与三角形有关的线段基础知识讲解Word下载.docx
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（3）证明线段之间的不等关系.
要点三、三角形的高、中线与角平分线
1、三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
三角形的高的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°
.
注意：
AD是ΔABC的高
∠ADB＝∠ADC＝90°
（或AD⊥BC于D）；
（1）三角形的高是线段；
（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；
（3）三角形的三条高：
（ⅰ）锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；
（ⅱ）钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；
（ⅲ）直角三角形三条高的交点是直角的顶点.
2、三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
三角形的中线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝
BC.
（1）三角形的中线是线段；
（2）三角形三条中线全在三角形内部；
（3）三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；
（4）中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
3、三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
三角形的角平分线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.
AD是ΔABC的角平分线
∠BAD＝∠DAC＝
∠BAC（或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC）.
（1）三角形的角平分线是线段；
（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；
（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.
要点四、三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；
在栅栏门上斜着钉一条（或两条）木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．
【典型例题】
类型一、三角形的定义及表示
1．如图所示．
（1）图中共有多少个三角形?
并把它们写出来；
（2）线段AE是哪些三角形的边?
（3）∠B是哪些三角形的角?
【思路点拨】在
（1）问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重、不漏地找出所有的三角形；
在
（2）问中，突破口在于由三角形定义知，除了A、E再找一个第三点，使这点不在AE上，便可得到以AE为边的三角形；
（3）问的突破口是∠B一定是以B为一个顶点组成的三角形中．
【答案与解析】
解：
（1）图中共有6个三角形，它们是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．
（2）线段AE分别为△ABE，△ADE，△ACE的边．
（3）∠B分别为△ABD，△ABE，△ABC的角．
【总结升华】在数三角形的个数时一定要按照一定的顺序进行，做到不重不漏．
举一反三：
【变式】如图，，以A为顶点的三角形有几个？
用符号表示这些三角形．
【答案】3个,分别是△EAB,△BAC,△CAD.
类型二、三角形的三边关系
2.三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是（）
【答案】D.
【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D选项中，2cm+3cm＞4cm．故能够组成三角形．
【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：
①判断出较长的一边；
②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形．
【高清课堂：
与三角形有关的线段例1】
【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.
（1）3，4，5；
（2）3，5，9；
（3）5，5，8.
【答案】
（1）能；
（2）不能；
（3）能.
3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______.
【解析】三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是│2-7│<
c<
2+7,
即5<
9．
【总结升华】三角形的两边a、b，那么第三边c的取值范围是│a-b│<
a+b.
【变式】
（2015春•盱眙县期中）四边形ABCD是任意四边形，AC与BD交点O．求证：
AC+BD＞
（AB+BC+CD+DA）．
【答案】证明：
∵在△OAB中OA+OB＞AB
在△OAD中有OA+OD＞AD，
在△ODC中有OD+OC＞CD，
在△OBC中有OB+OC＞BC，
∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA
即2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA，
即AC+BD＞
类型三、三角形中重要线段
4.小华在电话中问小明：
“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?
”小明提示：
“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（）
【答案】C
【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．
【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．
（2015•长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A．
5.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．
【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：
①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．
解：
依题意：
△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，
故有：
BC+CD+BD-（AC+CD+AD）＝3．
又∵CD为△ABC的AB边上的中线，
∴AD＝BD，即BC-AC＝3．
又∵BC＝8，∴AC＝5．
答：
AC的长为5cm．
【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD＝BD是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．
【变式】如图所示，在△ABC中，D、E分别为BC、AD的中点，且
，则
为________．
【答案】1.
类型四、三角形的稳定性
6.如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即AB、CD），这样做的数学道理是什么?
三角形的稳定性．
【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．
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