层次分析法-、效益分配、幻方.doc

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层次分析法、效益分配、幻方

陶志穗主讲

层次分析法（Ana1yticHierarchyProcess,简称AHP法）是美国运筹学家、匹兹堡大学教授T.L.Saaty于20世纪70年代提出来的,它是一种对较为模糊或较为复杂的决策问题使用定性与定量分析相结合的手段作出决策的简易方法.特别是将决策者的经验判断给予量化，它将人们的思维过程层次化，逐层比较相关因素，逐层检验比较结果的合理性，由此提供较有说服力的依据.很多决策问题通常表现为一组方案的排序问题,这类问题就可以用AHP法解决.近几年来，此法在国内外得到了广泛的应用.

以下我们用一个简单例子来说明AHP法的基本步骤。

例6.8.1某工厂在有一笔企业留成的利润,厂领导要决策如何合理使用这笔资金.根据各方面的意见,可供领导决策的方案有:

（1）作为奖金发给职工;

（2）扩建职工福利的设施;（3）对职工进行技术培训;（4）引进新设备扩大生产.领导在决策时,要顾及到调动职工生产积极性,提高职工技术水平,改善职工物质文化生活状况等方面.工厂领导希望知道应按什么比例来使用这笔资金才较为合理。

1.建立层次结构模型

在AHP法研究问题时,要根据问题中各因素的因果关系将其分成若干个层次。

较简单的问题通常可分为三层：

目标层（最高层）、准则层（中间层）和措施层（最低层）。

目标自然是合理使用这笔资金。

准则是有利于调动职工的积极性；有利于提高企业的生产能力；有利于改善职工的工作、生活环境。

措施就是具体的花钱方案。

按决策者的意图,可以建立起本问题的层次结构模型如图6.8.1所示。

合理使用企业利润

调动职工的积极性C1

提高企业的技术水平C2

目标层O

准则层C

措施层P

改善职工的工作与生活环境C3

给职工发奖金P1

扩建职工的福利设施P2

提高职工的技术水平P3

技术水平

扩大生产规模P4

图6.8.1

图中的连线反映了各因素的关联关系。

描绘层次结构图是一项细致的分析工作,要有一定经验.根据层次结构图确定每一层的各因素的相对重要性的权数,直至计算出措施层各方案的相对权数.利用这些权重，可计算资金的分配比例.

2.构造判断矩阵

要比较n个因子对某因素F的影响大小,通常采取对因子进行两两比较的办法,建立成对比较矩阵。

设aij表示因子Bi和Bj对因素F的影响大小之比,再设矩阵，称A为判断矩阵或成对比较矩阵。

显然，矩阵A具有性质：

（1）;

（2）.（i,j=1,2,…,n）.（6.8.1）

满足这两个性质的矩阵称为正互反矩阵。

根据心理学的研究结果,若分级太多，则会超越人们的判断能力,因此通常用数字1~9及其倒数作为矩阵A的标度。

如表6.8.1所示。

表6.8.1

标度aij

含义

2,4,6,8

倒数

因子Bi和Bj同等重要

因子Bi比Bj略重要

因子Bi比Bj较重要

因子Bi比Bj非常重要

因子Bi比Bj绝对重要

以上两判断的中间状态

因子Bj与Bi比较时，标度为

在例6.8.1中，为了确定各准则在目标中所占的权重，我们构造O-C层的判断矩阵.例如，决策者认为准则C1与准则C3比较，在目标中所占的权重应为2:

1;准则C2与准则C3比较，在目标中所占的权重应为5:

1;准则C2与准则C1比较，在目标中所占的权重应为2:

1.则有下面的判断矩阵.

1/2

1/5

类似地，可构造C-P层的判断矩阵.确定措施层中P1,P2,P3在C1中的权重

1/5

1/4

再确定措施层中P3,P4在C2中的权重

然后确定措施层中P1,P2,P3在C3中的权重

1/2

1/5

1/3

3.判断矩阵的一致性检验

我们知道，若有三个物体甲、乙、丙，甲的重量是乙的2倍，而乙的重量又是丙的3倍，则甲的重量必是丙的2×3=6倍.根据这个原理,判断矩阵还应满足:

（6.8.2）

满足（6.8.2）的判断矩阵称为一致矩阵.但在构造判断矩阵时,要做次成对比较,当n较大时,要做到完全一致是十分困难的.另外,在成对比较时,我们采用了1~9的标度,就意味着接受一定程度的误差.因此,不应要求判断矩阵具有严格的一致性,而是允许判断矩阵在一定程度上非一致.于是,就要考虑如何检验判断矩阵是否严重地非一致,以便确定是否可以接受它.

设为判断矩阵A的最大特征值,可以证明,当A是一致矩阵时,,否则,.比n大得越多,判断矩阵A的非一致程度越严重,于是利用如下平均值

（6.8.3）

作为判断一致性指标.

当且仅当判断矩阵A为一致矩阵时,CI=0.CI的值越大,A的非一致性越严重。

由代数知识可知,判断矩阵A的n个特征根之和等于其对角线元素之和n.若以S表示A的除外的其余n-1个特征根的和，则.因此

可见，CI其实是A的除外其余n-1个特征根的平均值的绝对值。

当CI稍大于0时,A具有较为满意的一致性，否则,A的一致性就较差。

虽然CI值能反映出判断矩阵A的非一致性的严重程度,但未能指明该非一致性是否可以接受。

因此,我们还需要引入一个度量的标准。

即所谓随机一致性指标RI。

它是用从1~9及其倒数中随机抽取的数字构造的n阶正互反矩阵,算出相应的CI，取充分大的样本，计算得的样本均值。

表6.8.2列出了部分结果。

表6.8.2

0.58

0.90

1.12

1.24

1.32

1.41

1.45

1.49

1.51

当n≥3时，把CI与RI之比定义为一致性比率CR

，（6.8.4）

由于1,2阶正互反矩阵总是一致矩阵，故RI=0,此时,我们定义CR=0。

当CR<0.10时，可以接受判断矩阵A，否则，要对判断矩阵A做修正。

对于例6.8.1,利用公式（6.8.3）和（6.8.4）,一致性检验数据如表6.8.3示。

表6.8.3

判断矩阵

3.00554

0.00277

0.58

0.00478

3.00554

0.00277

0.58

0.00478

3.00369

0.00185

0.58

0.00318

可见，4个判断矩阵的一致性比率均有CR<0.10.即均可通过一致性检验。

4.权向量

我们设想把一块单位重的大石头O砸成n小块,若称得每小块的重量分别是，并把这些小石块两两比较重量，设，则成对比较矩阵为

显然矩阵A是一致矩阵，再记,则该向量反映了n块小石块的相对于小石块的权重。

同时，它显然满足

（1）,即w是归一化向量；

（2）Aw=nw.即w是矩阵A的特征值n的特征向量.

一般地，判断矩阵A的关于最大特征值的归一化特征向量w反映了各因子对某因素的影响权重，称为权向量。

在例6.8.1中，各判断矩阵的最大特征值的归一化特征向量如表6.8.4所示。

表6.8.4

判断矩阵

权向量w

3.00554

（0.276,0.596,0.128）T

3.00554

（0.466,0.433,0.101）T

（0.50,0.50）T

3.00369

（0.582,0.309,0.109）T

可见，在准则层中，准则C2对目标的权重最大，达0.596,准则C1次之，占0.276,权重最小的是C3,仅占0.128.其余类推。

5.组合权向量

设上一层（A层）含m个因素，它们对目标O的权向量为。

再设其下一层（B层）含n个因子，它们关于因素Ai的权向量分别为，i=1,2,…,m.（注：

当Bj与Ai无联系时，bij=0）。

则B层对于目标O的权向量为。

计算方法见表6.8.5.

表6.8.5

B层

A层

…

A1a1

A2a2

…

Amam

b11

b21

…

bm1

b12

b22

…

bm2

…

b1n

b2n

…

bmn

B层对于

目标的权重

…

对于例6.8.1，利用表6.8.4的数据，可以求出P层对目标的权向量。

如表6.8.6所示。

表6.8.6

P层

C层

C10.276

C20.596

C30.128

0.466

0.582

0.433

0.309

0.101

0.500

0.109

0.500

P层对于

目标的权重

0.203

0.159

0.340

0.298

从表6.8.6可见，根据P层对于目标的权重，工厂决策者应该把留成利润的20.3%用于给职工发奖金；15.9%用于扩建职工的福利设施；34.0%用于提高职工的技术水平;29.8%用于扩大生产规模.

6.总体一致性检验

在应用AHP法解决重大决策问题时，除了要对每个判断矩阵作一致性检验外，还需作组合一致性检验和总体一致性检验。

组合一致性检验是逐层进行的。

设第k-1层有t个因素，共s层,第k层的各判断矩阵一致性指标分别为，随机一致性指标分别为

第k-1层对目标O的权向量为w（k-1）.则第k层组合一致性比率定义为

，k=3,4,…,s（6.8.5）

（1）=0,CR

（2）为准则层判断矩阵的一致性比率.第k层通过组合一致性检验的条件一般为CR（k）<0.1.

总体一致性比率定义为

，（6.8.6）

对于重大的决策问题，应控制CR*适当地小，才能认为总体上通过一致性检验。

对于例6.8.1,,

可见，总体一致性很好。

7.判断矩阵A的最大特征值与特征向量的计算

应用AHP法解决问题时，自然要计算判断矩阵A的最大特征值与特征向量。

若利用数学软件Mathematica,则只需调用函数Eigensystem[A],即可返回矩阵A的特征值与特征向量。

例如欲求矩阵

的最大特征值与特征向量，先在软件Mathematica中定义

再调用函数Eigensystem[A0]//N,则返回

可见，A0的最大特征值是3.00554,对应的特征向量的（2.15443,4.64159,1）T.再作归一化处理便得（0.276,0.596,0.128）T.

若身边缺乏计算机或无相关软件，则可以用下面的简便近似算法直接求判断矩阵的权向量。

步骤如下：

（1）把判断矩阵A每列归一化，即令

（2）把各行元素求和，得向量，其分量，i=1,2,…,n

（3）将向量归一化得向量w,其分量,这就近似求得A的权向量。

例如，求例6.8.1中A0的权向量：

最后结果就是A0的权向量的近似值，与（0.276,0.596,0.128）T比较，可见效果不错。

效益的合理分配

一.引例

设有甲、乙、丙三人经商，若各人单干，则每人仅能获利1元；若甲乙合作,可获利7元,甲丙合作可获利5元，乙丙合作可获利4元，三人合作可获利10元。

问三人合作时应如何合理分配10元的利益。

由题可见，有甲参加的合作，获利最大，7+5=12，

有乙参加的合作，获利次之，7+4=11，

有丙参加的合作，获利最小，5+4=9，

可见，在合作中，甲贡献最大，乙次之，丙最小。

故在分配利益时，应考虑与贡献联系起来。

具体如何分配，这方面的问题就是n人合作对策问题。

ShaplsyLS在1953年给出了解决该问题的一种方法。

二.n人合作对策的一些概念

（1）n人合作对策与特征函数

设有n个局中人的集合I={1，2，……，n}，对I中任一子集S，S中的人合作的效益记为V（S），可看作I的所有子集上的实值函数。

定义一实函数V（S）满足条件：

（a）=0即没有人合作的效益为0

（b）当时，

（称为超可加性）即两组人员合作（这两组人员没有相同的人）的效益大于他们分别合作的效益。

[I，V]——称为一个n人合作对策（合作也称结盟coalition）。

V（S）——称为该对策的特征函数，描述合作的效益。

在引例中，V（甲）=V（乙）=V（丙）=1，

V（甲乙）=7>V（甲）+V（乙），

V（甲丙）=5>V（甲）+V（丙），

V（乙丙）=4>V（乙）+V（丙）.

注：

①条件（b）称为超可加性，描述了“团结力量大”的道理。

②在合作对策中，假定参与结盟的各个成员都齐心协力，以保该结盟获得最大的利益。

（否则若互相拆台，还合作什么？

）

③有时也称V为合作对策，类似于把点的坐标称为点。

（2）简单对策

在对策[I，V]中，若对，V（S）只取值0或1，则称V为

简单对策。

使V（S）=1的S称为获胜结盟（Winningcoalition），使

V（S）=0的S称为失败结盟（Losingcoalition）。

特别在三人合作对策中，

①若V（甲）=V（乙）=V（丙）=V（甲乙）=V（甲丙）=V（乙丙）=0，

V（甲乙丙）=1，则记此简单对策为（三人合作有效益，其他没有）。

②若V（甲）=V（乙）=V（丙）=0，V（甲乙）=1，V（甲丙）=V（乙丙）=0，

V（甲乙丙）=1，则记次简单对策为（甲乙合作有效益，其他没有）。

③若V（甲）=V（乙）=V（丙）=0，V（乙丙）=1，V（甲丙）=V（甲乙）=0，

V（甲乙丙）=1，则记此为（乙丙合作有效益，其他没有）。

④若V（甲）=V（乙）=V（丙）=0，V（甲丙）=1，V（甲乙）=V（乙丙）=0，

V（甲乙丙）=1，则此V记为（甲丙合作有效益，其他没有。

⑤若V（甲）=V（甲乙）=V（甲丙）=V（甲乙丙）=1，

V（乙）=V（丙）=V（乙丙）=0，则记为（有甲参加有效益，其他没有）。

⑥若V（乙）=V（乙丙）=V（甲乙）=V（甲乙丙）=1，

V（甲）=V（丙）=V（甲丙）=0，则记为（有乙参加有效益，其他没有）。

⑦若V（丙）=V（甲丙）=V（乙丙）=V（甲乙丙）=1，

V（甲）=V（乙）=V（甲乙）=0，则记为（有丙甲参加有效益，其他没有）。

（3）n人合作对策的解

n人合作对策的解是指对总体结盟所获利V（I）的一个分配方案。

用表示局中人i从合作V中获得报酬，为一个分配方案，则至少应满足：

①个体合理性：

即合作优于单干

②总体合理性：

一般地，n人合作对策有很多解，如何获得一个更合理的唯一解。

（4）Shapley值（势指标）

Shapley在1953年提出了Shapley值三公理。

（分配原则）

①对称性.每个局中人获得的分配与他被赋予的记号无关,设为I

的一个排列，则（i=1，2，……，n）

其中πV为重排序后的特征函数.为重排后原局中人i的新编号;

②有效性.

（a）若成员i对他所参加的任一合作都无贡献,则给他的分配应为0.

即若，V（S）=V（S-{i}），则（i=1,2,……,n）（贡献为零的成员报酬为0））

这种局中人称为零局中人（nullplayer）;

（b）完全分配;

③可加性对I上任意两个特征函数U与V

即若n人同时进行两项合作时，每人的分配是两项合作分配之和.

满足上述三公理的称为Shapley值，Shapley证明了对任一n人合作对策，Shapley值是唯一存在的且

i=1，2，…,n（6.11）

其中,为集S的元素个数,

按（6.11）式计算分配是较烦的。

简单来说，Shapley提出的分配原则是：

（1）贡献相同的成员报酬相同

用数学语言表达：

设i,j是任意两个成员。

S是I的任意子集，不包含i和j都有

V（S∪{i}）=V（S∪{j}）,则=

即在S中加入i或j的效益相同时，他们的报酬相同。

（2）贡献为零的成员报酬为0。

用数学语言表达：

设i是某一成员,对任意不包含i的子集S,

V（S）=V（S∪{i}）,则=0，即若成员I对他参加的任何合作都没有贡献，则他的报酬为0。

（3）有效性：

即n个成员的报酬总和等于他们合作的效益。

（4）可加性。

若这n个成员进行两次合作U1和U2，那么两次分配之和应该等于把这两次合作合并分配的结果，就是

（大概

（1）

（2）（3）无人反对，如果（4）不成立的话，那么这几个人做了两单生意之后，就要为此吵架）

现在根据这些原则进行分配。

假设三个人进行一项合作V123获利1元，其他无利，那么三人的贡献相同，所以

i=1,2,3

又设三人独立经商均无获利，甲乙合作V12获利1元，那么甲乙在此合作中贡献相同，而丙无贡献。

所以甲、乙应各得1/2元，丙的报酬为0。

i=1,2

又设在三人合作中，若有甲参加则获利1元，其他无利，记此合作为V1,则甲应得1元，乙和丙的报酬为0。

，，

同样我们可以定义合作V13,V23,V2,V3,并求得相应的分配。

每一种合作可以看作一个7维向量，它们的分配可以看作一个3维向量。

于是我们可以列成以下的表：

左半部为他们合作的效益，右半部是个人应得的报酬。

甲

乙

丙

甲乙

甲丙

乙丙

甲乙丙

甲

乙

丙

V12

1/2

V13

1/2

V23

1/2

V123

1/3

于是我们可以证明，映射V→是一个线性映射，也就是说存在一个7×3矩阵X，使=VX。

若记左半部的矩阵为A，右半部矩阵为B，那么AX=B,由此可以求得

取V=（1,1,1,7,5,4,10）,得

=VX=（4,3.5,2.5）

即甲应得4元，乙得3.5元，丙得2.5元。

三.Shapley值的分解算法

设I=，现有合作V,,,,,把合作V分解为简单对策的线性组合

设（*）

系数可通过解方程组确定.这是一个函数恒等式，故对自变量的每个取值都应成立，其自变量S为I的各子集。

V12

V13

V23

V123

u12

u13

u23

ABC

u123

代入（*）得方程组：

解出

所以a1,a2,a3分别表示A,B,C单干时的效益；

分别表示A与B,A与C,B与C合作时新增效益；

表示ABC三人合作时新增的效益，这是因为从第7方程看出（注：

a123不一定非负）

在分配时，对两人合作新增的效益应各分1/2，对三人合作新

增效益应各分1/3，从而

可以验证

若把各系数的解代入（6.13）也可得

例，在引例中,

代入系数公式可以求出,a1=a2=a3=1,a12=7-2=5,a13=5-2=3,a23=4-2=2,

a123=10-（2+3+5+1+1+1）=-3∴

所以

四，应用实例（p104例2）

下面举例说明这个模型的应用

有三个位于某河流同旁的城,从上游到下游依次为A、B、C,三城的污水必须经处理后方能排入河中,A、B距离为20公里,B、C距离38公里。

设Q为污水流量（米3/秒）,L为管道长度（千米）。

假设建污水厂费用为Cl=730Q0.712（千元）,

而建管道费用为C2=6.6Q0.51L（千元）,

已知三城的污水流量分别为QA=5,QB=3,Qc=5,问应该怎样处理（单独设厂还是联合设厂）,可使总开支最少,又每一城镇负担的费用应各为多少?

上游下游

QA=5 QB=3Qc=5

A B C

20km 38km

思路：

合作可省钱→把省钱看作获利→计算获利的分配→导出费用的分担

（5）A与C合作，在C处建厂

投资=

A与C分别建厂的投资

小于合建一厂的投资，故它们应选择分别建厂，即节省为0

（因为假设合作都应齐心协力使该结盟获得最大利益）

（6）B与C合作，在C处建厂

投资

比分别建厂节省

（7）A,B,C合作建厂在C处

投资

比各自建厂节省

综合上述可知，最佳方案（节省最多）的方案是

三城合作建一厂，共节省630.2（千元），这合作的获利如何分配呢？

现把节省的钱作为获利

，

取V=（0,0,0,383.5,0,244.2,630.2）,计算得

=VX=（192.6,314.7,122,9）

把合作V分解为:

代入（6.13）得

从而投资的分担

约计算取整，则三城单独建厂各需2300千元

1600千元

2300千元

把问题看成三人合作对策，

A、B、C单干或AC合作，获利为0

AB合作获利400千元，BC合作获利250千元，ABC合作获利640元，取V=（0,0,0,400,250,0,640）,代入=VX=（

于是，合作V为

V=400V12+250V23-10V123

幻方

如果一个n×n矩阵的每行，每列及两条对角线的元素之和都相等，且这些元素都是从1到n×n的自然数，那么这样的矩阵就称为n阶幻方。

下图是一个三阶幻方。

奇数幻方的构造

下面是一种构造奇数幻方的方法。

（1）先画一个n×n

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