高中数学必修4基础知识汇整.doc

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新课标高中数学必修4基础知识汇整

第一部分三角函数与三角恒等变换

1．⑴角度制与弧度制的互化：

弧度，弧度，弧度.

⑵弧长公式：

；扇形面积公式：

.

2．三角函数定义：

⑴设α是一个任意角，终边与单位圆交于点P（x,y），那么y叫作α的正弦，记作sinα；x叫作α的余弦，记作cosα；叫作α的正切，记作tanα.

⑵角中边上任意一点为，设，则：

.

三角函数符号规律：

一全正，二正弦，三正切，四余弦.

3．三角函数线：

正弦线：

MP；余弦线：

OM；正切线：

AT.

4．诱导公式：

角

函数

正弦

余弦

正切

/

/

六组诱导公式统一为“”，记忆口诀：

奇变偶不变，符号看象限.

5．同角三角函数基本关系：

（平方关系）；（商数关系）.

6．两角和与差的正弦、余弦、正切：

①；

②；③.

7．二倍角公式：

①；

②；③.

变形：

；.（降次公式）

8．化一：

=.

9.物理意义：

物理简谐运动，其中.振幅为A，表示物体离开平衡位置的最大距离；周期为，表示物体往返运动一次所需的时间；频率为，表示物体在单位时间内往返运动的次数；为相位；为初相.

10．三角函数图象与性质：

函数

图象

作图：

五点法

作图：

五点法

作图：

三点二线

定义域

（－∞，＋∞）

（－∞，＋∞）

值域

［－1，1］

［－1，1］

（－∞，＋∞）

极值

当x＝2kπ＋,ymax=1

极大

；

当x＝2kπ＋ymin=-1

当x＝2kπ,ymax＝1；

当x＝2kπ＋π,

ymin＝－1

无

奇偶

奇函数

偶函数

奇函数

T

2π

2π

π

单调性

递增

递减

递增

递减

递增

（注：

表中k均为整数）

11.正弦型函数的性质及研究思路：

①最小正周期，值域为.

②五点法图：

把“”看成一个整体，取时的五个自变量值，相应的函数值为，描出五个关键点，得到一个周期内的图象.

③三角函数图象变换路线：

.或：

.

④单调性：

的增区间，把“”代入到增区间，即求解.

⑤整体思想：

把“”看成一个整体，代入与的性质中进行求解.这种整体思想的运用，主要体现在求单调区间时，或取最大值与最小值时的自变量取值.

第二部分平面向量

1.向量与数量：

在数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，反之，把只有大小，没有方向的量称为数量.向量常用有向线段来表示，记为或（起点A，终点B）.向量的大小叫做向量的长度（或模），记为或.规定长度为0的向量叫做零向量，记为；长度等于1个单位的向量称为单位向量.

2.平行向量：

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作，并规定零向量平行于任意一个向量.平行向量都可以移到同一直线上，因而也叫共线向量.方向相同且长度相等的向量称为相等向量，记作.与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为，规定零向量的相反向量仍是零向量.

3.向量加减法：

向量加减法运算遵循三角形法则与平行四边形法则.

如图所示，已知非零向量，在平面内任取一点O，作，则向量.

若作，则向量.

向量的加减法满足：

交换律；结合律.

向量不等式：

对于任意两个向量，有.

向量加法多边形法则：

向量首尾相接，结果首尾连.

4.向量数乘运算：

实数与向量的乘积仍然是一个向量，这种运算称为向量的数乘，记作，并规定：

①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.数乘运算满足：

分配律、；结合律.

对于任意向量，以及任意实数，恒有.

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.

5.平面向量基本定理：

如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使.把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

向量夹角：

对两个非零向量，在平面内任取一点O，作，则叫做向量与夹角.当与夹角是90°时，与垂直，记作.

正交分解：

依据平面向量的基本定理，对平面上的任意向量，均可分解为不共线的两个向量与，使.若把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

坐标表示：

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，则对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x、y，使得.即平面内的任意向量都可由x、y唯一确定，把有序数对（x,y）叫做向量的坐标，记作，式子叫做向量的坐标表示.

6.平面向量的数量积运算：

，其中是与的夹角，叫做向量在方向上的投影.的几何意义：

数量等于的长度与在的方向上的投影的乘积.数量积运算满足：

交换律；数乘结合律；分配律.

把记作，有性质，从而.

力作功：

一个物体在力的作用下产生位移，那么力所作的功，其中是与的夹角，从而.

7.平面向量的坐标运算：

设，，则

加减法：

，；

数乘：

；向量积：

；模：

；

距离：

；

夹角：

.

8.向量共线：

设，，其中，若共线，当且仅当存在实数，使，即.由此可证明平行问题、三点共线等.

9.向量垂直：

对于平面内任意两个非零向量，.设，，则.由此可证明一些垂直问题.

10.线段定比分点的坐标：

已知点，，点是线段上的一个分点，且，则有，即，由此得到.若，得到线段中点坐标公式.

11.向量知识与平面几何的联系：

平面几何问题

向量方法

求线段AB的长度

转化为求向量的长度：

.

求两条线段的夹角

由数量积求夹角或.

证明两条直线垂直

转化为两个非零向量的数量积为0，即.

证明两条直线平行

转化为证明两个非零向量共线，即

12.向量法解决平面几何问题三步曲：

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等；

（3）把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论.