第十三讲视图与投影立体图形的展开与折叠.docx
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第十三讲视图与投影立体图形的展开与折叠
第十三讲视图与投影、立体图形的展开与折叠
§13.1立体图形的展开与折叠
1.几何体的展开与折叠是________（选填“平面”或“立体”）图形与几何体表面展开图之间相互转化的过程.
2.同一个立体图形按不同的方式展开，可以得到________（选填“相同”或“不同”）的表面展开图，平面图形通过________（选填“展开”或“折叠”）可以得到相应的立体图形.
3.常见几何体的表面展开图：
（1）圆柱的侧面展开图是一个________，圆锥的侧面展开图是一个________；
（2）正方体有________个面，其表面展开图共由________个正方形组成.
考点呈现
考点1 立体图形的表面展开图
例1如图1，是一个正四面体，它的四个面都是正三角形，现沿它的三条棱AC，BC，CD剪开展成平面图形，则所得的展开图是（ ）
解析：
沿正四面体的三条棱AC，BC，CD剪开后，侧面的三个三角形均与后面的面相连.故选B.
点评：
本题要充分发挥想象力，同时也可以动手操作加以验证，加深理解.
例2下列图形中，不是正方体表面展开图的是（ ）
解析：
一个正方体共有六个面，将选项中的平面图形一一验证，就能得出选D．
点评：
在立体图形的展开图中，应重点掌握正方体的展开图，不仅能将正方体展开为平面图形，而且能识别所给6个大小一样的正方形能否拼成正方体.
考点2 判断两个面是否为对面或相邻的面
例3（2012年漳州市）如图2，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“祝”的对面是（ ）
A．考B．试
C．顺D．利
解析：
判断两个面是否为对面的依据是：
展开图的对面之间不能有公共边或公共顶点.由图形可以判断“祝”字的对面为“顺”.故选C.
点评：
解决这类问题，可以通过动手折叠得出正确答案，也可以直接根据展开图进行分析，找出相对的三组面，进而得到问题的答案.
例4如图3，是某一正方体的表面展开图，则该正方体是（ ）
解析：
由所给的表面展开图可知，
与
在立体图形中是相对的两个面，故A，B两个选项不对，由
可知，选D.
误区点拨
1.混淆立体图形与平面图形
例1下列说法：
①文具盒是长方形；②文具盒是长方体；③文具盒的表面是长方形.其中正确的是（ ）
A.①②B.①③C.②③D.①②③
错解：
D.
剖析：
出现错误的原因是对长方体和长方形理解不清，即混淆了立体图形与平面图形，要特别注意的是长方体的一个面是长方形，所以①不正确.
正解：
C.
2.圆柱、圆锥的表面展开图忽略了它们的底面圆
例2画出图4中圆柱和圆锥的表面展开图.
错解：
如图5.
剖析：
受圆柱、圆锥侧面展开图的影响，在画它们的表面展开图时，忽略了底面圆而画成侧面展开图.要注意圆柱是由三个面组成的，即两个平面（圆底面）和一个曲面（侧面）；圆锥是由两个面组成的，即一个平面（圆底面）和一个曲面（侧面）.
正解：
如图6.
技法指导
1.熟练掌握常见立体图形的特征，加强空间想象能力的培养.
2.熟记常见立体图形的展开图，如圆柱、圆锥、正方体等，重点掌握正方体的表面展开图，这也是中考的重点.
跟踪训练
1.下列图形中，不能经过折叠围成正方体的是（ ）
2.（2012年宁德市）将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（ ）
3.（2012年南昌市）一个正方体有_______个面．
4.如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方体中和“着”相对的面上的汉字是_______.
5.（2012年杭州市）已知一个底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，则这个棱柱的下底面积为_______cm2；若该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，记底面菱形的顶点依次为A，B，C，D，AE是BC边上的高，则CE的长为____cm．
§13.2常见几何体的三视图
知识梳理
1．几何体的三视图是指________、________、________.
2．主视图反映物体的长和________；俯视图反映物体的长和_______；左视图反映物体的______．因此，在画三视图时，主、俯视图要________对正，主、左视图要________平齐，俯、左视图要_______相等．
3．画三视图时，看得见部分的轮廓线通常画成________，看不见部分的轮廓线通常画成________．
考点呈现
考点1 由小立方块组成的几何体的三视图
例1（2012年广东省）如图1所示几何体的主视图是（ ）
解析：
从正面看到的图形叫做主视图.从正面看，此图形的主视图由3列组成，从左到右小正方形的个数依次是1，3，1.故选B.
点评：
解决此类问题，首先约定前后称为行，左右称为列，上下称为层，综合判断得出答案.
考点2 简单几何体的三视图
例2（2012年安徽省）下面的几何体中，主视图为三角形的是（ ）
解析：
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形.因此，根据这几个常见几何体的三视图，可知圆柱的主视图是矩形，正方体的主视图是正方形，圆锥的主视图是三角形，三棱柱的主视图是两个相连的矩形.故选C.
点评：
应熟记一些常见几何体（如圆柱、圆锥、球、三棱柱、三棱锥等）的三视图，解题时可以直接应用.
考点3 组合体的三视图
例3如图2，这个几何体的主视图是（ ）
解析：
这个几何体由圆柱和圆锥组合而成，它们的主视图分别为长方形和三角形，且看得见的部分画成实线，故选A.
点评：
本题考查简单组合体的三视图，可拆成两个分别研究，要注意看得见的轮廓用实线，看不见的轮廓用虚线，要防止出现选C的错误.
考点4 旋转体的三视图
例4如图3，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=90°．将直角梯形ABCD绕直线AD旋转一周，所得几何体的俯视图是（ ）
解析：
由图3旋转所得的几何体是圆台，其上小下大，所以俯视图为D.
点评：
要注意上小下大，即上、下底在俯视图中都是看得见的，所以都应画成实线.
考点5 已知俯视图及小方块个数画其余视图
例5图4是由几个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，那么这个几何体的主视图是（ ）
解析：
根据图4，可得如图5的实物，由实物知，其主视图应是两列，左列有两层，右列有三层，故选A.
点评：
本题已知俯视图及其在每个位置上的小方块数目，由此可以确定实物图，然后再根据实物图确定它的主视图.这体现了视图与实物之间的相互转化.
技法指导
1.画物体的三视图时，应注意“主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等”．意思是说，主视图和俯视图的长与几何体的长相等，主视图和左视图的高与几何体的高相等，俯视图和左视图的宽与几何体的宽相等.
2．画组合体的三视图时，其中看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线．
误区点拨
1.视图的画法有误
例1画出如图6所示正四棱锥的三视图.
错解：
三视图如图7所示.
剖析：
画立体图形的三视图时，无论哪种视图都要求视线正对物体，因此，两侧的平面在视图上变成线，所以主视图和左视图错了；对能看见的轮廓线要画成实线，所以俯视图也错了.
正解：
三视图如图8所示.
2.虚线与实线没有分清
例2如图9是一个空心几何体，请画出它的主视图.
错解：
主视图如图10所示.
剖析：
画组合体的三视图时，其中看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线.
正解：
主视图如图11所示.
3．画图比例不准确
例3根据所学视图的相关知识，画出图12中正六棱柱的三视图.
错解：
三视图如图13所示.
剖析：
画视图要注意长对正，高平齐，宽相等.从图13看，俯视图的尺寸比例画错了，它的长应与主视图一样，而高应等于左视图的长，但图中的俯视图明显不符.
正解：
三视图如图14.
跟踪训练
1.如图所示几何体的主视图是（ ）
2.在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不相同的是（ ）
3．如图是由四个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么原立体图形可能是图形中的________（把你认为正确的序号都填上）.
4.如图所示是一个圆锥的主视图，则该圆锥的侧面积是______．
5.画出如图所示实物的三视图.
§13.3投影
知识梳理
1．太阳光线可以看成________光线（填“相交”或“平行”），像这样的光线所形成的投影称为________．
2．物体在太阳光照射的不同时刻，不仅影子的长短在变化，而且影子的________也在改变．根据不同时刻影长的变换规律，以及太阳东升西落的自然规律，可以判断时间的先后顺序．
3．判断平行投影的方法：
分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，若两直线________，则为平行投影.
4.灯光的光线可以看成是从一点（即点光源）发出的，像这样的光线所形成的投影称为________．
5．中心投影点光源的确定：
分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作直线，这两条直线的________即为光源的位置．
6.判断中心投影的方法：
分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作直线，若两直线________，则为中心投影．
考点呈现
考点1 投影作图
例1如图1，已知树及其影子，画出在阳光下同一时刻旗杆的影子．
解析：
在阳光下的投影是平行投影，即光线是平行的，由树高及影长可确定光线的方向，由此即可画出旗杆在同一时刻的影子．如图2，连接AB，过点C作CD∥AB，则图中ED即为旗杆在同一时刻的影子.
点评：
解答此类问题要注意转化，即由影子可确定光线，由光线再确定影子.
考点2 与投影有关的计算
例2如图3，教室窗户的高度AF为2.5米，遮阳蓬外端点D到窗户上缘的距离为AD，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角∠BPC为30°，PE的长为
米，试求AD的长度（结果保留根号）．
分析：
过E作EG∥AC，构造直角三角形.在Rt△GEP中可以求出EG=1，在Rt△ABD中可以求出AD的长.
解：
如图3，过点E作EG∥AC交PD于G点，则四边形BFEG为平行四边形.由题意，得∠ＢPＣ=∠D=30°.
因为EG=EP·tan30°=
=1，所以BF=EG=1，则AB=AF-BF=2.5-1=1.5.在Rt△ABD中，AD=
=
（米）.所以AD的长为
米.
点评：
解决此类问题的关键是构造直角三角形或者相似三角形，再利用有关的知识来解.
例3如图4，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米.已知王华的身高是1.5米，那么路灯A到地面的距离AB等于（ ）
A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
解析：
由题意，知GC⊥BC，AB⊥BC，所以GC∥AB．所以△GCD∽△ABD.所以
.设BC=x，则
．
同理，得
．所以
.
所以x=3.
所以AB=6．
故选B.
点评：
（1）在解决与投影相关的计算时，常常要用到相似三角形和解直角三角形的知识，要注意知识的融会贯通;
（2）在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中间比，它是解题的桥梁，如该题中
．
技法指导
1．平行投影的光线是平行的，中心投影的光线是相交的.
2．掌握平行投影和中心投影的判定方法.
误区点拨
1.未能正确区分平行投影与中心投影
例1如图5，请根据两棵树的影子画出小明在同一时刻的影子.
错解：
如图6，先根据一棵树的影子作出一条光线，再从小明的头顶作一条与之平行的光线，则图中线段AB就是小明的影子.
剖析：
本题应首先判断两棵树的影子是太阳光下形成的，还是灯光下形成的.而判断的方法是看它们的光线是否相交，如果相交，则为灯光下形成的；如果平行，则为太阳光下形成的.如图7，其实由两棵树的影子作出它们的光线，结果两光线是相交的，所以它们的影子是灯光下形成的，交点即为光源，由此可作出小明在灯光下形成的影子.
正解：
如图7，线段CD就是小明的影子.
2．对太阳光下的投影认识不全
例2小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是（ ）
错解：
B或D.
剖析：
没有认清矩形木框处于不同位置时投影的特点，在平行投影下仍然平行或重合，但不可能变为相交.
正解：
A.
跟踪训练
1.下列关于平行投影的说法：
①平行投影的光线是平行的；②平行投影下，同一时刻的物高和影长成正比；③在太阳光下，同一时刻的两物体的影子方向是相反的；④在上午时，一个物体的影子是朝东的.其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2.在同一时刻的灯光下，小明的影子比小强的影子长，那么（ ）
A．小明比小强高B．小明比小强矮
C．小明和小强一样高D．无法判断谁的个子高
3.小丽与小明的身高相同，如果在路灯下，发现小丽的影子比小明的影子长，则说明小丽离灯光比较________（填“远”或“近”）.
4.小华在距离路灯6m的地方，发现自己在地面上的影长是2m.如果小华的身高为1.6m，那么路灯离地面的高度是________m.
5.上小学五年级的小丽看见上初中的哥哥小勇用测树的影长和自己的影长的方法来测树高，她也学着哥哥的样子在同一时刻测得树的影长为5m，自己的影长为1m．要求得树高，还应测得________．
6．如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具.移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为________m.
7．某数学课外实验小组想利用树影测量树高．他们在同一时刻测得一身高为1.5m的同学影长为1.35m.因为大树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上（如图），他们测得地面部分的影长ＢＣ＝3.6m，墙上影长CD=1.8m，求树高ＡＢ.
§13.1立体图形的展开与折叠
1．B 2．B 3．6 4．静 5．15 1或９
§13.2常见几何体的三视图
1．B 2．B 3．①②④ 4．
π
5．如图所示：
§13.3投影
1．B 2．D 3．远 4．6.4
5．自己的身高 ６．12
７．解：
延长AD，交BC的延长线于点E．根据同一时刻物高与影长成正比，得AB∶BE=CD∶CE=1.5∶1.35，即AB∶BE=1.8∶CE=1.5∶1.35.
所以CE=1.62.
所以BE=3.6+1.62=5.22.
所以AB=5.8（m）．
即树高ＡＢ为5.8m.
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