副题01分段函数与函数的图象解析版Word格式文档下载.docx
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3.函数零点
①定义：
对于函数yf（x），使f（x）0的实数x叫函数yf（x）的零点.
②几个等价关系：
方程f（x）＝0有实数根?
函数y＝f（x）的图象与x轴有交点?
函数y＝f（x）有零点．
③函数零点的判定（零点存在性定理）：
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．
【易错点提醒】
1.分段函数的图象，一定要准确看清楚分界点的函数值.
2.易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化.
3.图象变换的几个注意点.
（1）混淆平移变换的方向与单位长度.
（2）区别翻折变换：
f（x）→|f（x）与|f（x）→f（|x|）.
（3）两个函数图象的对称.
①函数y＝f（x）与y＝－f（－x）的图象关于原点成中心对称.
②函数y＝f（x）与y＝f（－x）的图象关于直线x＝0（y轴）对称；
函数y＝f（x）与函数y＝－f（x）的图象关于直线y＝0（x轴）对称.
【副题考向】考向一分段函数
【解决法宝】分段函数问题常见类型与解题策略：
①求函数值，弄清自变量所在的区间，然后代入对应的解析式.求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算.②求函数值域（最值）分别求出每个区间上
的值域（最值），求并集（然后比较大小）.③解不等式，根据分段函数中自变量的取值范围，化为不等式组求解.④求参数，“分段处理”，采用代入法列出各区间上方程.
fx2,x0，则f2019（）
fx1fx2,x0
1
A．1
B．0
C．
D．1
4
【分析】
根据当x
0时，fx
fx1
f
x2，
得出当
x0时，函数周期为6，
f2019
f6
3363f3
即可得解
【解析】
由题知f
11,f0
1，∴，∴
f1
f0
，∴f2f1
f01，
2
∴f3
f2
1f1，
由题当x
0时，
fxfx1
fx
2，
∴fx
1f
xfx1，所以
2，即fx
3，
所以f
x3
fx6，即fxf
x6，所以
1，
故选
C。
考向二作函数图象
【解决法宝】作函数图像有两种方法，①描点法，在利用描点法作函数图像前，先研究函数的定义域、值
域、单调性、奇偶性、对称性、极值、最值和图像的发展趋势，根据图像与性质，取关键点如最值点、极
值点、与坐标轴的交点，在坐标系中描出关键点，根据图像的变化趋势用平滑曲线连接关键点，即可得到函数的图像；
②图象变化法，若函数的图象可以由常见函数通过平移、伸缩或对折变换得到，常用平移法，若是含由绝对值常化为分段函数处理
例2【2020·
海原一中学期末】在同一直角坐标系中，函数y1x,yloga
ax
分析】本题通过讨论a的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断
得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
x1
【解析】当0a1时，函数yax过定点（0,1）且单调递减，则函数yx过定点（0,1）且单调递增，函a
11
数ylogax过定点（1,0）且单调递减，D选项符合；
当a1时，函数yax过定点（0,1）且单调递22
111
增，则函数yx过定点（0,1）且单调递减，函数ylogax过定点（,0）且单调递增，各选项均不
axa22
符合.综上，选D.
对称性、极值、最值和图像
考向三函数图像识别
解决法宝】在识别图像前，先研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、
的发展趋势，根据图像与性质，结合特殊点与特殊值对函数的图像进行判断．
+可排除C，从而得到正确的选项.
又当x
时，fx+，故排除C，综上，选A.
考向四函数零点与方程的解【解决法宝】1.函数零点（即方程的根）的确定问题，常见的类型有：
（1）函数零点值大致存在区间的确定；
（2）零点个数的确定；
（3）两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.2.判断函数零点个数的主要方法：
（1）解方程f（x）＝0，直接求零点；
（2）利用零点存在定理；
（3）数形结合法：
对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出
的函数图象交点问题
例4【2019·
上海华师大二附中月考】已知函数f（x）
f（x）xa（aR）恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为
1【分析】画出fx图象及直线yxa，借助图象分析．
【解析】如图，当直线yxa位于B点及其上方且位于A点及其下方，
或者直线yxa与曲线y1相切在第一象限时符合要求．4x
159
即1a2，即a，
444
11111
或者2，得x2，y，即2a，得a1，x24224
1.【2020·
山东菏泽期末】设函数fx的定义域为R，满足fx22fx，且
fx2x1,x0,1则fe（）
ln（x2）,x1,2
A．2e1
B
．2e
C．2e1
D．lne2
【答案】B
【解析】fe
2fe
222e1
2e，
故选B.
2x12,x1
3，则f
6a
2.【2020·
河南许昌期末】
已知函数f
x
｛，
且fa
（）
log2x1,x1
7
5
3
A．
D．
【答案】A
【解析】fa
32x
123
log2
a13a7，
f6a
222
7，故
选A.
3.【2019届广东省东莞市期末】设函数，则满足的的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，，由此排除D选项.当时，，
由此排除B选项.当时，，由此排除A选项.综上所述，本小题选C.
4.【2020·
山东枣庄八中月考】y4cosxe|x|图象可能是（）
【解析】显然y
4cosx
e|x|是偶函数，
图象关于
y轴对称，
当x0时y
4sinxex
（4sinx
ex），
显然当x0,
时，
y
0，当x（,
）时，
xee
e34，而4sinx4，所以
y（4sinx
ex）
0，
∴y（4sin
xex）
0在（0,
）上恒成立，∴
y4cosx
e|x|在（0,
）上
单调递减．故选
5.【2020·
陕西铜川期末】函数
xa
x（0
a1）的图像的大致形状是（
解析】
a,x
a,x
且1
根据指数函数的图象和性质，
当x0,时，函数为
减函数，当x
0时，函数为增函数，故选D．
6.【2019届安徽皖东名校联盟第二次联】若函数图象与函数的图象关于原点对
称，则（）
A．B．
C．D．
【答案】D
解析】设是函数的图象上任意一点，其关于原点对称的点是.因为点
ln2
误；
又因为f
（2）2ln20，所以D选项错误，故选A.
22x1
8.【2020·
山东聊城期中】已知函数yf（x1）2是奇函数，g（x），且f（x）与g（x）的图像的x1
交点为（x1,y1），
（x2,y2），，
（x6,y6）
，则
x1x2x6y1y2
y6
（）
A．0
B．6
C．12
D．18
【答案】
D
g
2x11
，由此
x的图像关于点
1,2中心对称，
12是奇函数
x1x
fx12，
由此f
1fx1
4，所以fx
关于点
1,2
中心对称，
x1x2
x6
6，y1y2
12
，所以x1x2
x6y1y2
18，故选D
9.【2019届辽宁省六校协作体期末】若函数且的值域是，则
实数a的取值范围是
答案】D
解析】当时，，要使的值域是，则当时，恒成立，即，若，则不等式不成立，当时，则由，则，
，，即，故选D．
答案】B
取得y取最大值y＝1，当x3＝1时，函数值y=﹣1．即函数取值范围是（﹣1，1］，故选B．
数的取值范围是（）
答案】C
解析】由题意，当x≤0时，f（x）＝2x3+3x2+2，∴f′（x）＝6x2+6x=6x（x1），当x1时，f（x）<
f（﹣1）＝3；
要使函数f（x）
当1x0时，f（x）>
0，故函数f（x）在［﹣2，0］上的最大值为
在［﹣2，2］上的最大值为3，则当时，的值必须小于等于3，又单
调，即当x＝2时，e2a的值必须小于等于3，即e2a≤3，解得a∈，故选
不符，排除D，故选C.
答案】
个相异实根，则实数b的取值范围
有5个不同的根，则的取值范围是（
A．B．C．D．
解析】当时，，∴，当时，，函数单调递减；
当
时，，函数单调递增，所以，当时，的图象恒过点，当，时，，当，时，，作出大致图象如图
所示.
方程有5个不同的根，即方程有五个解，设，则.结合图象可知，当时，方程有三个根，，（∵，∴），于是有一个解，有一个解，有三个解，共有5个解，而当时，结合图象可知，方程不可能有5个解.
综上所述：
方程在时恰有5个不同的根，故选B
答案】3
图象依次向右平移2个单位,同时再向上平移1个单位,得到函数f（x）在（0,）上的图象.关于y轴对称得到（,0）的图象.如图所示：
则a的取值范围是（）
A．1，1
C．，31，13，
B．2，02，4
D．（，2）0，2（4，）
令g（x）0得,f（x）0或f（x）1,即y0与y1两条直线截函数yf（x）图象共6个交点,所以函数
g（x）共有6个零点，故选C
保证f（a1）2,结合图像可知:
a1
x4或x2a1x1或a1
x4，即:
a13或
1a11或a13，解得a
2或0
a2或a4，故选D.
ex2019,x0
20.【2020·
安徽淮安中学月考】设函数
f（x）
，则满足f
x23
f（2x）的x取值范
2020,x0
围是
答案】（,
3]
[1,）
当x
f（x）ex2019
（1）x2019，因此函数是单调递减函数，因此有e
f（0）
10（）0
20192020.
e
2x0
222x02x0
当fx23f（2x）时，则有x230
（1）或2
（2）或2（3）
2x230x230
x232x
解
（1）得：
1x3，解
（2）得：
x3，解（3）得：
x3，
fx23f（2x）的x取值范围是（,3][1,）.
21.【2019届山东省滨州市期末】已知函数若方程恰有4个不同的实根
，且，则的取值范围为．
【解析】作出函数f（x）的图象，∵方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且
x1<
x2<
x3<
x4，由图可知a<
1，x1+x2＝﹣2．∵﹣log2（x3）＝log2（x4）＝a，∴x3x4＝1；
∵0<
log2（x4）
<
1，∴1<
x4≤2．故x3（x1+x2）x4，其在1<
x4≤2上是增函数，故﹣2+1x4≤﹣1+2；
即﹣1x4≤1，故答案为：
（﹣1，1]．
mt2m30一个根为0,m
中一个在区间0,1上,一个根为0或在区间[1,）上,若方程t2
3另一根为,不满足条件.
上,一个在区间[1,）
故方程t2mt2m30有两个根,其中一个在区间0,1
令g（t）t2mt2m3
①当g
（1）0时，则g（0）2m30，解得:
m3
g
（1）3m402
②当g
（1）0时，即3m40,故m
将m
42241代入t2mt2m30，可得:
tt0,
333
解得:
t123,t223
满足方程t2mt2m30两个根中
一个在区间
0,1上,一个在区间[1,）
综上所述,实数m的取值范围为:
3,
3.
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