高一下数学期末专题练习必修2立体几何Word文件下载.docx
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不要求记忆,但要会使用公式。
审题时分清“表面积”和“侧面积”。
(1常见旋转体的面积公式:
正视图左视图
AA1B1
(2体积公式
柱体VSh=
锥体13VSh=
台体(
/
13
VSSh=
+球体343
VRπ=球的表面积2
4SRπ=
(3正方体的内切球和外接球设正方体的棱长为a,则内切球半径=
2
a;
外接球直径等于正方体的体对角线⇒。
(4扇形的面积公式2
1122
Slrrα==弧长公式lrα=
7、一个直角三角形的两条直角边分别是3和4,以它的斜边为轴旋转所得的旋
转体的表面积为(A
A.845
πB.144
15
πC.36πD.24π
8、若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项,则称此圆锥为“黄金圆锥”。
已知某黄金圆锥的侧面积为π,则这个圆锥的高为________1
9、已知圆台的上下底面半径分别是2,6,且侧面积等于两底面面积之和,则该圆台的母线长是______5_____,体积是____52π_______。
10、如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度:
cm,求此几何体的表面积和体积。
11、将圆心角为0
120,面积为π3的扇形,作为圆锥的侧面,求圆锥的表面积。
12、若一个球的体积是,则它的表面积为_________.四、点、线、面的位置关系
13、,ab是异面直线,,bc是异面直线,则,ac的位置关系是(A
.A相交、平行或异面.B相交或平行.C异面.D平行或异面
14、下列四个命题中假命题的个数是(A
①两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行。
②两条直线没有公共点,则这两条直线平行。
③两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行。
④//,,//ababαβαβ⊂⊂⇒。
.4A.3B.2C.1D15、阅读以下命题:
①如果ba,是两条直线,且ba//,那么a平行于经过b的所有平面.②如果直线a和平面α满足α//a,那么a与α内的任意直线平行.③如果直线ba,和平面α满足αα//,//ba,那么ba//.④
如果直线ba,和平面α满足αα⊄baba,//,//,那么α//b.
⑤如果平面α⊥平面χ,平面β⊥平面χ,l=βα,那么l⊥平面χ.请将所有正确命题的编号写在横线上4,5.
16.设,mn是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题正确的(
(A若,,//mnmnαβ⊥⊥
则//αβ(B若//,//,//mnαβαβ,则//mn
(C若,//,//mnαβαβ⊥,则mn⊥(D若//,//,//mnmnαβ,则//αβ
+
高一下数学期末专题练习(必修二立体几何二
—————证明、体积、空间角
一、证明平行与垂直问题
二、体积问题
(1对于三棱锥的体积,常用等积法。
例1如图,四棱锥PABCD
-的底面ABCD为菱形,PD⊥平面
ABCD,2,60
PDADBAD
==∠=,E、F分别为BC、
PA的中点。
(I求证:
ED⊥平面PAD;
(Ⅱ求三棱锥PDEF
-的体积;
(Ⅲ求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值。
证明:
(I连结BD,由已知得BD=2,
在正三角形BCD中,BE=EC,
DEBC
∴⊥,又AD//BC,
DEAD
∴⊥„„„„2分
又PD⊥平面ABCD,
PDDE
∴⊥,„„„„3分
ADPDD
=
DE
∴⊥平面PAD。
„„„„4分
(Ⅱ2
111
21
222
PDFPDA
SS
∆∆
=⋅=⨯⨯=
且DE=„„5分
11
1
33
PDEFEPDFPDF
VVSDE
--∆
∴==⋅⋅=⨯=
„„8分
证:
由(I知DE⊥平面,
PADDE⊂平面PDE,
∴平面PAD⊥平面PDE„„„„9
分
又,
BCDEBCPD
⊥⊥
BC
∴⊥平面,
PDE又BC⊂
平面PBC
∴平面PBC⊥平面PDE„„„„
10分
DPE
∴∠就是平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角„„„„
12分
∴在RtPDE
∆
中,PE==
cos
7
∴∠==„„„„14
(2对于四棱锥的体积计算则直接采用公式
3
VSh
例2如图,正方形ABCD所在平面与三角形CDE所
在平面相交于CD,AE⊥平面CDE,且3
AE=,
6
AB=.
(1求证:
AB⊥平面ADE;
(2求凸多面体ABCDE的体积.
(1证明:
∵AE⊥平面CDE,CD⊂平面CDE,
∴AE⊥CD.
在正方形ABCD中,CDAD
⊥,
∵ADAEA
∴CD⊥平面ADE.
∵ABCD
∴AB⊥平面ADE.
故所求凸多面体ABCDE
的体积为
E
N
M
B1
D1
A1
BA
Q
C1
(3不规则几何体的体积,则采用割补法转化为常见几何体。
例
3(2010
广州二模文在长方体1111ABCDABCD-中,
11,2ABBCAA===,
点M是BC的中点,点N是1AA的中点.(1求证:
//MN平面1
ACD;
(2过,,NCD三点的平面把长方体1111ABCDABCD-截成两部分几何体,求所截成的两部分几何体的体积的比值.
例3(2010广州二模文
(1证:
设点P为AD的中点,连接,MPNP.
∵点M是BC的中点,∴//MPCD.
∵CD⊂平面1ACD,MP⊄平面1
ACD,∴//MP平面1ACD.„2分∵点N是1AA的中点,∴1//NPAD.∵1AD⊂平面1ACD,NP⊄平面1
ACD,∴//NP平面1
ACD.∵MPNPP=,MP⊂平面MNP,NP⊂平面MNP,
∴平面//MNP平面1ACD.∵
MN⊂平面MNP∴//MN平面1ACD.
(2解:
取1BB的中点Q,连接NQ,CQ,∵点N是1AA的中点,
∴//NQAB.∵//ABCD,∴//NQCD.
∴过,,NCD三点的平面NQCD把长方体1111ABCDABCD-截成两部分几何体,
其中一部分几何体为直三棱柱QBC-NAD,另一部分几何体为直四棱
柱1111BQCCANDD-.∴111
11222
QBCSQBBC∆=
=⨯⨯=,∴直三棱柱QBC-NAD的体积11
QBCVSAB∆==,
∵长方体1111ABCDABCD-的体积112
V=⨯⨯2=,∴直四棱柱
1111
BQCCANDD-体积
213
VVV=-=
.
∴12VV=132
=1
∴所截成的两部分几何体的体积的比值为1
三、空间角
(1异面直线所成的角(0,]2
π
θ∈
例4(2011汕头二模理如图,沿等腰直角三角形ABC的中位线DE,将平面ADE折起(转动一定角度,得到四棱锥ABCDE-,设CD、
BE、AE、AD的中点分别为M、N、P、Q,平面ADE⊥平面BCDE。
平面ABC⊥平面ACD;
(2求证:
M、N、P、Q四点共面;
R
(3求异面直线BE与MQ所有的角。
例4(2011汕头二模理
(1证明:
由等腰直角三角形ABC有ADDE⊥,CD⊥DE,DE∥BC--------1分
又DCDAD=⋂,⊥∴DE面ACD,----------2分又DE∥BC
∴BC⊥平面ACD,BC⊂平面ABC,----------3分∴平面ABC⊥平面ACD。
----------4分(2由条件有PQ为ADE∆的中位线,MN为梯形BCDE的中位线----------1
∴PQ∥DE,MN∥DE----------2分∴PQ∥MN----------3分∴M、N、P、Q四点共面.----------4分(3解:
设AD=1(长度单位,则DC=1,BC=2,延长ED到R,使DR=ED,连结RC---1分
则ER=BC,ER∥BC,故BCRE为平行四边形--2分
∴RC∥
EB,又AC∥QM∴ACR∠为异面直线BE与QM所成的角θ(或θ
------3分
DA=DC=DR,且三线两两互相垂直,
∴由勾股定理得---------4分
∆∴ACR为正三角形,∴ACR∠=
------5分∴异面直线BE与QM所成的角大小为
------6分(2二面角[0,]θπ∈
例5(南海摸底如图,四棱锥SABCD-的底面是矩形,SA⊥底面
ABCD,P为BC边的中点,SB与平面ABCD所成的角为45°
且2,1ADSA==.
(Ⅰ求证:
PD⊥平面SAP;
(Ⅱ求二面角ASDP--的余弦的大小.
(南海摸底解:
(Ⅰ证明:
因为⊥SA底面ABCD,
所以,∠SBA是SB与平面ABCD所成的角由已知∠SBA=45°
所以AB=SA=1易求得,AP=PD=2,
又因为AD=2,所以AD2
=AP2
+PD2
所以PDAP⊥.因为SA⊥底面ABCD,⊂PD平面ABCD,所以SA⊥PD,„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分由于SA∩AP=A所以⊥PD平面SAP.„„„„„„„6分(Ⅱ设Q为AD的中点,连结PQ,„„„„„„„7分由于SA⊥底面ABCD,且SA⊂平面SAD,则平面SAD⊥平面PAD„„„„„„„8分
PQAD⊥,∴PQ⊥平面SAD,SD⊂平面SAD,∴PQSD⊥.过Q作QRSD⊥,垂足为R,连接PR,则SDPR⊥面Q.又PRPR⊂面Q,SDPR∴⊥,∴∠PRQ是二面角A-SD-P的平
面角.„„„„10分容易证明△DRQ∽△DAS,则
QRDQ
SASD
=.因为11DQSA==,
SD=
所以DQQRSASD=⋅=.„„„„„„„12分在Rt△PRQ中,因为PQ=AB=1,5
=+=PQQRPR,所以6
==
∠PRRQPRQCOS.„„„„„„„13分
所以二面角A-SD-P的余弦为6
.„„„„„„„14分
QD
P
(3线面角[0,]2
例6(桂城六校如图,在矩形ABCD中,2AB=,1AD=,E为CD的中点.将ADE∆沿AE折起,使平面ADE⊥平面ABCE,得到几何体
DABCE-.
(Ⅰ求证:
BE⊥平面ADE;
(Ⅱ求BD与平面CDE所成角的正弦值.(Ⅲ求几何体CBDE-的体积.(桂城六校
解:
(Ⅰ在图1
中,可得AEBE==,从而2
AEBEAB+=,故
AEBE⊥,
取AE中点O连结DO,则DOAE⊥,
又面ADE⊥面ABCE,面ADE面ABCEAE=,DO⊂面AED,从而DO⊥平面ABCE,∴DOBE⊥,又AEBE⊥,AEDOO=,∴BC⊥平面ADE.
(Ⅱ建立空间直角坐标系Oxyz-如图所示,----------------------------5分
则(0,0,
2D
(2B-
(2E-
(2
C,
∴
BD=
(DE=
(22
DC=----------------------7分
设向量(,,nxyz=
为平面CDE的一个法向量,则00
nDEnDC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即0022
xzyz⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩,令1z=,得1x=-,1y=-,即(1,,
1n=--
------9分
∴cos,3nBD<
>
=,---------11分
∵直线BD和平面CDE所成的角θ是向量n和BD
夹角的余角,
∴BD与平面CDE
.(Ⅲ由(Ⅰ知DO⊥平面ABCE,所以DO为三棱锥DBCE-的高,∵111122BCES∆=
⨯⨯=
2
DO=,
∴111332212
CBDEDBCEBCDVVSDO--∆==
⋅⋅=⨯⨯=.作业
1、如图,在四棱锥PABCD-中,底面ABCD是矩形,
PA⊥平面ABCD,2PAAD==,1AB=,BMPD⊥于点M.(1求证:
AM⊥PD;
(2点D到平面ACM的距离;
(3求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值
∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PAAB⊥.
∵ABAD⊥,,ADPAAAD=⊂平面PAD,PA⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD
∴ABPD⊥,„„3分
∵BMPD⊥,ABBMB=,AB⊂平面ABM,BM⊂平面ABM,∴PD⊥平面ABM.∵AM⊂平面ABM,
∴AM⊥PD.„„6分(2解法1:
由(1知,AMPD⊥,又PAAD=,则M是PD的中点,在
Rt△PAD中,
得AM=
在Rt△CDM中,
得
MC=
∴12ACMSAMMC∆=
⋅=
设
点
D到平面A
CM的
距离为
h
由
DA
CMVV-
-=,„„8分
得111
332
ACMACDShSPA∆∆=
.解
h=,„„10分设直线CD与平面ACM所成的角为θ,
则
sinhCDθ==
„„12分
∴cosθ=.
∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值
为.„„14分2、如图,在直角梯形ABCD中,CDAB//,ADAB⊥,且
12
=CDADAB.现以AD为一边向形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF翻折,使平面
ADEF与平面ABCD互相垂直,如图2.
平面⊥BDE平面BEC;
(2求平面ABCD与平面EFB所成锐二面角的大小.
(1因为平面⊥ADEF平面ABCD,且平面ADEF平面ADABCD=,又在正方形ADEF中,ADED⊥,
所以,⊥ED平面ABCD.„„„„„„2分而⊂BC平面ABCD,
所以,BCED⊥.„„„„„„3分
F
E图1
在直角梯形ABCD中,2=CD,222=+=
ADABBD,
2(22=+-=ADABCDBC,
所以,2
CDBCBD=+,
所以,BDBC⊥.„„„„„„4分又ED,⊂BD平面BDE,DBDED=,所以,⊥BC平面BDE.„„„„„„6分而⊂BC平面BEC,
所以,平面⊥BDE平面BEC.„„„„„7分
(2因为ADEF//,⊄EF平面ABCD,⊂AD平面ABCD,
所以,//EF平面ABCD.因为平面EFB与平面ABCD有公共点B,
所以可设平面EFB平面BGABCD=,CDG∈.
因为//EF平面ABCD,⊂EF平面EFB,平面EFB平面BGABCD=,
所以BGEF//.从而,ADBG//,
又DGAB//,且1=AB,2=CD,所以G为CD中点,ABGD也为正方形.„„12分
易知⊥BG平面ECD,所以EGBG⊥,DGBG⊥.
所以,EGD∠是平面ABCD与平面EFB所成锐二面角的平面角,而︒=∠45EGD,
所以平面ABCD与平面EFB所成锐二面角为︒45.
3.四棱锥ABCDE-中,底面
BCDE为矩形,侧面ABC⊥底面BCDE,
2BC=,CDABAC=.
ADCE⊥;
(Ⅱ设CE与平面ABE所成的角为45,求二面角CADE--的大小.
4.如图,在三棱锥PABC-中,2ACBC==,90ACB∠=,
APBPAB==,PCAC⊥.(Ⅰ求证:
PCAB⊥;
(Ⅱ求二面角BAPC--的大小;
5.如图,在四棱锥OABCD-中,底面ABCD四边长为1的菱形,
∠OAABCD⊥底面,2OA=,M为OA的中点,N为BC的中点
直线MNOCD
平面‖;
(Ⅱ求异面直线AB与MD所成角的大小;
6.如图,在直三棱柱111ABCABC-中,平面ABC⊥侧面11AABB.
ABBC⊥;
(Ⅱ若直线AC与平面1ABC所成的角为θ,二面角1ABCA--的大小为ϕ,试判断θ与ϕ的大小关系,并予以证明.
7、如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD
底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ求异面直线PD与CD所成角的大小;
(Ⅲ线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD
在,求出
AQ
QD
的值;
若不存在,请说明理由