1方程组课题期文档格式.docx
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模型化思想：
模型化思想来源于建构主义思想。
就是针对要解决的问题,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究来解决实际问题的一种数学思想方法。
整理与思考：
1、得到模型的思维过程：
简化、类比和抽象（分类）符号化
2、反映的内容：
原型的形态、特征、本质、关系。
3、模型的表现形式：
等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
4、建立模型的目的：
将原型简化、符号化是进一步研究的基础条件；
在对原型的研究中得到一般化的认识或者方法，运用它们解决更多的实际问题。
5、有必要探讨模型化的含义。
模型化从字面上直接理解是建立模型的过程。
它起始于哪儿？
关于数学教学中的模型化起始于哪儿，荷兰著名的数学教育家弗兰登塔尔很早就对这个问题进行了思考“P124（不要）目前已经有不少人对数学教育提出了数学化的要求，但我担心其结构太狭隘，常常把数学化理解成最低层次的活动，即只能完全应用于非数学的内容，……于是，最时髦的提法就是为现实中某个微笑而孤立的片段——所谓“情境”进行数学化，也就是为情境建立一个数学模型。
……以数学化方法进行教育的另一种提法叫“问题解决”，这里的问题可以是各种层次的，除了前述的情境是表述对局部的具体情况进行数学化以外，一般而言，“问题”已经是以比较抽象的状态来描述某一情境的核心，因此我反对这种提法。
问题应该来自于情境，而儿童应该学习从情境中辨认问题，提出问题也是数学。
”持数学是一种数学活动观点的弗兰登塔尔显然认为学生的模型化应该起始于现实“情境”，而反对让学生解决将现实情境先行进行整理的“问题”。
但是同时弗兰登塔尔也针对现实的情境的设计提出P120“在最底层次通过再创造激发活动是必要的。
但要使它真正有意义，就必须做好充分的准备，而不能成为非本质的游戏。
”还特别强调“P124我所说的用数学化组织一个领域是什么意思？
它是数学教育的必然趋势，它是一条保证实现数学整体结构的广阔途径而并非金字塔的塔尖。
情境与模型，问题与求解这些活动作为必不可少的局部手段是重要的，但它们都应该服从于总的方法。
”
理解：
（1）显然，他认为，教学中的情境一定要是现实的情境，但是不必完全都是非数学的。
（2）要从数学整体结构出发来选择情境。
（3）根据学生学习水平的不同现实的情境也可以有抽象水平的不同如在教学“圆柱的认识”，我们可以要求每一个学生将事先准备的现实生活中一些实物、模型等操作材料作为研究对象，通过量一量、画一画、剪一剪的方法来认识圆柱的底、高、底面周长、侧面积等；
在基础较好的班级，我们还可以使用半抽象半具体的探索方法来解决。
用一个矩形，指定某条边为旋转轴，要求学生考察矩形的各部分（有关点、线、面）在旋转之后所出现的情形，在动态的情况下研究圆柱的特征。
这样的方法对培养学生的空间观念和抽象思维能力是十分有益的，也是最能揭示数学知识本质的一种方法。
（4）数学模型所反映的不是某一具体事物的个性特征，关注的对象是许多具有共同普适牲的一类事物。
（二）在小学数学教学中渗透模型化思想的现实意义是什么
1．建立数学模型是数学教学本质特征的反映。
（l）数学模型是对客观事物的一般关系的反映，也是人们以数学方式认识具体事物、描述客观现象的最基本的形式。
例如，舍去一切具体情景，行程问题的基本模型是：
路程=速度×
时间（s=vt），只不过在具体问题解决时，需要对这个模型进行一次构建还是多次构建的问题。
因此，数学模型有效地反映了思维的过程，是将思维过程用语言符号外化的结果。
显然，学生对数学模型的理解、把握与构建的能力，在很大程度上反映了他的数学思维能力、数学观念及意识。
（2）人们在以数学方式研究具体问题时，是通过分析、比较、判断、推理等思维活动，来探究、挖掘具体事物的本质及关系的，而最终以符号、模型等方式将其间的规律揭示出来，使复杂的问题本质化、简洁化，甚至将其一般化，使某类问题的解决有了共同的程序与方法。
因此，可以说，数学模型不仅反映了数学思维的过程，而且是高级的、高效的数学思维的反映。
2．建立数学模型是数学问题解决的有效形式。
（l）数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。
并且，建立模型更为重要的是，学生能体会到从实际情景中发展数学，获得再创造数学的绝好机会，在建立模型，形成新的数学知识的过程中，学生能更加体会到数学与大自然和社会的天然联系。
因而，在小学数学教学中，让学生从现实问题情景中学数学、做数学、用数学应该成为我们的一种共识，只有这样，数学教学中的“问题解决”才有了相应的环境与氛围。
（2）现代数学观认为，数学具有科学方法论的属性，数学思想方法是人们研究数学、应用数学、解决问题的重要策略。
而建立数学模型，研究数学模型，正是问题解决过程中的中心环节，是决定问题解决程度如何的关键。
当年，瑞士大数学家欧拉面对哥斯尼堡“七桥问题”时，巧妙地将陆地看成点，将桥看成线，把实际问题转化为点线相连的数学一笔画问题，通过对所构建的模型的研究，来最终解决问题，正是这一过程的绝好例证。
显然，在这个问题解决的过程中，数学家构建出的一笔画模型是关键，体现出了数学模型在实际问题解决过程中的作用——它在很大程度上决定了问题能否最终得以彻底的解决。
3．建立数学模型是数学学习和课程改革的重要任务。
（1）数学学习内容中最重要的部分，就是数学模型。
在小学阶段，数学模型的表现形式为一系列的概念系统、算法系统、关系、定律、公理系统等，这些都是学生学习的重要内容。
（2）学生在探索、获得数学模型的过程中，也同时获得了构建数学模型、解决实际问题的思想、程序与方法，而这对学生的发展来说，其意义远大于仅仅获得某些数学知识。
事实上，前面提到的“再发现”过程，本身体现了一种基本的模式，即研究数学问题的模式，可以表征为：
抽象——符号——应用。
荷兰数学家弗赖登塔尔把这个过程称之为“数学化”。
数学化的过程，正是学生学会学习的过程。
（3）数学不应等同于数学结论的简单汇集，而应被看成一个包含有“问题”、“方法”、“语言”等多种成分的复合体。
学习数学的过程，应更多地表现数学的实践、探索与体验，而不是仅仅获得数学结论的过程。
因此,在小学数学教学中，重视渗透模型化思想，正是顺应了这种改革的趋向和要求。
三、研究内容（以下内容在汇报时要清晰说出。
）
1．系统梳理小学阶段哪些内容适合渗透模型化思想
2．以作为模型的“方程”为例，研究学生是如何经历“模型化”，教师如何进行方程的教学。
为此，主要研究：
（1）人教版、苏教版、北师大版教材方程初步认识内容的对比分析；
（2）研究学生对“方程”的理解过程；
（3）方程初步认识教学案例分析。
四、主要研究结果与讨论1：
小学阶段哪些内容适合渗透模型化思想
可以这样说，学生学习数学知识的过程，实际上是对一系列数学模型的理解、把握过程。
1.几何图形和计算公式是数学模型
小学数学中很重要的一块内容是空间与图形是几何的初步知识，作为数学本质特征之一的公理化思想的有效载体，作为一种直观的、形象化的数学模型。
每一种图形本身就是一种数学模型。
点、线、面、基本的平面图形、立体图形的定义就是生活中几何模型向抽象的数学模型的构建过程。
平面图形、立体图形的周长、面积、体积的计算公式就是模型化思想渗透的重要途径。
例如：
四边形的认识，首先从生活中找到立体图形，让学生把立体图形的面画在纸上，这就是把生活中的现实模型抽象成数学研究的数学模型的过程。
对这些数学模型进行分类，找出他们之间的联系和区别。
从而抽象出三边形、四边形、五边形等图形的定义。
在分类中进一步建立数学模型。
再针对四边形进行二次分类，让学生认识特殊的四边形（平行四边形、长方形、正方形、梯形）和一般的四边形。
2.数概念、数的运算也是数学模型
数概念：
每个数概念就是一个数学模型。
自然数、分数、小数都是现实模型的抽象。
例如,刚入学儿童在学习《数一数》时,教材并没有直接呈现数字让学生通过不断的识记背诵来记住它们,而是呈现一幅美丽、开阔的校园场景图。
教师可以鼓励学生仔细观察，在具体情境中数“1”面五星红旗、“2”架单杠、“3”张凳子、“4”个垃圾桶……,然后呈现数字,这样使学生能够很清楚地知道这些数所表示的意义,而不是凭空产生的。
从具体的事物中抽象出“数”，体会“数”表示物体个数的含义和作用，再借助抽象后的实物图象来认识数字。
这对于初入学的儿童的学习是非常有利的,它能让学生充分认识到数学符号所表示的意义,为学生以后学习数学奠定了基础。
从实物到图象再到数学符号的过程，同时也渗透了数形结合思想。
这整个学习过程本身就是一个数学化的建模过程，初步渗透了模型化思想。
可以说小学阶段的每个内容都离不开模型化思想，数学学习就是一个建模的过程。
数的运算：
加法、减法、乘法、除法的运算就是数学模型。
北京教育学院刘加霞教授撰写的《作为“模型”的乘法——对数学概念多元表征的思考》一文中明确指出，乘法主要有以下几种现实情境模型：
（1）等量组的聚集。
这一模型就相当于我们经常说的“连加”或者“几个几的和”。
（2）矩形模型。
（3）映射模型。
（4）配对模型。
（5）倍数模型。
在上述五种模型中，最基本的是第一种模型，其他几个模型都可以转化为第一个模型，只不过是人们对于问题用不同的方式来建构而已。
（6）其他几种现实模型。
例如，速度——时间模型、单价——数量模型、工时——工效模型、密度——体积（面积）模型、等等。
刘老师认为从模型的角度来认识运算，具有深刻的教学价值：
1．可以更加深刻的理解乘法的意义而非仅仅会计算；
2．更重要的是逐步学会从多个角度来认识和学习某个数学概念，“数学学习就是将一种表达形式转化为另一种表达形式，其本质保持不变”，感悟并掌握数学学习的方法；
3．培养学生的抽象概括能力，逐步学会将纷繁复杂的现实事物抽象概括为同一“数学结构”，即逐步体验并掌握“数学建模”的思想。
3.简易方程是建模思想的重要体现
教学内容
体现模型化思想的点
用字母表示数
映射模型运算定律和计算公式
方程的初步认识
等式用等号连接两个代数式就构成方程
列方程解决问题
从生活情景到方程的建构过程
六、研究的结果与讨论2
（一）人教版、苏教版、北师大版教材上方程初步认识内容的对比分析。
《方程的初步认识》教材对比分析
通过查阅关于《方程的初步认识》的相关教学资料，发现在传统教学中都会把分类得到方程的过程作为方程概念建立过程中的一个重要内容之一，我们在思考，这样的分类有没有必要？
方程的初步认识到底认识什么？
教学的重点是什么？
带着这些问题，我们对比了北师大版、苏教版和人教版三套教材中《方程的初步认识》的相关内容。
三套教材的内容如下：
北师大版（4页）：
苏教版（3页）：
人教版（3页）：
教材版本
北师大版
苏教版
人教版
安排的学段
四年级下
五年级下
五年级上
所
涉
及
的
现
实
模
型
新授部分
（方程定义之前）
天平
台秤
倒水
天平
练习部分
（新授后第一个练习中，解放程之前的内容）
购物
计算
比身高
线段图
水桶
乘车
摆图形
日历
购物
水杯
线段图
借书
付款
A:
比年龄B:
C:
比年龄
跑步
分糖
生活
模型
数量
静态
10
16
7
动态
2
4
合计
12
18
11
我们认为方程概念建立过程可以很好的体现数学建模的过程，因此我们从模型的角度对三条教材在方程概念建立的过程和相关练习进行了分析和整理，结果如下：
三套教材呈现的现实模型情况统计表
分析与思考：
我们把生活中的现实模型分为两类：
一类现实模型的是以结果的形态呈现，称为静态模型；
另一类是以过程的形态呈现，称为动态模型；
例如，天平的一个静止的状态就代表一个现实模型，这样的现实模型就是静态模型。
而倒水这样的现实模型，一壶水先倒一杯，再倒一杯……，我们展现的时候更多的体现模型形成的过程，如比较的结果，这样的现实模型就是动态模型。
1．三套教材对方程概念的理解程度要求不同
三套教材中北师大版把方程概念的建立放在了四年级下册，是三套教材呈现最早的一套，而且从内容的选取上来看，难度也最大，梯度也比较明显。
在新授部分三个现实模型都各不相同，而且静态模型（复合关系）和动态模型都包括。
9个练习中有8个是复合数量关系，只有一个是简单数量关系。
苏教版呈现得最晚，在五年级下册，而且要求也最低，新授和练习中共18个现实模型，都是简单数量关系，而且练习数量是最多的。
人教版无论从呈现时间和编排上都是中等的，也没有出现复合的数量关系。
2．三套教材在模型建立过程中的编排有较大差异。
三套教材在新授部分的安排还是有较大区别的，北师大版教材的呈现的现实模型最少，但三个现实模型对应不同的类型，分别对应三种数量关系，两个静态模型一个动态模型。
苏教版呈现了5个现实模型，但都是对应相同的天平现实模型，而且都是静态模型。
人教版中同样呈现了5个现实模型，也同样都是天平现实模型，但整个过程展现了天平称重的过程，是一个由静态到动态再到静态的过程，与苏教版进行比较更有深意，同时把静态模型与动态模型之间的关系展现得较为清晰。
因此，我认为在方程定义出示之前，也就是概念建立的过程中，应该更多地呈现不同的现实模型，这些现实模型应该对应不同数量关系的模型，应该包括静态模型和动态模型，这样学生建模的过程，也就是模型化的过程才能更加充分，更有利于学生对于模型的理解。
3．三套教材都比较忽视动态模型的呈现。
三套教材中对于动态的现实模型呈现的都比较少，勉强算来北师大版2个，苏教版2个，人教版4个还是同一现实模型。
比较而言，静态模型的呈现无论是在数量上和数量关系的分配上都明显多于动态模型。
我认为，在方程概念建立的过程中动态模型的呈现也很重要，需加大比重。
三套教材呈现的现实模型所对应的数量关系情况统计表
模型所对应的数量关系
简单关系
整体与部分关系
6
比较关系
1
份总关系
5
3
复合关系
8
4．三套教材呈现的现实模型所对应的数量关系不够均衡。
三套教材中，北师大版对于数量关系的分配最为合理，没有出现特别偏重的现象，但对于简单的数量关系的呈现较少，复杂的数量关系呈现过多，比重不太合适，应适当均衡。
而另外两套教材对于整体与部分关系的现实模型呈现比较多（包含天平），苏教版和人教版都占到了现实模型总数的50%以上，而对于比较关系的现实模型则呈现的很少，在苏教版只呈现一个，人教版中呈现2个，而比较关系是学生在列方程时是比较容易错的一类数量关系，因此，在方程概念建立的过程中和练习中应该更多地呈现。
复合数量关系在苏教版和人教版中都没有呈现，这不利于学生的整体认识和提升，应适当呈现符合数量关系的现实模型。
三套教材概念建立后的练习设计情况统计表
概念建立后的练习题型
哪些是方程？
9
写方程
看图列方程
根据题意列方程
观察规律
5．三套教材练习的安排各有不同。
三套教材的练习安排各有不同，北师大版没有安排方程定义的辨析练习，而且在整个的建立过程中没有出现不等的模型。
而其他两套教材在新授中都出现了不等的现实模型，因此也都安排了方程定义辨析的练习，还有不借助任何现实模型写方程的内容，这样的练习对于模型化的建立没有作用，只是巩固方程的定义。
三套教材都比较重视看图写方程的练习，比重都很大，在方程概念建立初期这样的练习非常重要。
北师大版教材还安排了根据题意列方程的练习和规律中列方程的练习，这样的练习对于知识的提升也是很有必要的，人教版和苏教版可以适当补充。
6．几个待解决的问题
（1）三套教材在分类方面都没有体现，都是直接告知的概念，方程的概念到底有没有探究的价值？
（2）写方程的练习有没有存在的价值，在没有现实模型的前提下写方程价值到底有多大？
（二）学生研究
关于方程的单元教学研究我们采用了学生问卷调查的方法，调查的目的是想了解学生对于等号作用的理解程度。
了解学生对字母a和x的认识基础和学习现状，想了解学生是否可以把现实模型转化成数学模型。
同一方程可以对应不同的生活原型，是否初步具备模型化的思想。
是否将用方程解决问题当成一种比较简单的解决问题的方法。
从以下几个方面展示问卷过程：
1、问卷内容：
（1）脱式计算，不要跳步。
3×
15-21+7
（2）你认为3+4=7中的“=”表示（）
A:
结果B:
关系C:
即表示结果又表示关系
（3）在3+5=1+7中的“=”表示（）
即表示结果又表示关系
（4）你认为a表示什么?
（5）你认为X表示什么?
（6）妈妈带100元去超市，买了2盒同样的巧克力，找回32元。
请你用式子表示这道题的意思：
（7）小明X岁，哥哥比小明大5岁，哥哥17岁。
用方程表示是X+5=17，你觉得X+5=17除了可以表示这道题的数量关系，还能表示哪些生活中的数量关系。
请你用文字说明。
（8）一栋高59米的楼房，第一层高度是4.6米，其余每层高度都是3.2米。
这栋楼一共有多少层？
2、问卷方法
本次问卷我们分别在朝阳实验学校、垂杨柳中心小学、甘露园小学三——六年级学生问卷调查。
我们随机抽取了朝阳实验和垂杨柳中心小学三——五年级两个班和甘露园小学六年级学生。
问卷学生情况如下表:
学校人数
三年级110人
四年级113人
五年级119人
六年级40人
朝阳实验学校
三（3）30人
三（6）32人
四（7）30人
四（9）31人
五（6）32人
五（9）32人
垂杨柳中心小学
三
（1）24人
三（7）24人
四
（2）24人
四（4）28人
五（4）29人
五（6）26人
甘露园小学
40人
3、题目设计意图：
问卷中1——3题是为了了解学生对于等号作用的理解程度。
问卷中4——5题是为了了解学生对字母a和x的认识是否有差异，在学习完用字母表示数前后是否有所不同。
问卷中第6题想了解学生是否可以把现实模型转化成数学模型。
第7题对五六年级学生学完方程之后，是否了解同一方程可以对应不同的生活原型，是否初步具备模型化的思想。
第8题想了解五六年级学生在解决问题中是否将用方程解决问题当成一种比较简单的解决问题的方法，有多少学生能够想到列方程解决问题。
4、调查结果统计与分析
（1）学生对等号的认识与作用的研究
等号作为一种模型有两层含义。
一、结果、二、等价关系。
弗莱登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中写到，2+7=9这个式子传统自然的解释是已知2加上7，结果是9，但另一种解释是将2+7看作一个数，整个表达式就是表示两数相等的一个陈述。
将2+7作为一个数的解释是真正的代数。
对于等号的作用，我们看一看学生的认识。
第二题
三年级
四年级
五年级
六年级
总人数
110
113
119
40
人数
百分率
错
误
A
80
72.70%
76
67．3%
62
52.10%
45%
B
4.50%
9.73%
4.20%
10%
C
22
20%
26
23%
52
43.70%
第三题
8.20%
3.50%
3.40%
7．5%
72
65.50%
83
73.50%
87
73.10%
34
85%
24
21.80%
28
23.50%
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