剪切应力计算.docx
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剪切应力计算
拉伸、压缩与剪切
1基本概念及知识要点
1.1基本概念
轴力、拉（压）应力、力学性能、强度失效、拉压变形、胡克定律、应变、变形能、静不定问题、剪切、挤压。
以上概念是进行轴向拉压及剪切变形分析的基础，应准确掌握和理解这些基本概念。
1.2轴向拉压的内力、应力及变形
1.横截面上的内力：
由截面法求得横截面上内力的合力沿杆的轴线方向，故定义为轴力
Fn，符号规定：
拉力为正，压力为负。
工程上常以轴力图表示杆件轴
力沿杆长的变化。
2.轴力在横截面上均匀分布，引起了正应力，其值为
Fn
A
MPaPa。
正应力的符号规定：
拉应力为正，压应力为负。
常用的单位为
3.强度条件
强度计算是材料力学研究的主要问题之一。
轴向拉压时，构件的强度条件是
可解决三个方面的工程问题，即强度校核、设计截面尺寸及确定许用载荷。
4.胡克定律
线弹性范围内，杆的变形量与杆截面上的轴力Fn、杆的长度I成正比，与截面尺寸A
成反比；或描述为线弹性范围内，应力应变成正比，即
FnI
1EA
式中的E称为材料的弹性模量，EA称为抗拉压刚度。
胡克定律揭示在比例极限内，应力和
应变成正比，是材料力学最基本的定律之一，一定要熟练掌握。
1.3材料在拉压时的力学性能
材料力学性能的研究一
材料的力学性能的研究是解决强度和刚度问题的一个重要方面。
般是通过实验方法实现的，其中拉压试验是最主要、最基本的一种试验，由它所测定的材料
性能指标有:
—材料的塑性指标。
低碳钢的拉伸试验是一个典型的试验。
详见教材，应理解本部分知识。
1.4简单拉压静不定问题
束反力或构件的内力。
和静力平衡方程联立求解，即可得出全部未知力。
化会引起温度应力。
1.5应力集中的概念
件尺寸的突变处，发生局部应力急剧增加的现象，称为应力集中现象。
剪切和挤压的实用计算
1.工程中经常使用到联接件，如铆钉、销钉、键或螺栓等。
联接件一般受剪切作用，并伴
随有挤压作用，因而联接件应同时满足剪切强度和挤压强度。
有时还要考虑被联接部分
的拉伸强度问题。
为剪力，A为剪切面的面积，即假设切应力在剪切面上均匀分布。
剪切强度条件
3.产生相互挤压的表面称为挤压面。
挤压面上的挤压应力为
bs—，式中F为挤压力,Abs
As为挤压面积，即假设挤压应力在挤压面上均匀分布。
挤压强度条件为
2重点与难点及解析方法
轴向拉压的应力、强度计算及变形计算
强度计算是本章的重点内容，它能够解决三类工程问题。
而胡克定律是联系力与变形的基本定律，应重点掌握。
解析方法：
1对等截面直杆，横截面上的正应力最大，强度计算时必须明确在哪
个截面进行强度计算；而纵向截面上的应力等于零。
2应用胡克定律计算变形时，内力应以代数值代入。
求解结构上节点的位移时，设想
交于该节点的各杆，沿各自的轴线自由伸缩，从变形后各杆的终点作各杆轴线的垂线，这些
垂线的交点即为节点新的位置。
简单拉压静不定问题
解静不定问题的关键是列出正确的变形几何关系。
在列几何关系时，注意假设的变形应是杆件可能的变形。
解析方法：
1列静力平衡方程;
2根据变形协调关系列出变形的几何关系;
3列出力与变形之间的物理关系;
4联立解方程组求出未知力。
材料在拉压时的力学性能
力学性能是材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面的特性。
是通过实验研究的
应理解力学性质中涉及
方法来实现的，这种方法对我们以后的工程设计有一定的指导作用。
到的几个强度指标及塑性指标。
剪切和挤压的强度计算
联接件的强度计算，关键在于正确判断剪切面和挤压面。
剪切面积为受剪面的实际面积,当挤压面为半圆柱面时，一般取圆柱的直径平面面积为挤压面面积，以简化运算。
3典型问题解析
轴向拉压的强度、变形计算
例题:
已知AC杆为直径d=25mm的A3圆钢，材料的许用应力[d]=141MPa,ACAB杆夹角a=30°,如图2—1（a）所示，A处作用力F=20kN,求：
1校核AC杆的强度；2选择最经济的直径d;3若用等边角钢，选择角钢型号。
解:
1校核AC杆的强度
（a）（b）
用一截面将ACAB杆截开，取A节点作为研究对象，如图2—1（b）所示，利用平衡方程计算Fni。
Fy=0
Fn1sin30o—F=0
Fni40kN
代入强度条件，校核AC杆的强度
—FN1
AC—T
3
40103
—81.5MPa
-25210—6
4
满足强度要求，安全。
2选择最佳截面尺寸，根据强度条件
电儒284mm2
-d2
4
輕^428410619.02mm
3选择等边角钢型号
心284mm，查表可选50X3号等边角钢。
解题指导:
杆件轴力方向未知时，可使用设正法，即假设轴力为正，由平衡
方程求解出的结果为正，说明是拉力；结果为负，说明是压力。
例题:
零件受力如图2-2所示，其中Fp=50kN。
求零件横截面的最大正应力，并指出发生在哪一横截面上。
解:
用截面法分析零件各横截面上的轴力，得轴力都是相同的，即
FNFp
又因为开孔使截面积减小，所以最大正应力可能发生在孔径比较小的两个横截面上或II—II上。
对于I一I截面，其横截面积
242
A5022mm20mm560mm=5.6010m
对于II一II截面，其横截面积
242
A5022mm15mm2840mm=8.4010m
则最大正应力发生在I一I截面，，其上之正应力
解题指导:
由于开孔，在孔边形成应力集中，因而横截面上的正应力并不是
均匀分布的。
严格地讲，不能采用上述方法计算应力。
上述方法只是
不考虑应力集中时的应力，称为“名义应力”。
如果将名义应力乘上
一个应力集中系数，就可得到开孔附近的最大应力。
应力集中系数可
从有关手册中查得。
30cm，材料为铸铁，其许
例题
图2-3（a）所示铰接正方形结构，各杆的横截面面积均为
解:
1求各杆轴力
取B节点作为研究对象，如图
2-3（b）所示，代平衡方程
F2FN1cos45o0,
FN1
（拉）
即ABBC杆轴力为£=
72
取A节点作为研究对象，如图2—3（C）所示，代平衡方程
FN22Fn1cos450,Fn2F（压）
即ADDC杆轴力为早,AC杆轴力为F。
72
2求许可载荷
由斜杆的拉伸强度条件
由AC杆的压缩强度条件
故结构的许可载荷为F127.3kN
解题指导:
尽管拉力Fni要比压力Fn2小约40%但结构的许可载荷还是受拉
伸强度所限制，这是因为铸铁的抗拉强度要比其抗压强度低得多。
在
工程实际中，受压构件通常选用铸铁等脆性材料，而受拉构件一般选
用低碳钢等塑性材料，以合理地利用各种材料的力学性能。
例题:
图2—4（a）所示之结构中，AB和AC均为Q235钢制成的圆截面杆，直径相同d=20mm
许用应力=160MPa。
试确定该结构的许用载荷。
解:
1由平衡条件计算各杆轴力，设AB杆轴力为Fn1,AC杆轴力为Fn2，如图2—4（b）所示。
对于节点A,由Fx0得
由Fy0得
Fn1cos30oFn2cos45oF
将
（1）、
（2）式联解
可见AB杆比AC杆受力大，而两者的材料及横截面尺寸都是相同的。
因此，两根杆的危险程度不同。
如果AB杆的强度得到满足，AC杆的强度也一定安全。
2根据强度条件计算许用载荷
FN1
ABT
40.732F
nd2
据此解得
若改为，由强度条件计算许用轴力
F79.1kN
这个解显然是错误的。
解题指导:
上述错误解法，实际上认为两根杆同时达到了危险状态。
但实际
上，两根杆的材料、截面尺寸相同，而受力不同，因而应力不同，其
应力。
因而二者不可能同时到达危险状态。
例题:
1、2杆均为圆截面钢杆，杆端为铰接。
两杆长度L、直径d材料E均相等，A处作用
解:
A位移向下。
分别以BC为
但两杆铰接在一起，不能自由伸长，可判断出变形后节点
圆心，LLi、LL2为半径作圆弧，所作圆弧的交点A就是杆件变形后节点A的位置。
在实际工程中，为了便于计算，从杆件变形后的端点作杆件的垂线，用垂线代替圆弧线，近似认为其交点A为变形后A的位置，AA为节点A的位移。
这种求位移的方法称为图解法。
A点的位移:
解题指导:
理论上计算节点位移时，应由两杆伸长后的长度为半径画圆弧,
两圆弧的交点即为节点新的位置。
但由于杆件的变形是小变形，实际
上是用切线代替圆弧来简化运算。
作图法简单易行，计算结果满足工
程要求。
简单拉压静不定问题
例题:
已知1杆的抗拉压刚度E1A1,2、3杆的抗拉压刚度相等EA2=EA。
三杆铰接在一起，L1
=L2=L3=L。
试求在力F作用下各杆的内力。
解:
（1）
三个未知数，两个独立平衡方程，为一次静不定问题。
根据图解法，作节点A的位移图，得变形关系:
代物理关系:
联立解得
解题指导:
由此例题可知，静不定结构各杆件受力与杆件刚度比有关，这是静
不定结构区别于静定结构的显著特征之一。
例题:
已知正方形截面组合杆，由两根截面尺寸相同、材料不同的杆1和杆2组成，二者的弹性模量为E和E（E>E2）,若使杆1和杆2均匀受压，求载荷F的偏心距e。
解:
静力平衡关系:
Fx0
FN1
FN2
为一次静不定问题。
变形关系;
Li
物理关系:
Ma0
Fe
bFN1
bFN2
（1）
L2
L1=
E1A
L2=
Fn2L
E2A2
（2）
（1）、
（2）、（3）联立解得
FN1
E1
E1
E2
Fn2厶
E1E
-F
2
代入
（1）中第二式解得偏心距
bE1E2
2E1E2
例题:
已知杆1为钢杆Ei=210GPa,
12.5
10°/^,A1=30cm。
杆2为铜杆，吕=105GPa,
219106/C,A2=30cm。
载荷F=50kN。
若AB为刚杆且始终保持水平，试问温度升高
还是降低？
求温度的改变量
△T。
解:
设由F、AT引起的总的内力为Fn1、
FN2,
静力平衡关系:
Mc
FN1FN1F
为一次静不定问题。
变形关系:
Li
L2
L1N
L2N
Lit
L2T
物理关系:
.—Fn1L
L1n
E1A1
Fn2L
L2=
Lit
TL
E2A2
L2T
TL
（1）、
（2）、（3）联立解得
即温度降低26.5C,可保证
F
2E2A21E1A1
AB刚杆始终保持水平。
26.5C
解题指导:
关键是列出正确的变形几何关系。
剪切和挤压
例题:
头的最小直径值及钢板厚度最大值。
解:
1按冲头压缩强度计算d
d产9.8cm
2按钢板剪切强度计算t
fs_F_
Adt
解题指导:
t―—3.2cm
db
对于剪切的强度计算，关键是确定剪切面和挤压面。
可以先找
变形过程中相互压紧的面即为挤压面，可能产生剪切破坏的面即为挤
压面。
例题:
如图2—10所示连接，Dt、d均已知，材料的许用应力分别为
［（7］、［T］、［（7bs］。
试确定许用载荷。
解:
1由强度条件
图2—10
2由剪切强度条件:
3由挤压强度条件:
bs
许用载荷为三个力中较小者，即
电匚
A—A
F1
d2
Abs
F2
dt
bs
F3
D2d2
bs
=min
F1,F2,F3
例题:
头的切应力和挤压应力。
解:
图2—11
先分析木榫接头的剪切面和挤压面
例题:
hb
1.67MPa
Fbsbs忑
F
cb
16.7MPa
图示传动轴，齿轮与轴用平键联接，传递转矩
M7kNm若键的尺寸b28mm
h20mm材料的
90mPabs220mPa试求键的长度l。
解:
1受力分析
键的受力如图2-12
（b）、
（C）所示
27103175kN
80
103
2求键的长度
由剪切强度条件
所以
由挤压强度条件
2F
hbs
故键的长度应取
解题指导:
Fs
A
bl
175103
2810
bs
Abs
丁69mm
90106
bs
3
17510rcu
79.5mm2010220106
80mm在工程实际中，键为标准件，应按有关规定选用。
从上述计算可见，当平键的挤压应力达到许用值时，键的工作剪
应力远低于许用剪应力。
对于标准键（或花键），其挤压强度是主要
矛盾，而其剪切强度一般都是足够的；对于铆钉、螺栓等联接件，其
剪切强度往往是主要的，挤压强度通常都能得到满足。
4自我测试
1.轴向拉伸杆，正应力最大的截面和切应力最大的截面（
（A）分别是横截面、45°斜截面；（B）都是横截面,
正确答案是
2.
轴向拉压杆，在与其轴线平行的纵向截面上（
正应力和切应力均为零。
正确答案是
正确答案是
正确答案是
正确答案是
外力一定最大，且面积一定最小;
轴力不一定最大，但面积一定最小;
正确答案是
Fi、F2、
7.一个结构中有三根拉压杆，设由这三根杆的强度条件确定的结构许用载荷分别为
F3，且Fi>F2>F3，则该结构的实际许可载荷[F]为（）。
正确答案是
8.图示桁架，受铅垂载荷F=50kN作用，杆1、2的横截面均为圆形，其直径分别为di=15mm
d2=20mm材料的许用应力均为[d]=150MPa试校核桁架的强度。
9.已知直杆的横截面面积A长度L及材料的重度Y、弹性模量E,所受外力P如图示。
求：
（1）绘制杆的轴力图;
（2）计算杆内最大应力;
（3）计算直杆的轴向伸长。
（D）垂直。
（C）平行;
正确答案是
剪切面面积大于挤压面面积。
正确答案是
3.在连接件剪切强度的实用计算中，剪切许用力［T］是由（）得到的.
（A）精确计算；（B）拉伸试验；（C）剪切试验；（D）扭转试验。
正确答案是
4.置于刚性平面上的短粗圆柱体AB,在上端面中心处受到一刚性圆柱压头的作用，如图所
正确答案是
正确答案是
6.图示A和B的直径都为d则两者中最大剪应力为:
（A）
4bF/（and2）;
（B）
4（a+b）F/（and2）
（C）
4（a+b）F/（bnd2）;
（D）
4aF/（bnd2）。
正确答案是
7.图示销钉连接，已知Fp=18kN,ti=8mm,t2=5mm,销钉和板材料相同，许用剪应力
[T]=600MPa,许用挤压应力、[6bs]=200MPa,试确定销钉直径d。
P
拉压部分:
（D）
（A）
（A）
（C）
（T1=V[d]
（1）
轴力图如图所示
6maX=P/A+丫L
自我测试答案
d2=116MPa<[d]
△I=PL/EA+YL2/（2E）
剪切部分:
（B）
（A）
（C）
（B）
d=14mm
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