高中数学 双曲线知识精讲教案 新人教A版选修21Word文件下载.docx

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双曲线焦点在y轴：

3、双曲线的标准方程与几何性质

标准方程

－＝1（a＞0，b＞0）

简图

中心

O（0，0）

顶点

A1（－a，0），A2（a，0）

B1（0，a），B2（0，－a）

范围

|x|≥a

|y|≥a

焦点

F1（－c，0），F2（c，0）

F1（0，－c），F2（0，c）

准线

x＝±

y＝±

渐近线

x

4.焦半径公式

（1）当M（x0，y0）为－＝1右支上的点时，则|MF1|＝ex0＋a，|MF2|＝ex0－a。

（2）当M（x0，y0）为－＝1左支上的点时，|MF1|＝－（ex0＋a），|MF2|＝。

（3）当M（x0，y0）为－＝1上支上的点时，|MF1|＝ey0＋a，|MF2|＝ey0－a。

（4）当为下支上的点时，，

5.常用的公式结论：

（1）对于双曲线的两种标准方程，a、b、c始终满足

（2）由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法。

首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值。

应特别注意：

当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏。

已知渐近线的方程bx±

ay＝0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ（λ≠0），再根据其他条件确定λ的值。

若求得λ＞0，则焦点在x轴上，若求得λ＜0，则焦点在y轴上。

（3）由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点的位置，防止将焦点坐标和准线方程写错。

（4）在解题过程中，应重视对双曲线两种定义的灵活应用，以减少运算量。

6.直线与双曲线的位置关系

掌握直线与双曲线的位置关系，通过对直线方程与双曲线方程组成的二元二次方程组的求解来讨论它们的位置关系。

（1）若方程组消元后得到一个一元二次方程，则应根据Δ来讨论。

（2）对于直线与双曲线的位置关系，还可以利用数形结合，以形助数的方法来解决。

弦长公式：

|AB|＝

若用k，y1及y2表示|AB|，则|AB|＝

知识点一：

求双曲线的标准方程

例1：

讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征。

思路分析：

1）题意分析：

本小题主要考查圆锥曲线标准方程的表达式。

2）解题思路：

由于，，则的取值范围为，，，应分别进行讨论。

解答过程：

解：

（1）当时，，，所给方程表示椭圆，此时，，，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）。

（2）当时，，，所给方程表示双曲线，此时，，，，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），（4，0）。

（3）当，，时，所给方程没有轨迹。

解题后的思考：

将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感。

例2：

根据下列条件，求双曲线的标准方程。

（1）过点，且焦点在坐标轴上。

（2），经过点（－5，2），且焦点在轴上。

（3）与双曲线有相同焦点，且经过点

本题从不同的角度考查了对双曲线方程的求解。

过两点的方程我们一般设为，代入点计算。

巧设方程，尽可能使系数越少越好。

（1）设双曲线方程为

∵、两点在双曲线上，

∴

解得

∴所求双曲线方程为

说明：

采取以上“巧设”方法可以避免分两种情况讨论，达到“巧求”的目的。

（2）∵焦点在轴上，，

∴设所求双曲线方程为：

（其中）

∵双曲线经过点（－5，2），∴

∴或（舍去）

∴所求双曲线方程是

（3）设所求双曲线方程为：

∵双曲线过点，∴

∴或（舍）

第（3）题中，注意到了与双曲线有公共焦点的双曲线方程为后，便有了以上巧妙的设法，以上简单易行的方法使我们在解题过程中感到明快、简捷。

知识点二运用双曲线的定义求轨迹方程

例3：

已知两点、，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹。

考查关于轨迹方程的求解问题。

问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹。

根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线。

∵，

∴所求方程为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线。

运用定义法求解轨迹方程时一定要注意定义中的条件是否满足题意，在解题过程中还应注意细节。

例4：

在中，，且，求点的轨迹。

考查无坐标系的轨迹方程的求解问题。

要求点的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，结合已知条件以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系。

以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，。

设，由及正弦定理可得：

∵

∴点在以、为焦点的双曲线右支上，设双曲线方程为：

∴，

∴点的轨迹是双曲线的右支上除去了顶点的部分。

对于解决运用定义求轨迹的问题，我们要注意做到查漏补缺，把不符合构成三角形的点舍去即可。

例5：

求下列动圆圆心的轨迹方程：

（1）与⊙内切，且过点。

（2）与⊙和⊙都外切。

（3）与⊙外切，且与⊙内切。

考查利用圆与圆的位置关系，解决关于轨迹方程的求解问题。

这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点以及关键线段，即半径与圆心的距离。

如果相切的⊙、⊙的半径为、且，则当它们外切时，；

当它们内切时，。

解题时要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程。

设动圆的半径为

（1）∵⊙C与⊙内切，点在⊙外

∴，，

∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，且有：

，，

∴双曲线方程为

（2）∵⊙与⊙、⊙都外切

∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支，且有：

∴所求的双曲线的方程为：

（3）∵⊙与⊙外切，且与⊙内切

∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，且有：

∴所求双曲线方程为：

（1）用“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点的轨迹问题时常用且重要的方法。

（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减少，提高了解题的速度与质量。

（3）通过对以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们追求的目标。

知识点三双曲线定义的运用

例6：

已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且，求的大小。

本题考查双曲线第一定义与焦点三角形的运用。

一般地，要求一个角的大小，通常要先解这个角所在的三角形。

∵点在双曲线的右支上

，

由余弦定理得

＝0

（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化。

（2）题目中的“点在双曲线的右支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点在双曲线上”，那么结论又会是怎样的呢？

请大家试着解答一下。

例7：

已知、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，求的面积。

考查利用双曲线第一定义求解焦点三角形的面积。

利用双曲线的第一定义及中的勾股定理可求的面积。

∵为双曲线上的一个点，且、为焦点。

∴在中，

双曲线第一定义的应用在解题中起了关键性的作用。

知识点四直线与双曲线的位置关系的运用

例8：

双曲线（a＞0，b＞0）满足如下条件：

（1）ab＝；

（2）过右焦点F的直线l的斜率为，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|：

|QF|＝2：

1，求双曲线的方程。

考查对直线与双曲线相交时，相交弦中点的轨迹方程的求解。

根据已知条件我们先设出直线l，以及点P，F，再利用定比分点坐标公式求解点Q的坐标，进而代入双曲线方程求解即可。

设直线l：

y＝（x－c），令x＝0，得P（0，），

设λ＝，Q（x，y），则有

又Q（）在双曲线上，∴b2（c）2－a2（－c）2＝a2b2，

∵a2＋b2＝c2，∴

，解得＝3，又由ab＝，可得，

∴所求双曲线方程为。

对于直线与双曲线相交的问题，我们要灵活的运用已知中的条件。

此题中定比分点的运用可以很好地帮助我们解题。

而且对于解决距离的比的问题一般要运用性质或公式进行。

例9：

已知定点A（－1，0），F（2，0），定直线l：

x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交直线l于点M、N

（1）求E的方程；

（2）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由。

本题主要考查直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，以及平面解析几何的思想方法及推理运算能力。

（1）设P（x，y），则

化简得x2－＝1（y≠0）

（2）①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k（x－2）（k≠0）

与双曲线x2－＝1联立消去y得

x2＋4k2x－（4k2＋3）＝0

由题意知3－k2≠0且△＞0

设B（x1，y1），C（x2，y2），

则

＝k2（x1－2）（x2－2）＝k2[x1x2－2（x1＋x2）＋4]

＝k2（＋4）

＝

因为x1、x2≠－1

所以直线AB的方程为y＝（x＋1）

因此M点的坐标为（）

，同理可得

因此

＝0

②当直线BC与x轴垂直时，该方程为x＝2，则B（2，3），C（2，－3）

AB的方程为y＝x＋1，因此M点的坐标为（），

同理可得

综上＝0，即FM⊥FN

故以线段MN为直径的圆经过点F

在解答直线与双曲线相交的问题时，我们一般会利用联立方程组，并结合韦达定理来求解关系式。

小结：

双曲线这种圆锥曲线是我们所学的三种圆锥曲线之一，因此我们要熟练掌握双曲线标准方程的求解。

另外，利用双曲线的定义和性质来解决直线与双曲线的位置关系的方法运用，也是我们学习的重点，尤其需要注意的是通过对定义的灵活运用求轨迹方程。

学习完本节内容，我们需要掌握双曲线的两个定义以及标准方程的求解，对于定义的运用要注意第一定义与焦点三角形的综合运用，而对方程的求解除了直接利用定义外，还可以结合性质进行求解。

而对于直线与双曲线的位置关系，我们主要是能体会在解析几何中运用代数的方法联立方程组进行求解的思想即可。

一、预习新知

同学们，我们在上体育课的时候，会做投篮的动作，那么我们将篮球投出后，篮球在空中划过的轨迹是什么样的呢？

二、预习点拨

探究与反思：

探究任务一：

抛物线的定义及标准方程。

【反思】

（1）抛物线的定义是什么？

（2）抛物线的标准方程是什么？

探究任务二：

抛物线的几何性质

（1）抛物线的简单几何性质有哪些？

（2）如何运用抛物线的几何性质解决有关抛物线的方程？

探究任务三：

直线与抛物线的位置关系

（1）直线与抛物线的位置关系有哪些？

（2）如何解决有关直线与抛物线相交的问题？

（答题时间：

50分钟）

一、选择题：

1、设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）

A.B.C.D.

2、设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）

3、设O为坐标原点，，是双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠P＝60°

，∣OP∣＝，则该双曲线的渐近线方程为（）

A.x±

y＝0B.x±

y＝0

C.x±

＝0D.±

4、到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）

A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线

5、已知双曲线的一条渐近线方程是y＝，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）

A.B.

C.D.

6、已知、为双曲线C：

的左、右焦点，点P在C上，∠＝，则（）

A.2B.4C.6D.8

二、填空题：

7、点在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于，则＝___

8、已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；

渐近线方程为。

9、已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。

则双曲线的方程为。

10、若双曲线－＝1（b＞0）的渐近线方程为y＝，则ｂ等于。

三、解答题：

11.一条双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，点，是双曲线上不同的两个动点。

（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式；

（2）若过点H（0，h）（h＞1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且，求h的值。

12、如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为。

一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和。

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；

（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？

若存在，求的值；

若不存在，请说明理由。

1、C解析：

利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，进而得出a与b之间的等量关系，由此可知答案选C。

本题主要考查三角形与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属于中档题。

2、D解析：

不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：

则一个焦点为，B（0，b）。

一条渐近线的斜率为：

，直线FB的斜率为：

，，，解得。

3、D解析：

本题将解析几何与三角知识相结合，主要考查了双曲线的定义、标准方程、几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题。

4、D解析：

本题使用了排除法。

轨迹是轴对称图形，因此排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，故排除D。

5、B解析：

本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质及标准方程，属于容易题。

依题意知

，所以双曲线的方程为

6、B本小题主要考查双曲线的定义、几何性质、余弦定理，以及转化的数学思想，通过本题还可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.

【解析1】由余弦定理得

cos∠

【解析2】由焦点三角形面积公式得：

7、2

解析：

考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，得到a＝2，c＝6，，

8、

9、

本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。

由渐近线方程可知①

因为抛物线的焦点为（4，0），所以c＝4②

又③

联立①②③，解得，所以双曲线的方程为

10、1

由题意知，解得b＝1。

11、解：

（1）由A1，A2为双曲线的左、右顶点知，。

，两式相乘得

，而点在双曲线上，所以，即，

故，即。

（2）设，则由知，。

将代入得

，即

由l1与轨迹E只有一个交点知，

。

同理，由l2与轨迹E只有一个交点知，，消去h2得，即，从而，即。

12、解析：

（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为，得，又，

所以可解得，所以，

所以椭圆的标准方程为；

；

所以椭圆的焦点坐标为（±

2，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为

（Ⅱ）设点P（），则，所以

，又点P在双曲线上，所以有，即，所以。

（Ⅲ）假设存在常数λ，使得

恒成立，则由（Ⅱ）知，所以设直线AB的方程为，则直线CD的方程为，

由方程组

消y得：

，设，B（），

则由韦达定理得：

所以

又因为

，所以有

－

，所以存在常数，使得＝恒成立。