数学建模酒店客房的最优分配.docx
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数学建模酒店客房的最优分配
酒店客房的最优分配
在信息技术迅速发展的今天，许多酒店都充分利用网络平台，开发和使用网络预订系统，以提高经济效益。
酒店一般将客户分成散客户和常客户两类。
对于散客，网络系统采用在线回复的形式，确定客户的预订方案。
常客户指旅行团和会议等大宗客户，酒店在为他们提供优惠价格的同时，一般采用离线预订策略，即在客户提出需求后，系统不是立刻回复是否有房的信息，而是在规定的时间段内进行统筹安排，及时向客户发布和确认客房预订方案。
在房源紧张且无法满足客户提出的各种价位客房（如标准间、商务间、豪华间等）的预订要求时，还会向客户发布不同价位剩余房间数目的信息和优惠的入住条件，争取客户改变原来的预订要求，以提高入住率，增加酒店的效益。
酒店公布的客房报价一般针对于散客，有较大的利润空间，散客通过信用卡预付房租后，酒店管理者注重信誉，不会违约取消预订，除非客户本人提出退房。
因此可以假设，已经预订出的房间资源不能变动，酒店管理者在任何时段都掌握所有的房源剩余情况。
本文要讨论的是，根据一个时段内常客户提出的房间预订要求，以及当前各种价位房源的价格和剩余状况，以酒店收入最大为目标，为常客户确定客房分配方案。
酒店获得客房分配的最大经济效益所采用的方法是效益管理（yieldmanagement）研究的基本内容。
效益管理最初在航空管理和其他服务行业上得到了成功的应用。
1.问题的提出
一家酒店利用网络系统为常客户开设标准间和商务间两类客房的预订服务，酒店以一周（从星期一到星期日）为一个时段处理这项业务。
现在收到旅行社提出的一个一周的预订需求单，见表1和表2。
在表1中标以“星期一”那一行数字表示；星期一入住，只预订当天的2间，预订到星期二的20间，预订到星期三的6间，⋯⋯，一直预订到星期日的7间。
其他各行及表2都是类似的。
酒店对旅行社的报价见表3和表4。
表中数字的含义与表1和表2相对应，如对于表3，星期一入住，只住当天的每间888元，住到星期二的每间1680元，⋯⋯，一直住到星期日的每间4973元。
从这些数字可以看出，酒店在制定客房的报价时，对居住时间越长的顾客，给予的优惠越大。
考虑到周末客房使用率高的统计规律，这两天的价格定位相对较高。
这些价格全部对外公布。
表1旅行社提出的标准间需求单（单位：
间）
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
星期一
2
20
6
10
15
18
7
星期二
5
0
8
10
10
20
星期三
12
17
14
9
30
星期四
0
6
15
20
星期五
30
27
20
星期六
18
10
星期日
22
表2旅行社提出的商务间需求单（单位：
间）
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
星期一
12
8
6
10
5
4
7
星期二
9
12
10
9
5
2
星期三
12
7
6
5
2
星期四
8
7
5
1
星期五
5
8
24
星期六
26
18
星期日
0
表3酒店的标准间报价单（单位：
元/间）
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
星期一
888
1680
2530
3197
3996
4795
4793
星期二
888
1680
2530
3179
3996
4262
星期三
888
1680
2530
3374
3552
星期四
888
1776
2664
3197
星期五
999
1998
2697
星期六
999
1680
星期日
888
表4酒店的商务间报价单（单位：
元/间）
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
星期一
1100
2200
3000
4000
5000
5800
6000
星期二
1100
2200
3000
4000
5000
5800
星期三
1100
2200
3000
4000
5000
星期四
1100
2200
3300
4000
星期五
1200
2400
3300
星期六
1200
2300
星期日
1100
酒店根据房源的剩余情况，在考虑到各种应急预案的条件下，要明确两类客房每天的可提供量，这些数字列入表5。
表5酒店客房的可提供量（单位：
间）
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
标准间
100
140
160
188
150
150
150
商务间
80
120
120
120
120
120
120
现在的任务是，根据表1至表5的信息，以酒店收入最大为目标，针对以下3种不同情
况，制订旅行社的客房分配方案。
（1）完全按照客户提出的不同价位客房预订要求制订分配方案，称为常规策略。
（2）在标准间（低价位客房）不够分配、而商务间（高价位客房）有剩余的情况下，将一部分商务间按对标准间的需求进行分配并收费，称为免费升级策略。
（3）在首选价位客房无法满足需求、而其他价位客房有剩余的情况下，采用打折优惠的办法鼓励部分顾客改变原来的需求，选择其他价位客房，称为折扣优惠策略。
可以看出，第2，3种策略既可解决房源紧张的状况，又有利于提高酒店的声誉，还可以预见，这两种策略能够为酒店带来比常规策略更多的收入，让我们建立并求解这样一些模
型，看看究竟能为酒店创造多大的效益。
2.常规策略
2.1模型建立
记两类价位客房分别为k1（标准间）和k2（商务间），星期一到星期日为i（或j,l）
=1到i（或j，l）=7，k类客房的需求单上（表1和表2）从第i天入住到第j天的房间数为dk,i,j，k类客房的报价单上（表3和表4）从第i天入住到第j天的价格为Rk,i,j，k类房间第l天的可提供量（表5）为Ck,l。
设分配k类客房从第i天入住到第j天的房间数为Xk,i,j，这是问题的决策变量。
以酒店收入最大为目标，可以建立如下的整数线性规划模型。
maxRk,i,jXk,i,j，
k,i,j
s.t.Xk,i,jdk,i,j,k1,2;i,j1,2,,7,
Xk,i,jCk,l,S（k,l）（k,i,j）/ilj,k1,2;l1,2,,7,
i,j:
（k,i,j）S（k,l）
Xk,i,j0，整数，k1,2;i,j1,2,,7
（1）对这个模型做几点解释：
第一个约束表示两类客房的分配量都不应超出各自的需求量，当然，由于分配量越大收入越大，所以当以收入最大为目标时，分配会尽量满足需求；第2个约束要求在连续若干天入住时，每天分配的房间数都不应超过当天房间的提供量，其中S（k,l）表示这样一些从i到j的集合，如S（1,3）{1,1,3,1,1,4,1,1,5,1,1,6,（1,1,7）,1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,2,6,1,2,7,1,3,3,1,3,4,1,3,5,1,3,6,1,3,7}；另外，按照符号下标的定义应有ij，但是考虑到编程计算简单起见，不做这样的规定，而只需当ij时令dk,i,j0，按照约束条件自然就有Xk,i,j0（ij）。
2.2模型求解
采用LINGO软件求解整数线性规划模型
（1），程序见附录1。
输出有428行，前4行为
Globaloptimalsolutionfoundatiteration：
9
Objectivevalue：
1374103.
VariableValueReducedCost
DEMAND（1,1,1）2.0000000.000000
这个结果告诉我们，计算最优解一共用了9次迭代，最优目标值为1374103，表示按计算结果分配客房将有1374103元的收入。
输出中的VAR（1，i,j）是X1,i,j，即标准间的最优分配方案，将它整理成表6。
VAR（2，i,j）是X2,i,j，将它整理成表7。
计算结果中标示行
RowSlackorSurplusDualPrice
之后的数据为模型
（1）的每一个式子对应的结果。
第1行对应目标函数值，第2行到第99行对应于第1个约束的98个不等式，其数值表示按最优方案分配后原需求单上的欠缺房间数，在表6和表7中列入分配数值后面的括号内（没有括号的表示不欠缺，商务间没有欠缺）。
第100行到113行对应于第2个约束的14个不等式，表示每天客房的剩余数量，分别填在表6和表7的最后一行。
表6旅行社标准间分配方案（单位：
间）
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
星期一
2
20
6
10
15
18
7
星期二
5
0
8
10
10
20
星期三
12
17
0（14）
0（9）
27（3）
星期四
0
3（3）
0（15）
20
星期五
0（30）
0（27）
20
星期六
18
10
星期日
22
当日空房
22
11
0
23
0
0
24
表7旅行社商务间分配方案（单位：
间）
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
星期一
12
8
6
10
5
4
7
星期二
9
12
10
9
5
2
星期三
12
7
6
5
2
星期四
8
7
5
1
星期五
5
8
24
星期六
26
18
星期日
0
当日空房
28
33
18
27
25
13
66
从表6和表7可以看出，从星期五到星期日标准间房源紧张，不能满足需求，而商务间都有空置的客房，于是，应该采用一些灵活的策略，充分利用闲置的房间，提高酒店的收益。
3.免费升级策略
所谓免费升级，是在标准间不够分配、而商务间有剩余的情况下，将一部分商务间按对标准间的需求进行分配并收费，上面的计算结果表明，有条件施行这种策略。
dk,i,j,Rk,i,j,Ck,l,k1（标准间），k2（商务间），i,j,l1,2,,7的意义同前。
设需要标准间、分配也是标准间从第i天入住到第j天的房间数为X1,i,j，需要标准间、而分
配商务间从第i天入住到第j天的房间数为X1,2,i,j，需要商务间、分配商务间从第i天入住到第j天的房间数为X2,2,i,j，模型
（1）变为
maxR1,i,jX1,i,j
i,j
R1,i,jX1,2,i,jR2,i,jX2,2,i,j,
i,ji,j
s.t.X1,i,jX1,2,i,jd1,i,j,i,j1,2;i,j1,2,,7,
X2,2,i,jd2,i,j,i,j1,2;i,j1,2,,7,
X1,i,jC1,l,S（1,l）（1,i,j）/ilj,l1,2,,7,i,j:
（1,i,j）S（1,l）
Xu,2,i,jC2,l,S（2,l）（2,i,j）/ilj,u1,2,l1,2,,7,u,i,j:
（u,2,i,j）S（2,l）
X1,i,j,Xu,2,i,j0，整数，u1,2,i,j1,2,,7。
（2）对这个模型做几点解释：
在目标函数中需要标准间、但分配商务间的客房价格是（标准间价格）；第1个约束表示需要标准间、而分配为两类客房的总和不超出对标准间的需求；第2个约束是商务间分配和需求的关系；第3个约束为标准间的房源限制；第4个约束为商务间的房源限制。
采用LINGO软件求解整数线性规划模型
（2），程序见附录2。
计算输出中最优目标值为1448613元，VAR（1,i，j）是X1,i,j，即需要标准间、分配也是
标准间的分配方案，将结果整理在表8中。
表8免费升级时标准间分配方案
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
星期一
0
20
6
10
12
18
7
星期二
5
0
8
10
10
19
星期三
10
17
0
3
30
星期四
0
6
15
20
星期五
0
0
0
星期六
18
10
星期日
0
输出中var21（i,j）是X1,2,i,j，即需要标准间，而分配商务间的分配方案，将结果整理在表9中。
表9免费升级时需要标准间，而分配商务间的分配方案
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
星期一
2
0
0
0
3
0
0
星期二
0
0
0
0
0
1
星期三
0
0
14
0
0
星期四
0
0
0
0
星期五
0
0
20
星期六
0
0
星期日
22
将表8和表9的对应项求和，即X1,i,jX1,2,i,j，得到为满足标准间需要的客房实际分
配数量，再与常规策略的表6比较，可以计算出免费升级与常规策略相比时实际分配的增减值，结果列入表10，其中数字a/b的a表示免费升级的分配总量，b表示增减量（b0时略去）。
一个有趣的现象是分配给只住星期三一晚的客房数减少2间，而分配给从星期三入住到星期五、星期六和星期日的客房数分别增加14、3和3间，星期四入住到星期五和星期六的客房数分别增加3和15间。
这种明显的改进有利于提高酒店的收益。
表10免费升级时需要标准间，而分配两类房间的分配方案
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
星期一
2
20
6
10
15
18
7
星期二
5
0
8
10
10
20
星期三
10/-2
17
14/14
3/3
30/3
星期四
0
6/3
15/15
20
星期五
0
0
20
星期六
18
10
星期日
22
输出中VAR22（i,j）是X2,2,i,j，即需要商务间、分配商务间的分配方案，将结果整理在表11中。
与常规策略的表7比较，可以发现，仅有的区别是这里不再分配客房给星期五入住1天和2天的商务间客户（表11中数字用空心体表示），其原因是为了最大的经济收入，将这些客房分配给了星期三和星期四入住标准间的住宿时间比较长的顾客了。
表11免费升级时商务间分配方案
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
星期一
12
8
6
10
5
4
7
星期二
9
12
10
9
5
2
星期三
12
7
6
5
2
星期四
8
7
5
1
星期五
0
0
24
星期六
26
18
星期日
0
4.折扣优惠策略
所谓的优惠政策，是在首选价位客房无法满足需求、而其他价位客房有剩余的情况下，采用打折优惠的办法鼓励部分顾客改变原来的需求，选择其他价位客房。
dk,i,j,Ck,l,k1（标准间），k2（商务间），i,j,l1,2,,7的意义同前，记需要第u类房、而分配第k类房从第i天入住到第j天的价格为Ru,k,i,j，需要与分配的客房类型不
同时折扣因子为（01）。
设需要第u类房、而分配第k类房从第i天入住到第j天的房间数为Xu,k,i,j，u1（标准间），u2（商务间）。
模型
（1）变为
max（
（1）k,u）Ru,k,i,jXu,k,i,j，
i,j,k,u
s.t.Xk,u,i,jdk,i,j,k1,2,i,j1,2,,7,
u
Xu,k,i,jCk,l,S（k,l）（u,k,i,j）/ilj,k1,2,l1,2,,7,
u,i,j:
（u,k,i,j）S（k,l）
Xu,k,i,j0，整数，u,k1,2;i,j1,2,,7，
（3）
1,ku,
其中k,u在前两个模型的基础上很容易解释这个模型，只需注意第1个约束是k,u0,ku.
Xu,k,i,j而不是Xu,k,i,j对u求和不超出对k类房的需求。
取折扣因子0.9，采用LINGO软件求解整数线性规划模型（3），程序见附录3.
输出的前4行为
Globaloptimalsolutionfoundatiteration:
94
Objectivevalue:
1480658.
VariableValueReducedCost
ALPHA0.90000000.000000
即算法在迭代94次后收敛到全局最优解。
目标值为1480658元，比常规策略的目标值
1374103元提高7.75%，比免费升级策略的目标值1448613元提高2.21%。
采用折扣优惠策略与常规策略显然是不相容的，因为后者不能利用另一类空闲的房间。
折扣优惠策略与免费升级策略有什么关系呢？
在商务间房源紧张、不能满足需求时，折扣优惠策略可以安排需要商务间的客户入住标准间，但免费升级策略无法实现。
而在标准间房源紧张、不能满足需求时，折扣优惠策略就等同于免费升级策略吗？
即它们的最优解一样，只
是将免费升级房间的价格用折扣价替代？
让我们通过计算结果来回答这个问题。
表12中的数字形式是a/b/c，其中（输出中VAR（1,1,i,j）），b,X,2,1ij（输出中
VAR（1,2,i,j）），cab
表12折扣优惠时对标准间需求的分配方案
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
星期一
0/2/2
0/20/20
6/0/6
10/0/10
15/0/15
18/0/18
7/0/7
星期二
0/5/5
0/0/0
8/0/8
10/0/10
10/0/10
12/8/20
星期三
12/0/12
17/0/17
14/0/14
9/0/9
2/28/30
星期四
0/0/0
1/5/6
15/0/15
20/0/20
星期五
0/0/0
0/0/0
17/3/20
星期六
18/0/18
5/5/10
星期日
0/22/22
表12的3个数字可以与表8、表9和表10对应的3个数字比较，可以发现有一些不同。
特别是表12的c（折扣优惠策略下对标准间需求的分配总数）与表10（免费升级策略下对
标准间需求的分配总数）相比，有2处不同：
星期三只入住一天及星期三入住到星期六的分配数量，在免费升级策略下分别是10间和3间，而在折扣优惠策略下分别是12间和9间。
表13类似于表12，其中aX2,1,i,j（输出中VAR（2,1,i,j）），bX,2,2ij（输出中VAR（2,2,i,j）），cab。
表13折扣优惠时对商务间需求的分配方案
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
星期一
0/12/12
0/8/8
0/6/6
0/10/10
0/5/5
0/4/4
0/7/7
星期二
0/9/9
0/12/12
0/10/10
0/9/9
0/5/5
0/2/2
星期三
10/0/10
0/7/7
0/5/5
0/0/0
0/2/2
星期四
8/0/8
0/7/7
0/5/5
0/1/1
星期五
0/0/0
0/0/0
0/24/24
星期六
17/8/25
0/18/18
星期日
0/0/0
在表13中我们发现，需要商务间但只住星期三、星期四、星期六一天的一部分顾客被
分配给标准间，这在免费升级策略下是不允许的。
应该指出，由上面这些模型得到的分配方案只考虑了客户需求和房间的可供应量这两个约束，实际问题可能还有其他的条件，另外，当制订的分配方案不能完全满足客户需求时，
客户会改变原来的需求，这就需要反复调整，并且采用各种策略与客户磋商，争取达到双方满意的结果。
感谢：
编者感谢MomadeInc.提供的问题原型。
附录1常规策略下求解模型
（1）的LINGO
model;
sets：
class/1..2/;
day/1..7/;
dayandday（day，day）；dayandtype（class，day，day）：
demand，price，var；available（class，day）：
capacity；endsetsdata：
demand=
程序
！
两类房间
!
7天一个时段
！
两类房间的需求
2
20
6
10
15
187
0
升级会员 