高中数学必修二《空间几何体的表面积和体积》基础.docx
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高中数学必修二《空间几何体的表面积和体积》基础练习题
1.已知圆锥的表面积为6，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（）
A.2π
B.1π
C.2π
D.π
2.长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A.12π
B.13π
C.14π
D.15π
3.已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P−ABC的体积为：
（）
A.8
B.10
C.20
D.30
4.中心角为135∘的扇形，其面积为S1，其围成的圆锥的表面积为S2，则S1S2=（ ）
A.118
B.138
C.811
D.813
5.已知一个正四棱锥的底面边长为2，高为3，则该正四棱锥的全面积为（）
A.8
B.12
C.16
D.20
6.在三棱柱ABC−A1B1C1中，若AB=4，BC=3，AA1=12，且AB⊥BC，AA1⊥底面ABC，E为AA1的中点，从E拉一条绳子绕过侧棱CC1到达B点的最短绳长为（ ）
A.22
B.23
C.8
D.10
7.圆锥的底面积为4π，其轴截面是正三角形，则其侧面积是（）
A.2π
B.4π
C.8π
D.16π
8.已知三棱锥A−BCD中，AB=AC=BD=CD=2，BC=2AD，直线AD与底面BCD所成角为π3，则此时三棱锥外接球的体积为（）
A.8π
B.2π3
C.42π3
D.823π
9.某几何体的三视图如图，它的侧视图与正视图相同，则它的体积为（）
A.2+42π3
B.4+82π3
C.2+82π3
D.4+42π3
10.设地球半径为R，在北纬45∘圈上有甲、乙两地，它们的经度差为90∘，则甲、乙两地间的最短纬线之长为________，甲、乙两地的球面距离为________．
11.一个几何体的三视图如图所示（单位：
m），则该几何体的体积为________m3．
12.设地球的半径为R，赤道上东经40∘的点A与北纬45∘、东经130∘的点B的球面距离是________．
13.一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的侧面积为________．
14.圆锥的底面半径为3，高是4，在这个圆锥内部有一个内切球，则此内切球的半径为________.
15.一圆锥的内切球的表面积与圆锥的侧面积之比为2:
3，则该圆锥母线与底面的夹角为________．
16.若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为________，外接球的表面积为________．
17.在三棱锥P−ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP=AB=AC=3，则三棱锥P−ABC的内切球的表面积为________.
18.如图是某几何体的三视图，则它的体积为________．
19.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为________．
参考答案
一、选择题
1.A
解：
设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，
∴2πr=πl，
∴l=2r，
∵圆锥的表面积为πr2+πrl=πr2+2πr2=6，
∴r2=2π，
即r=2π.
故选A.
2.C
解：
设该球的半径为R，
则该球的半径等于长方体体对角线的一半，
即R=32+22+122=142，
所以该球的表面积=4πR2=14π.
故选C.
3.B
解：
P在面ABC上的射影为O，则OA=OB=OC=OP=R，
∴S△ABC=12absinC=abc4R
∴VP−ABC=13SABCR=abc12=10，
故选B
4.C
解：
设扇形半径为1，则扇形弧长为1×3π4=3π4，
设围成圆锥的底面半径为r，则2πr=3π4，r=38，
扇形的面积S1=12×1×3π4=3π8，
圆锥的表面积S2=S1+πr2=3π8+9π64=33π64，
∴S1S2=811．
故选C．
5.B
如图，
四棱锥P−ABCD为正四棱锥，高OP=3，底面边长AB＝2．
过O作OG⊥BC，垂足为G，连接PG，则斜高PG=1+3=2．
∴正四棱锥的全面积是S=2×2+4×12×2×2=12．
6.D
解：
如图，
把三棱柱ABC−A1B1C1展成平面图得到矩形ABB1A1，
E为AA1的中点，连接EB，
则从E拉一条绳子绕过侧棱CC1到达B点的最短绳长为EB，
因为三棱柱ABC−A1B1C1的底边AB=4，BC=3，AC=5，
所以展开图中AB=8，
则侧棱长为12，E为AA1的中点，
可得AE=6，
所以从E拉一条绳子绕过侧棱CC1到达B点的最短绳长
为EB=AE2+AB2=10，
故选D.
7.C
解：
如图：
根据题意，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高等于h．
∵底面积为4π，∴πr2=4π，解得r=2．
又∵圆锥的轴截面是正三角形，
∴l=2r=4，h=3r=23，
可得圆锥的侧面积是S=πrl=π×2×4=8π．
故选C.
8.D
解：
如图所示，
取BC的中点O，连接OA，OD．
∵AB=AC=BD=CD=2，
∴OD⊥BC，OA⊥BC，
OA∩OD=O，
∴BC⊥平面OAD，
BC⊂平面BCD，
∴平面OAD⊥平面BCD，
平面OAD∩平面BCD=OD，
∴AD在平面BCD是射影是OD，
∴∠ADO=π3．
又OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
设AD=x，则OD=OC=OB=x，
∴2x2=4，
∴x=2，
∴点O是三棱锥A−BCD的外接球的球心，
因此外接球的半径R=2．
∴外接球的体积V=43πR3=82π3．
故选D．
9.D
由三视图知：
几何体是长方体与半球体的组合体，
长方体的底面是的对称线长为22正方形，高为1，球的半径为2，
故体积为12×22×22×1+12×43π×
（2）3＝4+423π，
二、填空题
10.24πR,π3R
解：
设甲、乙两地分别对应球面上A、B两点，
由题意得：
北纬45∘圈小圆Q的半径为r=Rcos45∘=22R，
∴甲、乙两地间的最短纬线之长为π2×22R=24πR．
∵甲、乙两地的经度差为140∘−50∘=90∘，
∴Rt△AQB中，AB=R，
∴△AOB是边长为R的等边三角形，可得甲、乙两地的球心角∠AOB=60∘，
∴甲、乙两地的球面距离是l=π3R，
故答案为：
24πR，π3R．
11.8π3
解：
根据几何体的三视图，得；
该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，
且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；
∴该几何体的体积为
V几何体=2×13π⋅12×1+π⋅12⋅2
=83π．
故答案为：
83π．
12.π2R
解：
如图，C是赤道面内，B在上的射影，
由题意∠BOC=90∘，∠AOC=45∘，
所以有三面角公式可得：
cos∠AOB=cos90∘cos45∘=0，
所以∠AOB=π2；
A、B两点的球面距离是：
R（π2）．
故答案为：
π2R．
13.2+26
解：
根据几何体的三视图得，
该几何体是底面为等腰三角形，高为2的三棱锥，如图所示，
S△PAC=12×2×2=2，
S△PAB=12×2×22+12=5
△PBC中，PC=22,PB=3,BC=5，
∴cos∠BPC=（22）2+32−（5）22×22×3=22，
∴∠BPC=π4，
∴S△PBC=12×3×22×sinπ4=3，
∴该三棱锥的侧面积是
S侧=2+5+3=5+5
故答案为：
5+5.
14.32
解：
如图所示，
作出轴截面，
∵CD=3，AD=4，
∴AC=5，∵Rt△AOE∼Rt△ACD，
∴OEAO=CDAC．
设OE=R，则AO=4−R，
∴R4−R=35，
∴R=32．
故答案为：
32．
15.60∘
解：
设内切球的半径为r，圆锥的底面半径为R，母线长为l，
由S△=12lr+12lr+12×2R×l=12×2R×l2−R2
得r=Rl2−R2l+R，
由4πr2πRl=23得lR=2，所以夹角为60∘．
故答案为：
60∘．
16.13,3π
解：
由三视图可知：
该几何体是正方体的内接正四面体（红颜色），
∴多面体的体积为1−4×13×12×1×1×1=13．
此多面体外接球的直径是此正方体的对角线3．
因此其球的表面积是4π⋅（32）2=3π．
故答案为：
13；3π．
17.（4−23）π
解：
三棱锥体积为SP−ABC=13×12×（3）3=32，
其图像如图所示，
设内接球的半径为r，
且S△ABP=S△ACP=S△ABC，
∴3⋅13r⋅S△PAB+13r⋅S△BCP=32，
解得r=3−12，
∴三棱锥P−ABC的内切球表面积为4π（3−12）2=（4−23）π，
故答案为：
（4−23）π.
18.203或163
解：
由题意三视图对应的几何体如图1所示，
所以几何体的体积为正方体的体积减去一个三棱锥的体积，即：
23−13×12×2×2×2=203．
或者，三视图对应的几何体如图2所示，
则它的体积为203−43=163．
故答案为：
203或163．
19.50π
试卷第10页，总10页
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