横版角平分线的性质和判定学案.docx

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横版角平分线的性质和判定学案

角平分线的性质和判定

适用学科

初中数学

适用年级

初中二年级

适用区域

人教版2013

课时时长（分钟）

45

知识点

角平分线的性质

角平分线的判定

学习目标

1、熟练了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线；

2、掌握角平分线的性质和判定；

3、综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题。

学习重点

角平分线的性质和判定

学习难点

角平分线的性质和判定的综合应用

学习过程

一、复习预习

二、知识讲解

考点1尺规作图画角平分线

（1）、以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。

（2）、分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C。

（3）、画射线OC。

射线OC即为所求.

考点2角平分线的性质定理：

角平分线的性质定理：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

定理的数学表示：

如图，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF＝DF.

定理的作用：

①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；

考点3角平分线性质定理的逆定理：

角平分线性质定理的逆定理：

在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.

定理的数学表示：

如图5，已知点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC＝PD，则点P在∠AOB的平分线上.

定理的作用：

用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.

考点4关于三角形三条角平分线的定理：

（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.

定理的数学表示：

如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：

AP、BQ、CR相交于一点I；

②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.

定理的作用：

①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.

（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：

三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.

三、例题精析

【例题1】

【题干】在△ABC中，∠C是直角，AD平分∠BAC，交BC于点D。

如果AB＝8，CD＝2，那么△ABD的面积等于　　　　　。

【答案】8．

【解析】试题分析：

角平分线上的点到两边的距离相等,过点D作DE⊥AB，

∵AD平分∠BAC，

∴DE=CD=2，

∴S△ABD=

AB•DE=

×8×2=8．

考点：

角平分线的性质；三角形的面积．

【例题2】

【题干】如图，点D为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且DM=DN，∠BMD+∠BND=180°．

求证：

BD平分∠ABC．

【答案】见解析

【解析】试题分析：

在AB上截取ME=BN，证得△BND≌△EMD，进而证得∠DBN=∠MED，BD=DE，从而证得BD平分∠ABC．

试题解析：

如图所示：

在AB上截取ME=BN，

∵∠BMD+∠DME=180°，∠BMD+∠BND=180°，

∴∠DME=∠BND，

在△BND与△EMD中，

，

∴△BND≌△EMD（SAS），

∴∠DBN=∠MED，BD=DE，

∴∠MBD=∠MED，

∴∠MBD=∠DBN，

∴BD平分∠ABC．

【考点】1.全等三角形的判定与性质；2.角平分线的性质．

【例题3】

【题干】如图，在△ABC中，BD＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE＝CF，在这个图中不再添加辅助线和字母，解决下列问题：

（1）除由DE⊥AB，DF⊥AC所产生的直角和其余已知条件外，请你分别写出图中两对相等的角和两对相等的线段（不证明）；

（2）请证明：

AD是∠BAC的平分线．

【答案】见解析

【解析】解：

（1）∠B＝∠C，∠BDE＝∠CDF，BE＝FC，AE＝AF；

（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠BED＝∠DFC＝90°，

在Rt△BDE和Rt△CDF中

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）

 ∴DE＝DF

 ∴AD是∠BAC的平分线．

（1）∠B＝∠C，∠BDE＝∠CDF，BE＝FC，AE＝AF；

（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠DFC＝90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中 

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）∴DE＝DF∴AD是∠BAC的平分线．

【例题4】

【题干】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E．求证：

△DEB的周长等于AB的长．

【答案】见解析

【解析】证明：

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°

∴CD=DE∵AC=BC∴∠B=45°

∴DE=BE

∴△DEB的周长=DB+DE+BE=AC+BE=AB.

四、课堂运用

【基础】

1、如图所示，DE⊥AB，DF⊥AC，AE＝AF，则下列结论成立的是（   ）

A．BD＝CD

B．DE＝DF

C．∠B＝∠C

D．AB＝AC

2、三角形中，到三边距离相等的点是：

（    ）

A．三条高线的交点

B．三条中线的交点

C．三条角平分线的交点

D．三边垂直平分线的交点

3、如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC平分BD；④BD平分∠ADC中，正确的结论是（　　）

A．①②B．①②③

C．①②④D．只有①

【巩固】

1、角的平分线的性质，其理论依据是全等三角形判定定理（　　）

A．SASB．HLC．AASD．ASA

2、若∠AOB的平分线上一点P到OA的距离等于5，Q是射线OB上的任一点，则关于PQ的说法正确的是（　　）

A．PQ＞5B．PQ＜5C．PQ≥5D．PQ≤5

【拔高】

1、已知，如图，∠B=∠C=90º，M是BC的中点，DM平分∠ADC.

（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？

请你证明你的结论；

（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？

请说明理由.

2、如图所示，BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：

D在∠BAC的角平分线上．

课程小结