学科专业知识小学数学.docx
《学科专业知识小学数学.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《学科专业知识小学数学.docx(26页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
学科专业知识小学数学
.
2013教师招聘考试学科专业知识(小学数学)教材
一、封面
二、图书基本信息
作者:
《教师公开招聘考试专用系列教材》编委会
出版社:
教育科学出版社
作者简介
《教师公开招聘考试专用系列教材》编委会由华图教育一线教师招聘考试研
究专家、学者组成,编委会成员的专业背景涵盖了中小学各学段全部22门学科
领域,均具有深厚的教育教学背景和扎实的学科专业基础知识,对教师公开招聘
的考试政策、考试形式、出题思路、重点难点等有着全面独到的研究。
编委会一
直致力于为广大考生提供质量上乘、适用高效备考的全国最专业的教师招聘考试
图书。
三、图书目录
第一部分教材教法
第一章小学数学课程基础3
核心考点提示3
考纲知识导读3
.
.
一线名师精讲3
第一节小学数学基本理念和设计思路3
第二节小学数学课程目标、内容标准和实施建议7
命题热点集训22
第二章小学数学教学基础24
核心考点提示24
考纲知识导读24
一线名师精讲24
第一节小学数学教学原则、方法和策略24
第二节小学数学教学设计和评价26
命题热点集训31
第三章小学数学教材33
核心考点提示33
考纲知识导读33
一线名师精讲33
第一节小学数学教材概述33
第二节小学数学教材分析35
命题热点集训39
第四章经典教学案例与教案设计展示41
经典教学案例一41
经典教学案例二44
经典教学案例三46
.
.
经典教案设计一47
经典教案设计二51
经典教案设计三54
第二部分专业知识
第一章数与代数59
核心考点提示59
考纲知识导读59
一线名师精讲60
第一节数及数的运算60
第二节代数式及其运算63
第三节方程及其运算69
命题热点集训71
第二章不等式及其解法73
核心考点提示73
考纲知识导读73
一线名师精讲74
第一节不等式及其基本性质74
第二节解不等式78
命题热点集训81
第三章集合与简易逻辑84
核心考点提示84
考纲知识导读84
.
.
一线名师精讲85
第一节集合85
第二节简易逻辑91
命题热点集训96
第四章函数99
核心考点提示99
考纲知识导读99
一线名师精讲100
第一节函数的概念和基本性质100
第二节一次函数与二次函数110
第三节指数函数125
第四节对数函数127
第五节三角函数129
命题热点集训138
第五章数列143
核心考点提示143
考纲知识导读143
一线名师精讲144
第一节数列的概念与简单表示法144
第二节等差数列147
第三节等比数列150
命题热点集训154
.
.
第六章统计与概率159
核心考点提示159
考纲知识导读159
一线名师精讲160
第一节统计160
第二节概率167
第三节抽样与分布171
命题热点集训174
第七章向量180
核心考点提示180
考纲知识导读180
一线名师精讲181
第一节平面向量181
第二节空间向量189
命题热点集训194
第八章复数199
核心考点提示199
考纲知识导读199
一线名师精讲199
第一节复数的概念199
第二节复数的运算202
命题热点集训204
.
.
第九章极限与数学归纳法207
核心考点提示207
考纲知识导读207
一线名师精讲208
第一节极限208
第二节数学归纳法213
命题热点集训215
第十章微积分初步221
核心考点提示221
考纲知识导读222
一线名师精讲222
第一节导数222
第二节微分233
第三节积分234
命题热点集训239
第十一章线性代数243
核心考点提示243
考纲知识导读243
一线名师精讲244
第一节行列式244
第二节矩阵247
第三节线性方程组256
.
.
第四节线性空间258
命题热点集训263
第十二章几何初步267
核心考点提示267
考纲知识导读267
一线名师精讲268
第一节基本几何元素268
第二节多边形270
命题热点集训276
第十三章直线、平面、简单几何体280
核心考点提示280
考纲知识导读280
一线名师精讲280
第一节点、线、面及其位置关系280
第二节简单几何体290
命题热点集训299
第十四章解析几何305
核心考点提示305
考纲知识导读305
一线名师精讲306
第一节直线与圆的方程306
第二节圆锥曲线314
.
.
命题热点集训327
附录常用数学公式335
四、图书内容节选
第一章数与代数
第二部分专业知识
第一章数与代数
核心考点提示
理解什么是整数,能判断一个数是奇数还是偶数。
能判断质数和合数,会分解质因数和求公约数、公倍数。
理解带余除法的定义。
4.会正确地读、写小数。
了解分母是“10、”“100的”分数与小数的关系。
能区分数与百分数。
了解单项式和多项式的概念。
理解整式的四则运算。
理解分式的乘法法则。
理解分式的加减法法则。
理解异分母分式的加减法法则。
理解分式的约分的步骤。
理解因式分解的常用方法(提公因式法、公式法)。
了解一元n次方程的定义。
理解一元一次方程的解法。
考纲知识导读
数与代数数及数的运算整数
小数
分数
常见的量
代数式及其运算
整式
.
.
分式
因式分解
方程及其运算
方程的认识
一元一次方程的运算及其应用
一线名师精讲
第一节数及数的运算
一、整数★★
自然数:
我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3⋯⋯叫做自然
数.一个物体也没有,用0表示.0也是自然数.
计数单位:
一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿⋯⋯都是计数
单位.每相邻两个计数单位之间的进率都是10.这样的计数法叫做十进制计数法.
数位:
计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位.
数的整除
(1)整除、倍数、约数
整数a除以整数b(b≠0),除得的商是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,
或者说b能整除a.
如果数a能被数b(b≠0)整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数(或a的
因数).倍数和约数是相互依存的.
真题点睛
1.在有余数的除法里,余数和除数相比较,()。
A.余数小B.除数小C.一样大D.余数大【答案】A
【名师点评】在有余数的除法里,余数和除数相比较,余数小。
若余数大于除
数,则能继续进行除法运算。
2.38÷8=()。
A.4⋯⋯6B.5⋯⋯2C.6⋯⋯4D.5⋯⋯4
【答案】A
【名师点评】38÷8商为4,余数为6。
一个数的约数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身.例如:
10的约数有1、2、5、10,其中最小的约数是1,最大的约数是10.一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身.3的倍数有:
3、6、9、
12⋯⋯其中最小的倍数是3,没有最大的倍数.
(2)整除的性质
个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除,例如:
202、480、304,都能被
2整除.
个位上是0或5的数,都能被5整除,例如:
5、30、405都能被5整除.
.
.
一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就能被3整除,例如:
12、108、
204都能被3整除.
一个数各位上的数的和能被9整除,这个数就能被9整除.
能被3整除的数不一定能被9整除,但是能被9整除的数一定能被3整除.
一个数的末两位数能被4(或25)整除,这个数就能被4(或25)整除.例如:
16、404、1256都能被4整除,50、325、500、1675都能被25整除.一个数的末三位数能被8(或125)整除,这个数就能被8(或125)整除.例如:
1168、4600、5000、12344都能被8整除,1125、13375、5000都能被125整除.
(3)奇数和偶数
自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数.能被2整除的数叫做偶数.不能
被2整除的数叫做奇数.
0也是偶数.
(4)质数与合数
一个数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数),100以
内的质数有:
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、
59、61、67、71、73、79、83、89、97.
一个数,如果除了1和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数,例如4、6、8、
9、12,都是合数.
1不是质数也不是合数,自然数除了0和1外,不是质数就是合数.
真题点睛
1—20中的质数为:
。
【答案】2、3、5、7、11、13、17、19
【名师点评】20以内的质数,共8个:
2、3、5、7、11、13、17、19。
(5)分解质因数
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式.其中每个质数都是这个合数的因数,
叫做这个合数的质因数.
例如15=3×5,3和5叫做15的质因数.把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,
叫做分解质因数.例如把28分解质因数28=2×2×7.
(6)公约数与公倍数
几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数.其中最大的一个,叫做这几个数的
最大公约数,例如12的约数有1、2、3、4、6、12;18的约数有1、2、3、6、
9、18.其中,1、2、3、6是12和18的公约数,6是它们的最大公约数.
如果较小数是较大数的约数,那么较小数就是这两个数的最大公约数.
公约数只有1的两个数,叫做互质数,成互质关系的两个数,有下列几种情况:
1和任何自然数互质.相邻的两个自然数互质.
两个不同的质数互质.
当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质.
两个合数的公约数只有1时,这两个合数互质,如果几个数中任意两个都互质,
就说这几个数两两互质.
如果两个数是互质数,它们的最大公约数就是1.
.
.
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的
最小公倍数,如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18⋯⋯
3的倍数有3、6、9、12、15、18⋯⋯其中6、12、18⋯⋯是2、3的公倍数,6
是它们的最小公倍数.如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数.如果两个数是互质数,那么这两个数的乘积就是它们的最小公倍数.几个数的公约数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的.
5.带余除法
整数a除以整数b,若除尽,则余数为0,称为整除;若除不尽,则余数不为0,
就称为带余除法。
在一道带余除法算式中,涉及四个数:
被除数÷除数=商⋯⋯余数,最基本的数
量关系式是:
(1)被除数=商×除数+余数。
(2)(被除数-余数)÷除数=商。
(3)(被除数-余数)=商×除数。
(4)(被除数-余数)÷商=除数。
二、小数★★
小数
小数由整数部分、小数部分和小数点组成.测量物体时,往往得到的不是整数,古
人就发明了用小数来补充整数。
小数是十进制分数的一种特殊表现形式.分母是
10、100、1000⋯⋯的分数可以用小数表示.所有分数都可以表示成小数,小数中
除无限不循环小数外都可以表示成分数.如、、这样的数都是小数.
用小数表示分母是10的分数
1分米是1米的110,即米;1厘米是1分米的110,即分米.
用小数表示分母是100的分数
1厘米是1米的1100,即米.三、分数★★★
分数
把单位“1平”均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫分数.分数中间的一条
横线叫做分数线,分数线上面的数叫做分子,分数线下面的数叫做分母.读作几
分之几.分母表示把一个物体平均分成几份,分子是表示几份这样的数.
百分数与分数的区别
(1)意义不同,百分数只表示两个数的倍比关系,不能带单位名称;分数既可
以表示具体的数,又可以表示两个数的关系,表示具体数时可带单位名称.
(2)百分数的分子可以是整数,也可以是小数;而分数的分子不能是小数,只能是除0以外的自然数;百分数不可以约分,而分数一般通过约分化成最简分数.
(3)任何一个百分数都可以写成分母是100的分数,而分母是100的分数并不都具有百分数的意义.
(4)百分数在生产和生活中,常用于调查、统计、分析和比较,而分数常常在
计算、测量中得不到整数结果时使用.
.
.
真题点睛
47()59(填入“>”“<”)。
“=”
【答案】>
【名师点评】47-59=4×97×9-5×79×7=163>0,所以47>59。
四、常见的量★
质量单位:
吨、千克、克.
时间单位:
世纪、年、月、日、时、分、秒.
长度单位:
千米、米、分米、厘米、毫米.
第二节代数式及其运算
一、整式★★★★★
(一)整式的概念
单项式和多项式统称为整式.
(二)单项式
单项式的表示形式
(1)数与字母的乘积的代数式叫做单项式.
(2)单个字母是单项式.(3)单个的数是单项式.
(4)字母与字母相乘称为单项式.
(5)数与数相乘称为单项式.
单项式的系数
单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数.
如果一个单项式,只含有数字因数,是正数的单项式系数为1,是负数的单项式
系数为-1.
单项式的次数
一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
(三)多项式
多项式的概念:
几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多
项式的项,其中不含字母的项叫做常数项.一个多项式有几项就叫做几项式.多项
式中的符号,看作各项的性质符号.一元n次多项式最多有n+1项.
多项式的次数:
多项式中,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数.
多项式的排列:
(1)把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列
起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列;
(2)把一个多项式按某一个字母的指
数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列.
注意:
由于多项式是几个单项式的和,所以可以用加法的运算定律,来交换
各项的位置,而保持原多项式的值不变.
为了便于多项式的计算,通常总是把一个多项式,按照一定的顺序,整理成整洁简单的形式,这就是多项式的排列.
做多项式的排列题时应注意:
(1)在排列时,需把每一项的性质符号看做是这一项的一部分,一起移动.
(2)有两个或两个以上字母的多项式排列时,要注意:
①先确认按照哪个字母的指数来排列.
②确定按这个字母向里排列,还是向外排列.
.
.
(3)同类项的概念:
所含字母相同,并且相同字母的次数也相同的项叫做同类
项,几个常数项也叫同类项.
掌握同类项的概念时应注意:
(1)判断几个单项式或项,是否是同类项,要掌握两个条件:
①所含字母相同.
②相同字母的次数也相同.
(2)同类项与系数无关,与字母排列的顺序也无关.
(3)几个常数项也是同类项.
(4)合并同类项
①合并同类项的概念
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项.
②合并同类项的法则
同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变.
③合并同类项步骤
准确地找出同类项.
逆用分配律,把同类项的系数加在一起(用小括号),字母和字母的指数不变.
写出合并后的结果.
(5)在掌握合并同类项时注意:
①如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后,结果为0.
②不要漏掉不能合并的项.
③只要不再有同类项,就是结果(可能是单项式,也可能是多项式).
(四)整式和整式的四则运算
整式分为单项式和多项式,整式的运算分为加减和乘除.
整式的加减
合并同类项是加减运算中的重点,也是难点.合并同类项时要注意以下三点:
(1)要掌握同类项的概念,会辨别同类项,并准确地掌握判断同类项的两条标
准;
(2)明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项,经过合并同类
项,式的项数会减少,达到化简多项式的目的;
(3)合并是指同类项的系数的相加,并把得到的结果作为新的系数,要保持同
类项的字母和字母的指数不变.
整式的乘除
整式的乘除重点是其中的乘法公式.乘法公式的结构特征以及公式中的字母的广
泛含义,学生不易掌握.因此,乘法公式的灵活运用是难点,添括号(或去括号)
时,括号中符号的处理是另一个难点.添括号(或去括号)是对多项式的变形,
要根据添括号(或去括号)的法则进行.在整式的乘除中,单项式的乘除是关键,
这是因为,一般多项式的乘除都要“转化”为单项式的乘除.
(1)同底数幂的乘法法则:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
(2)幂的乘方法则:
幂的乘方,底数不变,指数相乘.
(3)积的乘方法则:
积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂
相乘.
(4)单项式与单项式相乘有以下法则:
单项式与单项式相乘,把它们的系数、
同底数幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式.
(5)单项式与多项式相乘有以下法则:
单项式与多项式相乘,就是用单项式去
.
.
乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
(6)多项式与多项式相乘有下面的法则:
多项式与多项式相乘,即用一个多项
式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
(7)两个单项式相除可分为三个步骤:
①把系数相除,所得的结果作为商的系数;
②把同底数的幂分别相除,以所得的结果作为商的因式;
③只在被除式里含有的字母,连同其指数作为商的一个因式.
(8)多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得
的商相加.
整式四则运算的主要题型
(1)单项式的四则运算此类题目多以选择题和应用题的形式出现,其特点是考查单项式的四则运算.
(2)单项式与多项式的运算
此类题目多以解答题的形式出现,技巧性强,其特点为考查单项式与多项式的四
则运算.
例:
先去括号,再合并同类项:
2a-3b+[4a-(3a-b)].
解:
2a-3b+[4a-(3a-b)]
=2a-3b+(4a-3a+b)
=2a-3b+(a+b)
=2a-3b+a+b
=3a-2b
说明:
本题指出了多项式化简的运算顺序,多重括号的去除,一般按去小括号→
去中括号→去大括号的程序,逐次去掉括号,每去一层括号都要合并同类项一次,
以使运算简便.也可以由外向里脱,即按去大括号→去中括号→去小括号的程序
逐渐去掉括号.
真题点睛
先化简,再求值:
x(x+2y)-(x+1)2+2x,其中x=-2,y=12
【答案】-3
【名师点评】原式化简为2xy-1,将x=-2,y=12代入原式得-3.
二、分式★★★
(一)分式的概念
定义:
一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子AB
叫做分式.注:
AB=A×1B
组成:
在分式AB中,A称为分式的分子,B称为分式的分母.
意义:
对于任意一个分式,分母都不能为0,否则分式无意义.
分式值为0的条件:
在分母不等于0的前提下,分子等于0,则分式值为0.
分式的概念包括3个方面:
(1)分式是两个整式相除的分式,其中分子为被除式,分母为除式,分数线起
.
.
除号的作用;
(2)分式的分母中必须含有字母,而分子中可以含有字母,也可以不含字母,
这是区别整式和分式的重要依据;
(3)在任何情况下,分母的值都不可以为0,否则分式无意义.这里,分母是指
除式而言.而不是只就分母中某一个字母来说的.也就是说,分式的分母不为零是
隐含在此分式中而无须注明的条件.
注意:
判断一个式子是否是分式,不要看式子是否是AB的形式,关键要满足:
(1)分式的分母中必须含有未知数.
(2)分母的值不能为零,如果分母的值为零,那么分式无意义.
由于字母可以表示不同的数,所以分式比分数更具有一般性.
(二)约分
把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分.
(三)分式的约分步骤
如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式,将它们的公
因式约去.
分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别进行因式分解,再将公因式
约去.
注意:
公因式的提取方法:
系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和
分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.
(四)最简分式
一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一
个分式化为最简分式.
(五)分式的通分
把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式,叫做分式的通分.
(六)分式的通分步骤
先求出所有分式分母的最简公分母,再将所有分式的分母变为最简公分母.同时各
分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子.
注意:
(1)约分和通分的依据都是分式的基本性质.
(2)分式的约分和通分是互逆运算过程.
(七)分式的四则运算
同分母分式加减法则:
同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.
异分母分式加减法则:
异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后
再按同分母分式的加减法法则进行计算.
分式的乘法法则:
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的
积作为积的分母.
分式的除法法则:
两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式
相乘.
三、因式分解★★★
(一)定义
把一个多项式化为几个最简整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式的因式
分解(也叫做分解因式).
(二)意义
因式分解是最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解
.
.
决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技
巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学
生的思维能力,都有着十分独特的作用.学习它,既可以复习整式的四则运算,
又为学习分式打好基础.学好它,既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能
力,又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.
(三)因式分解的方法
提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.
如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成
两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
具体方法:
当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;
字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一
项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的.提出“-”号时,多
项式的各项都要变号.
口诀:
找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形
看奇偶.
提公因式法基本步骤:
(1)找出公因式;
(2)提公因式并确定另一个因式:
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母;
②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除
以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原
多项式的每一项,求得剩下的另一个因式;
③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同.
公式法
如果把乘法反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法.
(a+b)(a-b)=a2-b2反过来为a2-b2=(a+b)(a-b)(a+b)2=a2+2ab+b2反过来为a2+2ab+b2=(a+b)2
(a-b)2=a2-2ab+b2反过来为a2-2ab+b2=(a-b)2注意:
能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍.
分解因式技巧
分解因式与整式乘法互为逆变形.
分解因式技巧掌握