浙江大学2005-2006学年秋冬学期.doc

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浙江大学2005-2006学年秋冬学期

《线性代数》课程期末考试试卷

一、计算题（每小题６分，共36分）

1.行列式，（１）求Ｄ的值；（２）若记分别为Ｄ中元素的余子式和代数余子式，计算。

2.设Ａ，Ｂ，Ｃ为三阶可逆矩阵，

（１）化简等式；

（２）当时，求出上式结果。

3.设矩阵，为其伴随矩阵，已知，求。

4.设为ｎ维欧氏空间中两个向量，且模，求内积

。

5.设二阶矩阵Ａ有特征值，求行列式的值；

6.设，已知是Ａ的二重特征根，且Ａ有三个线性无关的特征向量，求实数ｘ，ｙ。

二、（12分）设非齐次线性方程组ＡＸ＝Ｂ的增广矩阵经初等行变换化为

讨论当取何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多解；当有无穷多解时，求出其通解。

三、（10分）求向量组的秩，极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组表示。

四、（12分）设在向量空间中有两组基：

（Ｉ）

（ＩＩ），

求　（１）基（Ｉ）到基（ＩＩ）的过渡矩阵Ｍ；

（２）若在基（Ｉ）下的坐标为求在基（ＩＩ）下的坐标Ｙ；

（３）求在上述两组基下具有相同坐标的向量。

五、（14分）设有三元二次型，

（１）写出ｆ的矩阵Ａ；

（２）用正交变换化ｆ为标准形，写出所用的正交变换阵和标准形。

六、（12分）已知矩阵

　，，，

问：

（１）ｔ取值范围如何时，Ａ是正定矩阵？

（２）ｔ取何值时，Ａ与Ｂ等价？

（３）ｔ取何值时，Ａ与Ｃ相似？

（４）ｔ取值范围如何时，Ａ与Ｄ在实数域合同？

并分别简单说明理由。

七、（4分）设为ｎ维单位正交列向量，矩阵，求证和都是Ａ的特征向量，并分别求出它们对应的特征值。