个根。
将此方程改写成如下2个等价形式：
构造如下两个迭代格式：
1）
2）
判断这两个迭代格式是否收敛；
解1）记，则，
（2分）
所以该迭代格式是局部收敛的。
（1分）
2）记，则，
（2分）
所以该迭代格式是发散的（1分）
5、（本题6分）设
（1）写出解的牛顿迭代格式；
（2）证明此迭代格式是线性收敛的。
解
（1）因，故，由牛顿迭代公式
，（1分）
得，（2分）
（2）因迭代函数，
，（1分）
故
此牛顿迭代格式是线性收敛的。
（2分）
6、（本题9分）给定数据
x0235
f（x）1-3-42
（1）写出的3次Lagrange插值多项式；
（2）写出的3次Newton插值多项式；
解
（1）由题意知
（3分）
（2分）
（2）用牛顿插值公式，构造差商表
01
2
3
523
（3分）
则有
（1分）
7、（本题6分）作一个5次多项式使得
解构造有重节点的牛顿插商表
13
132
2
21511
432
4320
（4分）
则有
（2分）
8、（本题6分）已知数据如下，试用二次多项式来拟合：
0
1
2
3
4
5
6
15
14
14
14
14
15
16
解设，则上表可化为
0
1
2
3
1
0
0
0
0
1
2
这时，取，并设所求二次多项式为
，容易得到
，，
，，
，，（3分）
得正规方程组如下：
解得即（2分）
回代得（1分）
9、（本题5分）给定求积节点试推出计算积分的插值型求积公式
解由于
所以（1分）
（1分）
（1分）
（1分）
故求积公式为（1分）
10、（本题6分）分别用梯形公式和辛普森公式计算积分：
解
（1）用梯形公式
，
（3分）
（2）用辛普森公式
（3分）
11、（本题8分）求高斯型求积公式的系数
解令：
（1分）
由得
再由（2分）
（1分）
得
所以的根为（2分）
（2分）
12、（本题6分）设为次多项式，为个互异点，为的次插值多项式。
若，试证。
解：
因为为次多项式，所以，（2分）
又因为，故有（2分）
由插值关系可知：
（2分）
所以，
13、（本题10分）设，求及谱半径。
解由定义得
（2分）
（2分）
又由于，而
（2分）
所以，。
（2分）
因为
所以（2分）
14、（本题6分）写出用4阶经典龙格-库塔法求解初值问题的计算公式，并取步长，计算的近似值，小数点后至少保留4位。
解，于是
（4分）
故，由于
故（2分）
15、（本题9分）给定矩阵试用幂法求出的按模最大的特征值，精确至5位有效数
解幂法计算公式：
取，作如下迭代：
，，，
其中表示中（首次出现的）绝对值最大的分量，则
（1分）
计算如下：
（2分）
（2分）
（2分）
（2分）
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