初中几何辅助线大全最全汇总.docx
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初中几何辅助线大全最全汇总
三角形中作辅助线的常用方法举例
一、延长已知边构造三角形：
例如：
如图7-1：
已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求证：
AD＝BC
分析：
欲证AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：
△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
证明：
分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，
∵AD⊥ACBC⊥BD（已知）
CAE＝∠DBE＝90°（垂直的定义）
在△DBE与△CAE中
EE（公共角）
DBECAE（已证）
BDAC（已知）
∴△DBE≌△CAE（AAS）
∴ED＝ECEB＝EA（全等三角形对应边相等）
∴ED－EA＝EC－EB
即：
AD＝BC。
例如：
如图9-1：
在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E。
求证：
BD＝2CE
分析：
要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE
与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。
证明：
分别延长BA，CE交于点F。
∵BE⊥CF（已知）
∴∠BEF＝∠BEC＝90°（垂直的定义）
在△BEF与△BEC中，
12（已知）
BEBE（公共边）
BEFBEC（已证）
∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=1CF（全等三角形对应边相等）
2
∵∠BAC=90°BE⊥CF（已知）
∴∠BAC＝∠CAF＝90°∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°
∴∠BDA＝∠BFC
在△ABD与△ACF中
BACCAF（已证）
BDABFC（已证）
AB＝AC（已知）
ABD≌△ACF（AAS）∴BD＝CF（全等三角形对应边相等）∴BD＝2CE
四、取线段中点构造全等三有形。
例如：
如图11-1：
AB＝DC，∠A＝∠D求证：
∠ABC＝∠DCB。
分析：
由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△
ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。
下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点
M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。
问题得证。
证明：
取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。
则AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN
ANDN（辅助线的作法）
AD（已知）
ABDC（已知）
∴△ABN≌△DCN（SAS）
ABN＝∠DCNNB＝NC（全等三角形对应边、角相等）
在△NBM与△NCM中
NB＝NC（已证）
BM＝CM（辅助线的作法）
NM＝NM（公共边）
∴△NMB≌△NCM，（SSS）∴∠NBC＝∠NCB（全等三角形对应角相等）∴∠NBC＋∠
ABN＝∠NCB＋∠DCN即∠ABC＝∠DCB。
巧求三角形中线段的比值
例1.如图1，在△ABC中，BD：
DC＝1：
3，AE：
ED＝2：
3，
AF：
FC。
所以AF：
FC＝
AF＝FC所以AF：
AC＝1：
2
DG：
FC＝1：
4，FC＝4DG
DG：
AF＝DE：
AE又因为AE：
ED＝2：
3
所以DG：
AF＝3：
2
例2.如图2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：
FD
解：
过点C作CG//DE交AB于点G，则有EF：
EF：
GC＝1：
2，
DE＝2GC
所以BC：
BD＝1：
2CG：
DE＝1：
2
FD＝ED－EF＝
所以EF：
FD＝
以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，
请再看两例，让我们感受其中的奥妙！
例3.如图3，BD：
DC＝1：
3，AE：
EB＝2：
3，求AF：
FD。
二由角平分线想到的辅助线
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：
a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相
等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；
②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下
考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线
（一）、截取构全等
例1．如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，
CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：
BC=AB+C。
D
分析：
此题中就涉及到角平分线，可以利
用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分
线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段
的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题
延长短的线段或在长的线段长截取一
部分使之等于短的线段。
但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明
延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，
进而达到所证明的目的。
例2．已知：
如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=D，求证BDC⊥AC
构造的方法还是截取线段
分析：
此题还是利用角平分线来构造全等三角形。
相等。
其它问题自已证明。
例3．已知：
如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD
平分∠BAC，求证：
AB-AC=CD
分析：
此题的条件中还有角的平分线，在证明
中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的
和差倍分问题。
用到的是截取法来证明的，在长的
线段上截取短的线段，来证明。
试试看可否把短的延长来证明呢？
过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1．如图2-1，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=B。
C
求证：
∠ADC+∠B=180
分析：
可由C向∠BAD的两边作垂线。
近而证∠ADC
与∠B之和为平角。
例2．如图2-2，在△ABC中，∠A=90，AB=AC，∠ABD=∠CBD。
求证：
BC=AB+AD
分析：
过D作DE⊥BC于E，则AD=DE=C，则构造出E
全等三角形，从而得证。
此题是证明线段的和差倍分问题，
从中利用了相当于截取的方法。
例3．已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。
求证：
∠BAC
的平分线也经过点P。
分析：
连接AP，证AP平分∠BAC即可，也就是证P到AB、
AC的距离相等。
（三）：
作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，
垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三
角形的三线合一的性质。
（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
例1．已知：
如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。
1
求证：
DH=（AB-AC）
2
分析：
延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。
问题可证。
例2．已知：
如图3-2，AB=AC，∠BAC=90，AD为∠A
BC的平分线，CE⊥BE.求证：
BD=2C。
E
分析：
给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的
垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。
例3．已知：
如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，
过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长
交AE于M。
求证：
AM=M。
E
分析：
由AD、AE是∠BAC内外角平分线，可得EA
AF，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。
例4．已知：
如图3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD
1
延长线于M。
求证：
AM=（AB+AC）
2
分析：
题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作△AB
1
D关于AD的对称△AED，然后只需证DM=1EC，另外
1
由求证的结果AM=（AB+AC），即2AM=AB+A，也可C
2
尝试作△ACM关于CM的对称△FCM，然后只需证DF=C
F即可。
由线段和差想到的辅助线
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：
1、截长：
在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
2、补短：
将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。
注意：
利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。
例1．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：
AE=AD+B。
E
例3已知：
如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，
求证：
BC=AB+D。
C
例4如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB
1
于M，且AM=M。
求证：
BCD=2DB。
1．如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：
AD=AB+C。
D
2.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C
在AE的异侧，
BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。
求证：
BD=DE+CE
由中点想到的辅助线
例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、
CD的延长线分别交EF的延长线G、H。
求证：
∠BGE∠=CHE。
证明：
连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，
ME是ΔBCD的中位线，
MECD，∴∠MEF=∠CHE，
MF是ΔABD的中位线，
MFAB，∴∠MFE=∠BGE，
AB=CD，∴ME=M，∴∠FMEF=∠MFE，
从而∠BGE=∠CHE。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
例3．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。
解：
延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=×22=4。
在ΔACD和ΔEBD中，
AD=ED，∠ADC∠=EDB，CD=B，D
∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，
从而BE=AC=。
3
在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，
∴BD===，故BC=2BD=2
AD又是BC边上的中
例4．如图5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，
线。
求证：
ΔABC是等腰三角形。
证明：
延长AD到E，使DE=AD。
仿例3可证：
ΔBED≌ΔCAD，
故EB=AC，∠E=∠2，
又∠1=∠2，
∴∠1=∠E，
AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。
例5．如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：
AC=BD。
证明：
取AB的中点E，连结DE、CE，则DE、CE分别为RtΔABD，RtΔABC
斜边AB上的中线，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。
∵AB//DC，
∴∠CDE∠=1，∠DCE∠=2，
∴∠1=∠2，
在ΔADE和ΔBCE中，
DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，
ADE≌ΔBCE，∴AD=BC，从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。
、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线
例6．如图7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=9°，0BD平分∠ABC交AC
于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。
求证：
BD=2C。
E
证明：
延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中，
∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=9°，0
∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。
又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。
90，
在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=
ABD≌ΔACF，∴BD=C，∴FBD=2C。
E
注：
此例中BE是等腰ΔBCF的底边CF的中线。
口诀：
三角形中有中线，延长中线等中线。
题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可
得到全等三角形。
1如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：
AD=2AE。
3如图，AB=AC，AD=AE，M为BE中点，∠BAC=∠DAE=90°。
求证：
AM⊥DC。
5．已知：
如图AD为△ABC的中线，AE=EF，求证：
BF=ACA
D
五全等三角形辅助线
（一）、倍长中线（线段）造全等
1：
（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是
2：
如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，
E+CF与EF的大小.
3：
如图，△ABC中，BD=DC=A，CE是DC的中点，求证：
AD平分∠BAE.
例题：
以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰Rt
ACE，BADCAE90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：
AM
与DE的位置关系及数量关系．
（1）如图①当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是
线段AM与DE的数量关系是；
（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转（0<<90）后，
如图②所示，
（1）问中得到的两个结论是否发生改变？
并说明理由．
1.如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：
CD⊥AC
2：
如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+
BD
0
3：
如图，已知在VABC内，
BAC60
C400，P，Q分别在BC，CA
上，并且AP，
=AB+BP
4：
如图，在四边形
证：
AC
BQ分别是BAC，ABC的角平分线。
求证：
ABCD中，BC>BA,AD＝CD，BD平分
B
5
1800
1：
如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：
OE
=OD
D
2：
（06郑州市中考题）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，
DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
（1）说明BE=CF的理由；
（2）如果AB=a，AC=b，
求AE、BE的长.
3.如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为
对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、
BCA的平分线，AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而
（1）中的其它条件不变，
请问，你在
（1）中所得结论是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请说明B
理由。
（第23题图）
2：
D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F
BDC1200，以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC于
点N，连接MN，则AMN的周长为
BC，∠ABC120o，
4．已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，AB
MBN60o，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长
线）于E，F．
论是否成立？
若成立，请给予证明；若不成立，线段
AE，CF，EF又有怎样的
数量关系？
请写出你的猜想，不需证明．
5.已知:
PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD使,P、D两点落在直线AB
.
（1）如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;
（2）当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.
6.在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为VABC外
一点，且MDN60,BDC120,BD=DC.探究：
当M、N分别在直线AB、AC
上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L
I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数
量关系是；此时Q；
L
7.II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个
结论还成立吗？
写出你的猜想并加以证明；
8.III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，
若AN=x，则Q=（用x、L表示）．
解：
过点B作BM//AD交CD于点M，
在△BCM中，BM=AD=，4
CM=C－DDM=C－DAB=8－3=5，
所以BC的取值范围是：
5－42、平移两腰：
例3如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F
分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。
解：
过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得
∠EGH＋∠EHG∠=B＋∠C=90°
则△EGH是直角三角形
因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点
11
所以EFGH（BCBGCH）22
11
（BCAEDE）[BC（AEDE）]
22
11
（BCAD）（31）1
22
3、平移对角线：
例4、已知：
梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形AB
CD的面积．
例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=5，求证：
A
C⊥BD。
解：
过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E，
易得四边形BCED是平行四边形，
则DE=BC，CE=BD5=2，
所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。
在等腰梯形ABCD中，AC=BD5=2，
所以在△ACE中，AC2CE2（52）2（52）2100AE2，
从而AC⊥CE，于是AC⊥BD。
例6如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求
梯形ABCD的面积。
解：
过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E，
则四边形ACED是平行四边形，
即SABDSACDSDCE。
所以S梯形ABCDSDBE
EHDE2DH2AC2DH
1521229（cm）
BHBD2DH220212216（cm）
112
SDBEBEDH（916）12150（cm2）
所以22，即梯形ABCD的面积是
例7如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠
C=80°，AD=2，BC=5，
求CD的长。
解：
延长BA、CD交于点E。
在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。
所以∠E=50°，从而BC=EC=5
同理可得AD=ED=2
所以CD=E－CED=5－2=3
例8.如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于
ABCD的形状，并证明你的结论.
解：
四边形ABCD是等腰梯形.
证明：
延长AD、BC相交于点E，如图所示.
∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，
∴△DAB≌△CBA.
∴∠DAB＝∠CBA.
∴EA＝EB.
又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.
而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180，
∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB.
又AD不平行于BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形.
例9如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=C，DBE⊥CD于点E，
AD=DE。
解：
连结BD，
由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；
由BC=C，得∠DDBC=∠BDC。
所以∠ADB=∠BDE。
又∠BAD=∠DEB=9°，0BD=BD，
所以Rt△BAD≌Rt△BED，
得AD=D。
E
1、作一条高
例10如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC
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