因式分解经典题及解析docx.docx
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因式分解经典题及解析docx
2013组卷
1在学习因式分解时,我们学习了提公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式),事
实上,除了这两种方法外,还有其它方法可以用来因式分解,比如配方法•例如,如果要因
2
式分解X+2x-3时,显然既无法用提公因式法,也无法用公式法,怎么办呢?
这时,我们可以采用下面的办法:
222
X+2x-3=x+2××+1-1-3①
=(x+1)2-22②
=*■•
解决下列问题:
(1)填空:
在上述材料中,运用了__的思想方法,使得原题变为可以继续用平
方差公式因式分解,这种方法就是配方法;
(2)显然所给材料中因式分解并未结束,请依照材料因式分解x2+2x-3;
(3)请用上述方法因式分解x2-4x-5.
4
2.请看下面的问题:
把X+4分解因式
分析:
这个二项式既无公因式可提,也不能直接利用公式,怎么办呢
222219世纪的法国数学家苏菲?
热门抓住了该式只有两项,而且属于平方和(X)+
(2)的形
式,要使用公式就必须添一项4x2,随即将此项4x2减去,即可得x4+4=x4+4x2+4-4χ2=(x2+2)
2,222/c、222
-4x=(X+2)-(2x)=(X+2x+2)(X-2x+2)
人们为了纪念苏菲?
热门给出这一解法,就把它叫做热门定理”请你依照苏菲?
热门的做法,将下列各式因式分解.
4422
(1)X+4y;
(2)X-2ax-b-2ab.
3.下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程.解:
设x2-4x=y
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
2
=y+8y+16(第二步)=(y+4)2(第三步)
22
=(X-4x+4)(第四步)
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的.
A、提取公因式B.平方差公式
C、两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底.(填彻底”或不彻底”)
若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果.
22
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.
2
4.找出能使二次三项式X+ax-6可以因式分解(在整数范围内)的整数值a,并且将其进行因式分解.
5.利用因式分解说明:
两个连续偶数的平方差一定是4的倍数.
2
6.已知关于X的多项式3x+x+m因式分解以后有一个因式为(3x-2),试求m的值并将多项式因式分解.
22
7.已知多项式(a+ka+25)-b,在给定k的值的条件下可以因式分解•请给定一个k值并写出因式分解的过程.
2
&先阅读,后解题:
要说明代数式2x+8x+10的值恒大于O还是恒等于O或者恒小于0,
我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式,再去考虑,具体过程如下:
2
解:
2x+8x+10
2
=2(X+4x+5)(提公因式,得到一个二次项系数为1的二次多项式)
22小2
=2(X+4x+2-2+5)
2
=2[(x+2)+1](将二次多项式配方)
2
=2(x+2)+2(去掉中括号)
22
因为当X取任意实数时,代数式2(x+2)2的值一定是非负数,那么2(x+2)2+2的值一定为正数,所以,原式的值恒大于0,并且,当X=-2时,原式有最小值2.
请仿照上例,说明代数式-2x2-8x-10的值恒大于0还是恒小于0,并且说明它的最大值
或者最小值是什么.
9•老师给学生一个多项式,甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述:
甲:
这是一个三次三项式;
乙:
三次项系数为1;
丙:
这个多项式的各项有公因式;
丁:
这个多项式分解因式时要用到公式法;
若已知这四位同学的描述都正确,请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式.
10.在对某二次三项式进行因式分解时,甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2(X-1)
(X-9),而乙同学看错了常数项,而将其分解为2(X-2)(X-4),请你判断正确的二次
三项式并进行正确的因式分解.
22
11.观察李强同学把多项式(X+6x+10)(X+6x+8)+1分解因式的过程:
解:
设x2+6x=y,则
原式=(y+10)(y+8)+1
2
=y+18y+81
2
=(y+9)
22
=(X+6x+9)
(1)回答问题:
这位同学的因式分解是否彻底?
若不彻底,请你直接写出因式分解的最后
结果:
.
22
(2)仿照上题解法,分解因式:
(X+4x+1)(X+4x-3)+4.
12.
(1)写一个多项式,再把它分解因式(要求:
多项式含有字母m和n,系数、次数不限,并能先用提取公因式法再用公式法分解).
(2)阅读下列分解因式的过程,再回答所提出的问题:
2
1+x+x(x+1)+x(x+1)=(1+x)[1+x+x(x+1)]①
2
=(1+x)(1+x)②
=(1+x)③
1上述分解因式的方法是,由②到③这一步的根据是;
2若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+∙∙+x(x+1)2006,结果是__;
3分解因式:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2+∙∙+x(x+1)n(n为正整数).
13•阅读下面的材料并完成填空:
22
因为(x+a)(x+b)=X+(a+b)x+ab,所以,对于二次项系数为1的二次三项式X+px+q的因式解,就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p,即如果有a,b两数满足a∙b=a+b=p,则有
2
X+px+q=(x+a)(x+b).
2
如分解因式X+5x+6.
解:
因为2>3=6,2+3=5,
所以x2+5x+6=(x+2)(x+3).
2
再如分解因式X-5x-6.
解:
因为—6>=-6,-6+1=-5,
所以X2-5x-6=(X-6)(x+1).
同学们,阅读完上述文字后,你能完成下面的题目吗?
试试看.
2222
因式分解:
(1)X+7x+12;
(2)X-7x+12;(3)X+4x-12;(4)X-X-12.
4
1.请看下面的问题:
把X+4分解因式
分析:
这个二项式既无公因式可提,也不能直接利用公式,怎么办呢
222219世纪的法国数学家苏菲?
热门抓住了该式只有两项,而且属于平方和(X)+
(2)的形
式,要使用公式就必须添一项4x2,随即将此项4x2减去,即可得x4+4=x4+4x2+4-4χ2=(χ2+2)
2222222
-4x=(X+2)-(2x)=(X+2x+2)(X-2x+2)
人们为了纪念苏菲?
热门给出这一解法,就把它叫做热门定理”请你依照苏菲?
热门的做法,将下列各式因式分解.
4422
(1)X+4y;
(2)X-2ax-b-2ab.
考点:
因式分解-运用公式法.
专题:
阅读型.
分析:
这是要运用添项法因式分解,首先要看明白例题才可以尝试做以下题目.
解答:
444222„22
解:
(1)X+4y=X+4xy+4y-4xy,
22222
=(X+2y)-4xy,
2222
=(X+2y+2xy)(X+2y-2xy);
22
(2)X-2ax-b-2ab,
2222=X-2ax+a-a-b-2ab,
22
=(X-a)-(a+b),
=(X-a+a+b)(X-a-a-b),
=(x+b)(X-2a-b).
点评:
本题考查了添项法因式分解,难度比较大.
22
2.下面是某同学对多项式(X-4x+2)(X-4x+6)+4进行因式分解的过程•
O
解:
设X-4x=y
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
2十「
=y+8y+16(第二步)
=(y+4)(第三步)
=(χ2-4x+4)2(第四步)
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的C.
A、提取公因式B•平方差公式
C、两数和的完全平方公式D•两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底不彻底.(填彻底”或不彻底”)
若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果(X-2).
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.
考点:
提公因式法与公式法的综合运用.
专题:
阅读型.
(3)
(χ2
52
设X-2x=y.
2
-2x)(X-2x+2)+1,=y(y+2)+1,
2=y+2y+1,
2
=(y+1),
22
=(x2-2x+1)2,
4
=(X-1).
按照提供的方法和样式解答
点评:
本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力,即可,难度中等.
2
3.找出能使二次三项式X+ax-6可以因式分解(在整数范围内)的整数值a,并且将其进
行因式分解.
考点:
因式分解-十字相乘法等.
分析:
根据十字相乘法的分解方法和特点可知:
a是-6的两个因数的和,则-6可分成3×
(-2),-3×,6×(-1),-6×,共4种,所以将x2+ax-6分解因式后有4种情
况.
2
解答:
解:
X+X-6=(x+3)(X-2);
2
X-X-6=(X-3)(x+2);
2
X+5x-6=(x+6)(X-1);
2
X-5x-6=(X-6)(x+1).
点评:
本题考查十字相乘法分解因式,运用十字相乘法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程,常数-6的不同分解是本题的难点.
4•利用因式分解说明:
两个连续偶数的平方差一定是4的倍数.
考点:
I
因式分解的应用.
分析:
根据题意设出两个连续偶数为2n、2n+2,利用平方差公式进行因式分解,即可证出
结论.
解答:
丿
解:
设两个连续偶数为2n,2n+2,则有
22
(2n+2)2-(2n),
=(2n+2+2n)(2n+2-2n),
=(4n+2)×,
=4(2n+1),
因为n为整数,
所以4(2n+1)中的2n+1是正奇数,
所以4(2n+1)是4的倍数,
故两个连续正偶数的平方差一定能被4整除.
点评:
:
本题考查了因式分解的应用,解题的关键是正确设出两个连续正偶数,再用平方差公
式对列出的式子进行整理,此题较简单.
2
5.已知关于X的多项式3x+x+m因式分解以后有一个因式为(3x-2),试求m的值并将多项式因式分解.
考点:
:
因式分解的意义.
分析:
由于X的多项式3χ2+χ+m分解因式后有一个因式是3x-2,所以当X-|时多项式的值
3
为0,由此得到关于m的方程,解方程即可求出m的值,再把m的值代入3x2+χ+m
进行因式分解,即可求出答案.
解答:
丿
解:
∙∙∙X的多项式3χ2+χ+m分解因式后有一个因式是3x-2,
9
当X=:
时多项式的值为0,
即3^O-0,
.∙.2+m=0,
.∙.m=-2;
223x+χ+m=3x+x-2=(x+1)(3x-2);
故答案为:
m=-2,(x+1)(3x-2).
点评:
:
本题主要考查因式分解的意义,有公因式时,要先考虑提取公因式;注意运用整体代入法求解.
6.已知多项式(a2+ka+25)-『,在给定k的值的条件下可以因式分解.请给定一个k值
并写出因式分解的过程.
考点:
因式分解-运用公式法.
专题:
开放型.
分析:
根据完全平方公式以及平方差公式进行分解因式即可.
解答:
丿
I
解:
k=±0,
假设k=10,
2222
则有(a+10a+25)-b=(a+5)-b=(a+5+b)(a+5-b).
点评:
J
Z
此题主要考查了运用公式法分解因式,正确掌握完全平方公式和平方差公式是解题关
键.
2
7.先阅读,后解题:
要说明代数式2x+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0,我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式,再去考虑,具体过程如下:
2
解:
2x+8x+10
2
=2(X+4x+5)(提公因式,得到一个二次项系数为1的二次多项式)
Z22C2、
=2(X+4x+2-2+5)
2
=2[(x+2)+1](将二次多项式配方)
2
=2(x+2)+2(去掉中括号)
22
因为当X取任意实数时,代数式2(x+2)2的值一定是非负数,那么2(x+2)2+2的值一定
为正数,所以,原式的值恒大于0,并且,当X=-2时,原式有最小值2•请仿照上例,说
明代数式-2x2-8x-10的值恒大于0还是恒小于0,并且说明它的最大值或者最小值是什么.
考点:
配方法的应用;非负数的性质:
偶次方.
分析:
按照题目提供的方法将二次三项式配方后即可得到答案.
解答:
丿
I
解:
-2x2-8x-10
2
=-2(X+4x+5)
22影
=-2(X+4x+2-2+5)
2
=-2[(x+2)+1]
2
=-2(x+2)-2
22
因为当X取任意实数时,代数式2(x+2)2的值一定是非负数,那么-2(x+2)2-2的值一定为负数,所以,原式的值恒小于0,并且,当X=-2时,原式有最大值-2.
点评:
J
I]
此题考查了配方法与完全平方式的非负性的应用.注意解此题的关键是将原代数式准
确配方.
&老师给学生一个多项式,甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述:
甲:
这是一个三次三项式;
乙:
三次项系数为1;
丙:
这个多项式的各项有公因式;
丁:
这个多项式分解因式时要用到公式法;
若已知这四位同学的描述都正确,请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式.
考点:
提公因式法与公式法的综合运用.
专题:
开放型.
分析:
能用完全平方公式分解的式子的特点是:
三项;两项平方项的符号需相同;有一项是两底数积的2倍.
解答:
解:
由题意知,可以理解为:
甲:
这是一个关于X三次三项式;
乙:
三次项系数为1,即三次项为X;
丙:
这个多项式的各项有公因式X;
丁:
这个多项式分解因式时要用到完全平方公式法.
2232
故多项式可以为X(X-1)=X(X-2x+1)=X-2x+X.
点评:
本题考查了提公因式法和公式法分解因式,是开放性题,根据描述按照要求列出这个
多项式.答案不唯一.
9.在对某二次三项式进行因式分解时,甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2(X-1)
(X-9),而乙同学看错了常数项,而将其分解为2(X-2)(X-4),请你判断正确的二次
三项式并进行正确的因式分解.
考点:
因式分解的应用.
分析:
此题可以先将两个分解过的式子还原,再根据两个同学的错误得出正确的二次三项式,最后进行因式分解即可.
解答:
解:
2(X-1)(X-9)=2x2-20x+18,2(X-2)(X-4)=2x2-12x+16;由于甲同学因看错了一次项系数,乙同学看错了常数项,
2
则正确的二次三项式为:
2x-12x+18;
再对其进行因式分解:
2x2-12x+18=2(X-3)2.
点评:
本题考查了因式分解的应用,题目较为新颖,同学们要细心对待.
22
10.观察李强同学把多项式(X+6x+10)(X+6x+8)+1分解因式的过程:
O
解:
设X+6x=y,则
原式=(y+10)(y+8)+1
2
=y+18y+81
2
=(y+9)
2、2
=(X+6x+9)
(1)回答问题:
这位同学的因式分解是否彻底?
若不彻底,请你直接写出因式分解的最后
结果:
4
(x+3)
(2)仿照上题解法,分解因式:
(x2+4x+1)(x2+4x-3)+4.
考点:
因式分解-十字相乘法等.专题:
换元法.
分析:
(1)根据x2+6x+9=(x+3)2,进而分解因式得出答案即可;
(2)仿照例题整理多项式进而分解因式得出答案即可.
原式=(y+1)(y-3)+4=y-2y+1
=(y-1)2
22
=(X+4x-1)•
键.
11.
(1)写一个多项式,再把它分解因式(要求:
多项式含有字母m和n,系数、次数不限,并能先用提取公因式法再用公式法分解).
(2)阅读下列分解因式的过程,再回答所提出的问题:
2
1+x+x(x+1)+x(x+1)=(1+x)[1+x+x(x+1)]①
2
=(1+x)(1+x)②
3
=(1+x)③
1上述分解因式的方法是提公因式法分解因式,由②到③这一步的根据是同底数幕
的乘法法则;
2若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+∙∙+x(x+1)2006,结果是(1+x)2007;
3分解因式:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2+∙∙+x(x+1)n(n为正整数).
考点:
因式分解-提公因式法.
分析:
(1)根据题目要求可以编出先提公因式后用平方差的式子,答案不唯一;
(2)首先通过分解因式,可发现①中的式子与结果之间的关系,根据所发现的结论
公式法分解因式以及分解因式
可直接得到答案.专题:
阅读型.
分析:
发现规律:
二次项系数为1的二次三项式χ2+pχ+q的因式解,就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p,则x2+px+q=(χ+a)(x+b).
解答:
解:
(1)X+7x+12=(x+3)(x+4);
2
(2)X-7x+12=(X-3)(X-4);
2
(3)X+4x-12=(x+6)(X-2);
2
(4)X-X-12=(X-4)(x+3).
2
点评:
本题考查十字相乘法分解因式,是X+(p+q)x+pq型式子的因式分解的应用,应识
记:
X+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).