完整版《抛物线》典型例题12例含标准答案解析.docx
《完整版《抛物线》典型例题12例含标准答案解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版《抛物线》典型例题12例含标准答案解析.docx（16页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
完整版《抛物线》典型例题12例含标准答案解析
《抛物线》典型例题12例
典型例题一
例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程．
22
（1）x4y
（2）xay2（a0）分析：
（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程．
（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程．
解：
（1）p2，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：
y1
211
（2）原抛物线方程为：
y21x，2p1aa
①当a0时，p1，抛物线开口向右，
24a
11
∴焦点坐标是（1,0），准线方程是：
x1．
4a4a
②当a0时，p1，抛物线开口向左，
24a
11
∴焦点坐标是（,0），准线方程是：
x．4a4a
斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k．
故所求直线方程为：
y2x2．
则所求直线方程为：
y2x2．
典型例题三
例3求证：
以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切．分析：
可设抛物线方程为y22px（p0）．如图所示，只须证明A2BMM1，
则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切．
证明：
作AA1l于A1,BB1l于B1．M为AB中点，作
MM1l于M1，则由抛物线的定义可知：
AA1AF,BB1BF
在直角梯形BB1A1A中：
1
MM1AB，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切．
12
说明：
类似有：
以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦
为直径的圆与相应的准线相交．
典型例题四
例4
（1）设抛物线y24x被直线y2xk截得的弦长为35，求k值．
为9时，求P点坐标．
求P点坐标．
2
解：
（1）由y
y
4x
2x
得：
4x2k
2
（4k4）xk20
k2
x1x21k,x1x2
4
AB
（122）（x1x2）2
5（x1x2）24x1x25（1k）2k2
5（12k）
AB
35,5（12k）
35，即k4
2）
S9，底边长为35，∴三角形高h2965
35
∵点P在x轴上，∴设P点坐标是（x0,0）
则点P到直线y2x4的距离就等于h，即0222212
65
5
x0
1或x05，即所求P点坐标是（－1，0）或（5，0）．
典型例题五
例5已知定直线l及定点A（A不在l上），n为过A且垂直于l的直线，设N为l上任一点，AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证P的轨迹为抛物线．
分析：
要证P的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A为定点，l为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PAPN且PNl即可．证明：
如图所示，连结PA、PN、NB．
由已知条件可知：
PB垂直平分NA，且B关于AN的对称点为P．
∴AN也垂直平分PB．则四边形PABN为菱形．即有PAPN．
ABl.PNl.
则P点符合抛物线上点的条件：
到定点A的距离与到定直线的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线．
典型例题六
例6若线段P1P2为抛物线C:
y22px（p0）的一条
分析：
此题证的是距离问题，如果把它们用两点间
的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用
抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物
线的定义与平面几何知识，把结论证明出来．
证法一：
F（2p,0），若过F的直线即线段P1P2所在直线斜率不存在时，
则有P1FP2Fp,
11112
P1FP2Fppp
若线段P1P2所在直线斜率存在时，设为
k，则此直线为：
yk（x2p）（k0），且
设P1（x1,y1）,P2（x2,y2）．
k（xp）
2得：
k（xp）
2
k2x2
p（k2
2）x
k2p2
4
x1
x2
2
p（k22）
k2
x1x2
根据抛物线定义有：
P1Fx1
2p,P2F
x1
2p,P1P2
x1x2p
则11P1F
P2F
P1FP2FP1FP2F
x1x2
（x12p）（x22）
x2p
2p
4
x1
x1x22p（x1x2）
1
请将①②代入并化简得：
1
12
P1FP2Fp
证法二：
如图所示，设P1、P2、F点在C的准线l上的射影分别是P1、P2、F，
且不妨设P2P2nmP1P1，又设P2点在FF
P1P1上的射影分别是A、B点，
由抛物线定义知，
P2Fn,P1Fm,FFp
又P2AF∽P2BP1，
AFP2F
BP1P2P1
p（mn）2mn
112mnp
故原命题成立．
典型例题七
，求证：
例7设抛物线方程为y22px（p0），过焦点F的弦AB的倾斜角为焦点弦长为AB22p．
sin
分析：
此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题．
证法一：
抛物线y22px（p0）的焦点为（2p,0），
过焦点的弦AB所在的直线方程为：
ytan（x2p）
由方程组ytan（x2p）消去y得：
y22px
22222
4x2tan24p（tan2）p2tan2
又y1y2tan（x1x2）
证法二：
如图所示，分别作AA1、BB1垂直于准线l．由抛物线定义有：
AF
AA1
AF
cosp
BF
BB1
p
BF
cos
典型例题八
例8已知圆锥曲线C经过定点P（3,23），它的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为x1，过焦点F任意作曲线C的弦AB，若弦AB的长度不超过8，且直线AB与椭圆3x22y22相交于不同的两点，求
（1）AB的倾斜角的取值范围．
（2）设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程．分析：
由已知条件可确定出圆锥曲线C为抛物线，AB为抛物线的焦点弦，设其斜率为k，弦AB与椭圆相交于不同的两点，可求出k的取值范围，从而可得的取值范围，求CD中点M的轨迹方程时，可设出M的坐标，利用韦达定理化简即
可．
解：
（1）由已知得PF4．故P到x1的距离d4，从而PFd
∴曲线C是抛物线，其方程为y24x．
设直线AB的斜率为k，若k不存在，则直线AB与3x2
2y22无交点．
∴k存在．设AB的方程为yk（x1）
2
由y2
y
4x2
可得：
ky24y4k0k（x1）
典型例题九
例9定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2x上移动，求AB的中点到y轴的距离的最小值，并求出此时AB中点的坐标．
分析：
线段AB中点到y轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐标问题，因此只要研究A、B两点的横坐标之和取什么最小值即可．
解：
如图，设F是y2x的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD，又M到准线的垂线为MN，C、D和N是垂足，则
131
设M点的横坐标为x，纵坐标为y，MNx，则x
424
等式成立的条件是AB过点F．
2221
（y1y2）y1y22y1y22x22，
y1y22，y
525所以M（54,22），此时M到y轴的距离的最小值为45．
说明：
本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简．
典型例题十
例10过抛物线y2px的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A、B两点，求AB的最小值．
分析：
本题可分2和2两种情况讨论．当2时，先写出AB的表达式，
再求范围．
解：
（1）若2，此时AB2p．
AB：
ytan（x2p），即xtayn
说明：
的大小以及判定直线与圆是否相切．
解：
①点A在抛物线上，由抛物线定义，则AA'AF12，又AA'//x轴13．
∴23，同理46，而2364180，∴3690，
∴A'FB'90．选C．
②过AB中点M作MM'l，垂中为M'，
∴以AB为直径的圆与直线l相切，切点为M'．
又F'在圆的外部，∴AF'B90．特别地，当ABx轴时，M'与F'重合，AF'B90．
即AF'B90，选B．
典型例题十二
例12已知点M（3,2），F为抛物线y22x的焦点，点P在该抛物线上移动，当PMPF取最小值时，点P的坐标为．
分析：
本题若建立目标函数来求PMPF的最小值是困难的，若巧妙地利用抛
物线定义，结合图形则问题不难解决．
1由定义知PFPE，故PMPFPFPMMEMN3．
取等号时，M、P、E三点共线，∴P点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，
所以P点坐标为（2,2）．
升级会员 