浅析用轴对称知识求线段和的最小值.docx
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浅析用轴对称知识求线段和的最小值
浅析用轴对称知识求线段和的最小值
求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单的解决。
我们先通过一个非常典型的例题来推导一个性质：
一、性质推导
例题：
如图所示，在河岸L的一侧有两个村庄A、B，现要在河岸L上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到A，B两村庄的距离之和最短？
首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作B点关于L的对称点B1,在直线L上任意定一点M，连接BB1，BM，B1M，根据轴对称知识，我们可以求证BM＝B1M，
所以，我们可以得出这样的性质：
成轴对称的两个对应点到对称轴上任意一点的距离相等。
在该例题中，利用这一性质，我们可得出：
点B到河岸L上任意点M的距离等于对称B1到点M的距离。
要使AM+B1M最小，必须使A、M、B1三点共线，
也就是说，必须使点M，与AB1连线和L的交点N重合，
所以，河岸上的N点为到A、B的距离之和最小的点。
证明：
M为L上的任意点
因为BM＝B1M
所以，BM+AM＝B1M+AM，而B1M+AM大于B1A，
所以，结论成立
二、应用
1：
在图
（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。
求这个最小值。
解：
作出A1B（作法如上图）
过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H，
在Rt△A1BH中，A1H=4千米，BH=4千米，
用勾股定理求得A1B的长度为4
千米，
即PA+PB的最小值为4
千米。
图
（1）
2、如图
（1），在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=__________________。
解：
如图
（2），只要画出点Q关于x轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1交x轴于点M，则M点即为所求。
点M的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。
（也可以用勾股定理或相似三角形求出答案）。
3、求函数y=
+
的最小值。
解：
方法（Ⅰ）
把原函数转化为y=
+
，因此可以理解为在X轴上找一个点，使它到点（3，1）和（-3，5）的距离之和最小。
（解法同上一题）。
方法（Ⅱ）
如图（9），分别以PM=（3-x）、AM=1为边和以PN=（x+3）、BN=5为边构建使（3-x）
和（x+3）在同一直线上的两个直角△PAM、△PNB，两条斜边的长就是PA=
和PB=
，因此，求y的最小值就是求PA+PB的最小值，只要利用轴对称性质求出BA1的长，就是y的最小值。
（6
）。
三、拓展
（一）三条线段的和最小的问题：
如图3，
已知甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时,甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA边上，丙站在OB边上，游戏规则：
甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点P处。
如果三人速度相同，试作图求出乙丙站在何处，他们比赛所用时间最短。
析解：
三人的速度一定且相同，要使比赛时间最短，只需
三人所走的路程最短，因此可以利用轴对称知识，作点P关于
OA、OB的对称点
、
，连接
，交OA于
，交OB
于
，则点
和点
应分别是乙、丙的位置。
这样连接
、
则三人行的路程和为
。
规律总结：
轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。
（二）利用菱形的对称性，求线段和的最小值
1、如图（5），在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=2a，∠BAD=1200,点P在BD上，则PE+PC的最小值是（）
（A）6a,（B）5a
（C）4a,（D）2
a。
解：
如图（6），因为菱形是轴对称图形，所以BC中点E关于对角线BD的对称点E一定落在AB的中点E1，只要连结CE1，CE1即为PC+PE的最小值。
这时三角形CBE1是含有300角的直角三角形，PC+PE=CE1=2
a。
所以选（D）。
2、已知在菱形ABCD中，∠A=600，AD=8，M、N分别是AB，BC边上的中点，P是对角线AC上一动点，求PM＋PN的最小值。
分析：
因为动点P在菱形ABCD的对角线AC上，
而CD边的中点G，是N关于对称轴AC的对应点
所以，PG＝PN，
因此求PM＋PN的最小值就转化为求PM＋PG的最小值，连接MG，在△PMG中，PM＋PG的最小值就是MG，即PM＋PG≥MG（仅当M、P、G三点共线时取得最小值）。
解：
取CD的中点G，连接PG
∵AC是菱形ABCD的对角线
∴∠PCG＝∠PCN
又CB＝CD，N是BC边的中点 ∴CN＝CG
又PC＝PC，∴△PCG≌△PCN ∴PG＝PN
连接MG。
∵ ∴四边形AMGD为平行四边形
∴MG＝AD＝8
在△PMG中，（仅当P、M、G三点共线时取等号）
∴
即，故PM＋PN的最小值为8。
（三）利用正方形的对称性，求线段和的最小值
已知如图：
正方形ABCD的边长是3,E点分边BC为2:
1,P为对角线BD上一点,求PE+PC的最小值.
分析:
要想求PE+PC的最小值,关键是确定点P的位置,根据对称的知识我们知道点P的位置应是，点C关于直线BD的对称点和点E连线与BD的交点.
解:
因为四边形ABCD为正方形,所以点C关于BD的对称点为A,连接AE交BD于P点,则此时PE+PC的最小值最小,最小值为:
PE+PC=AE=
（四）利用等腰梯形的对称性，求线段和的最小值
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠B＝60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC＋PD的最小值为_____________。
分析：
在梯形ABCD中，因为AB＝CD＝AD，易知梯形ABCD是等腰梯形，又直线MN是梯形ABCD的对称轴，所以直线MN是底边AD、BC的垂直平分线，连接PA，由线段垂直平分线上任一点，到已知线段两端的距离相等知，PA＝PD，所以求PC＋PD的最小值就转化为求PC＋PA的最小值，即求AC的长度即可。
解：
连接PA
∵AB＝CD＝AD＝1，∴梯形ABCD是等腰梯形
又直线MN是梯形ABCD的对称轴
∴PA＝PD
过点A作AE⊥BC，过点D作DF⊥BC，E、F为垂足，易证△ABE≌△DCF，∴BE＝CF
在Rt△ABE中，∵∠B＝60°，AB＝1
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
即PA＋PC的最小值为（当A、P、C三点共线时取得最小值）
也可这样求AC的值：
过A点作CD的平行线，交BC于G，则BG＝AB＝1,GC＝AD＝1
∴BC＝2
而角BCA＝DAC＝DCA，∴角BCA＝30,角BAC＝90度
在三角形ABC中，可求得AC
（五）利用圆的对称性，求线段和的最小值
已知如图,AB是⊙○的直径,AB=2cm,OC⊥AB,点D是弧AC的三等分点,P是OC上一动点,求PA+PD的最小值.
分析：
圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆上任意一点的关于直径所在直线的对称点都在圆上。
解:
作点D关于OC的对称点F,连接AF,此时PA+PD的最小值为AF.
因为AB是圆O的直径,OC⊥AB，则弧AC的度数为900，因为D是弧AC的三等分点，所以弧AD的度数是600，弧DC的度数是300，因为点D与点F关于OC的对称，所以且弧DC与弧CF相等,都为300，∴∠AOF=1200，作OE⊥AF，则∠AOE=600。
在Rt△AOE中，AO=1cm，∠AOE=600，则AE=，∴AF=
。
（六）利用坐标系的对称性，求线段和的最小值
如图,在直角坐标系中,有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m，0），求四边形ABCD周长最短时的值。
分析：
因为A、B是定点且长度不变，四边形ABCD的周长最短，需使AD+CD+BC 的值最小，由于C、D两点未知，所以本题关键是找C、D两点，可考虑用轴对称的方法将BC、CD、AD这三条折线拉直。
解：
分别作A点关于x轴、B点关于y轴的对称点
A/（-8，-3）、B/（4，5），连接A/B/分别交x轴、y轴于
D、C点。
设直线A/B/的解析式为y=kx+b，把x=-8，y=-3；x=4，y=5分别代入得：
-8k+b=-3
4k+b=5
解得k和b值，得到A/B/的解析式为:
3y=2x+7
令x=0，求得y，得到C点
令y＝0，求得x，得到D点
由以上几例可以看出，当求线段和的最小值时，常常借助轴对称将两条线段转化到一条直线上，再利用“两点之间线段最短”进行求解。
四、链接
看这样一题：
要在一条河上架一座桥（桥须与河岸垂直，两河岸平行），请提供一种设计方案，使从A地到B地的路径最短，请说明理由。
请思考：
1、这题为什么不能用轴对称知识解决？
（认真理解我推导出的性质就可明白）
2、如何用平移知识解决此题？
3、类似我推导出的轴对称性质，平移的知识能否推导出类似的性质？
五、练习
1、（2002湖北黄岗竞赛题）如图（10），∠AOB=450，角内有一点P，PO=10，在角两边上有两点Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是___________________。
提示：
画点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，
∵∠AOB=450，∴ΔP1OP2是等腰直角三角形，P1P2=10
。
又问:
当ΔPQR周长最小时，∠QPR的度数=____________。
（答案：
900）
2、已知点A（-2，1），点B（3，4）。
在X轴上求一点P，使得PA+PB的值最小。
这个最小值是__________________。
（同例2）
3、（北京市竞赛题）如图（11），在矩形ABCD中，AB=20㎝，BC=10㎝，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值。
提示：
要使BM+MN的值最小，应设法把折线BM+MN拉直，从而想到用轴对称性质来做。
画出点B关于直线AC的对称点B1，则B1N的长就是最小值；
又因为N也是动点，所以，当B1N⊥AB时这个值最小，利用勾股定理和三角形面积公式可以求得这个最小值为16。
初三的同学也可以用射影定理和面积公式求解。
4、如图（12）在菱形ABCD中，∠DAB=1200，点E平分BC，点P在BD上，且PE+PC=1，那么边长AB的最大值是________________。
提示：
因为当PE+PC最小时，AB=CD达到最大，这个最大值是
。
5、如图（15），在河湾处M点有一个观察站，观察员要从M点出发，先到AB岸，再到CD岸然后返回M点，则该船应该走的最短路线是————————（先画图，再用字母表示）。
6、求代数式
+
的最小值。
（答案：
）
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