最新港澳台联考数学模拟试题卷.docx
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最新港澳台联考数学模拟试题卷
最新港澳台地区入学考试模拟试卷
这份试卷共三个大题，共27小题.满分150分.考试时间为120分钟.
只有一项是符合题目要求的．
第一部分选择题（共60分）
、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
1.设全集U{0,1,2,3,4}，集合A{0,1,2}，集合B{2,3}，则（eUA）B（）
A．B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4}D．{2,3,4}
2.复数z13i，z21i，则复数z1在复平面内对应的点位于（）
z2
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4.设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）2x3，则f
（2）（）
111
A．1B．C．1D．
44
5.已知等差数列{an}的公差d0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是（）
1
A．4B．3C．2D．
2
2
6.
函数f（x）ln（x1）的零点所在的大致区间是（）x
7.
已知命题“若p则q”为真，则下列命题中一定为真的是
8.
D．10安
kk
10若函数h（x）2x在（1,）上是增函数，则实数k的取值范围是（）x3
A．[2,）B．[2,）C．（,2]D．（,2]
点数分别为x、y，则满足复数xyi的实部大于虚部的概率是
示线段OPn上除端点外的整点个数，则g（2008）（）
二，填空题：
本大题共8小题，每小题4分，共32分．
13.在ABC中，a、b分别为角A、B的对边，若B60，C75，a8，则边b的长等于．
14.某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该
学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是．（用数字作答）
111
15.在RtABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则222，由此类比：
三棱锥SABC中的三ha2b2
条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则
16.已知定义在区间[0,1]上的函数yf（x）的图像如图所示，对于满足0x1x21的任意x1、x2，给出下列结论：
①f（x2）f（x1）x2x1；
②x2f（x1）x1f（x2）；
③f（x1）f（x2）fx1x2．
③2f2．
其中正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填上）
17.在极坐标系中，圆2cos的圆心的极坐标是
π
，它与方程（0）所表示的图形的交点的极坐标
4
20.通过点（2，-1，3）做平面x-2y-2z+11=0的垂线，则平面上的垂足为，
三、解答题：
在第三题（21、22、23）题中任选两题；理工考生做24、25题；文史考生做26、27题。
解答应写出
文字说明、演算步骤或推证过程．
21．已知向量a（1sin2x,sinxcosx），b（1,sinxcosx），函数f（x）ab．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x的值；（本小题满分14分）
8
Ⅱ）若f（），求cos2
5
22.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在
落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下
1
落的概率都是1．（本小题满分14分）
Ⅰ）求小球落入A袋中的概率P（A）；
Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记为落入A袋中的小球个数，试求3的概率和的数学期望E．
23.如图所示的几何体ABCDE中，DA平面EAB，CB∥DA，EADAAB2CB，
EAAB，M是EC的中点．（本小题满分14分）
（Ⅰ）求证：
DMEB；
（Ⅱ）求二面角MBDA的余弦值．
C
24．（本小题满分15分，文史类考生不做）
在平面直角坐标系中，已知点A（2,0）、B（2,0），P是平面内一动点，直线PA、
3
PB的斜率之积为．求动点P的轨迹C的方程；
4
25．已知f（x）lnx，g（x）1x2mx7（m0），直线l与函数f（x）、g（x）的图像都22
相切，且与函数f（x）的图像的切点的横坐标为1．（本小题满分15分，文史类考生不做）
（1）求直线l的方程及m的值；
（2）若h（x）f（x1）g（x）（其中g（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；
26．在平面直角坐标系中，已知点A（2,0）、B（2,0），P是平面内一动点，直线PA、PB的斜率之积为3．求动点P的轨迹C的方程；（本小题满分15分，理工类考生不做）4
27．已知f（x）lnx，g（x）1x2mx7（m0），直线l与函数f（x）、g（x）的图像都
相切，且与函数f（x）的图像的切点的横坐标为1．（本小题满分15分，理工类考生不做）
（1）求直线l的方程及m的值；
（2）若h（x）f（x1）g（x）（其中g（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；
．数学（理科）参考答案
选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合要
求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
A
C
B
B
C
A
B
A
B
C
13．46
填空题：
本大题共8小题，每小题4分，共32分．
三、解答题：
本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21.解：
（Ⅰ）因为a（1sin2x,sinxcosx），b（1,sinxcosx），所以
22
f（x）1sin2xsinxcosx1sin2xcos2x
sin2xπ1
4
ππ3
因此，当2x2kπ，即xkππ（kZ）时，f（x）取得最大值21；
428
83
（Ⅱ）由f（）1sin2cos2及f（）得sin2cos2，两边平方得
55
1sin49，即sin416．
2525
因此，cos2π2cosπ4sin416．
4225
22.解：
（Ⅰ）记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，而小球落入B袋中
当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故
P（B）1131，
P（B）224，
13
从而P（A）1P（B）1；
44
P（3）C43344
27，
64，
23.
解：
建立如图所示的空间直角坐标系，
DM1,1,2，DB（0,2,2）
这就是动点P的轨迹C的方程；
所以直线l的方程为yx1．
又因为直线l与g（x）的图像相切，所以由
yx1129
127x2（m1）x0，
yx2mx22
22
得（m1）90m2（m4不合题意，舍去）；
（Ⅱ）因为h（x）f（x1）g（x）ln（x1）x2（x1），所以
1xh（x）1．
x1x1
当1x0时，h（x）0；当x0时，h（x）0．
因此，h（x）在（1,0）上单调递增，在（0,）上单调递减．
因此，当x0时，h（x）取得最大值h（0）2；
l是函数f（x）lnx在点（1,0）处的切线，故其斜率
1
kf
（1）1，
1
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