习题集含详解高中数学题库高考专点专练之69三角形的面积公式Word文件下载.docx

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A.B.C.或D.或

30.已知的面积为，，，则

31.在中，若，，，则

32.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积

33.已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，，则面积的取值范围是

34.已知的外接圆半径为，角，，的边分别为，，，若，则面积的最大值为

35.在中，角，，所对的边分别为，，，表示的面积，若，，则角等于

36.已知的三个内角，，依次成等差数列，边上的中线，，则

37.若直线同时平分一个三角形的周长和面积，则称直线为该三角形的“Hold直线”，已知的三边之长分别为，，，则的“Hold直线”

A.存在一条B.存在两条C.存在无数条D.不存在

38.设是内一点，且，，定义，其中，，分别是，，的面积，若，则的最小值是

39.在中，角，，的对边分别为，，，且，若的面积，则的最小值为

40.直线与，轴的交点分别为，，直线与圆的交点为，，给出下面三个结论：

，；

，．

其中，所有正确结论的序号是

二、填空题（共40小题；

41.如图，如果与都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么的值为 

．

42.在中，若，，，则的面积 

43.在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则的面积为 

44.设平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为 

45.已知在中，，，，的面积 

46.在中，如果，，，那么的面积等于 

47.在中，，，，则的面积等于．

48.在中，，，且的面积为，则 

49.的内角，，的对边分别为，，，，面积，外接圆半径为，则 

50.在中，，，的对边分别是，，，若，，，则的面积是 

51.在中，，，且的面积为，则边的长为 

52.已知的三边长分别为，，，则的面积为 

53.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，那么角的值为 

54.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，且，则的面积是 

55.设的面积为，．若，则的最大值为 

56.如图，已知中，，，，，则．

57.若中，，则的面积最大值为 

58.已知的面积为，，，则 

59.已知是的角平分线，，，，则 

60.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积， 

61.在中，已知，，，则 

62.在锐角中，，，若的面积为，则的长是 

63.在中，，，的面积，则 

64.若在中，，，，则 

65.已知中，，，，则 

66.已知，，分别为三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为 

67.在中，，，若的面积等于，则边长为 

.

68.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则边上的高的最大值为 

69.已知的三个内角，，的对边分别为，，，面积为，且满足，，则的最大值为 

70.在中，内角，，所对的边分别为，，．已知的面积为，，，则的值为 

71.在中，已知，，，为线段上的点，且，则的最小值为．

72.已知分别为的三个内角的对边，，且，则面积的最大值为 

73.设，，分别为三内角，，的对边，面积，若，则的最大值是 

74.已知平面四边形为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且，，，，则平面四边形面积的最大值为 

75.如图，点为半圆的直径延长线上一点，，过动点作半圆的切线，若，则的面积的最大值为 

76.在中，为线段的中点，若的长为定值，则面积的最大值为 

（用表示）．

77.若，则的最大值 

78.在直角坐标系中，是坐标原点，、是第一象限的两个点，若，，，依次成等差数列，而，，，依次成等比数列，则的面积是 

79.过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当面积取得最大值时，直线斜率为 

80.已知满足，，是的外心，且，则的面积是 

三、解答题（共20小题；

共260分）

81.在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求的值；

（2）若，求面积的最大值．

82.在中，角，，所对的边分别是，，．已知．

（1）求角的大小；

（2）若的面积，，求的值．

83.在中，内角，，的对边分别为，，．已知．

（2）若，，求的面积．

84.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求；

（2）若，求面积的最大值．

85.在中，已知，，，求角的度数和的面积．

86.在中，角，，所对的边分别为，，，设为的面积，．

（2）求的最大值．

87.在中，角，，的对边分别为，，，，，且．

（1）求锐角的大小；

88.在中，角，，所对的边分别为，，，已知．

（2）若，求使面积最大时，的值．

89.在中，角，，的对边分别为，，，，．

（1）若，求的面积；

（2）若的面积为，求，．

90.在中，已知．

91.如图，在中，是边的中点，，．

（2）若角，边上的中线的长为，求的面积．

92.在中，．

（1）求角，，的大小；

（2）若边上的中线的长为，求的面积．

93.在中，，，分别是角，，的对边，，且满足．

（1）求角和边的大小；

（2）求面积的最大值．

94.在中，内角，，所对的边分别是，，，已知．

（2）若，的面积为，求的值．

95.已知点，，为坐标原点，函数．

（1）求函数的解析式及最小正周期；

（2）若为的内角，，，的面积为，求的周长．

96.设函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，求面积的最大值．

97.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且．

98.已知的外接圆半径为，且满足，求面积的最大值．

99.已知的面积为，且满足，设和的夹角为．

（1）求的取值范围；

（2）求函数的值域．

100.在中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角．

（1）求最大角的余弦值；

（2）求以此最大角为内角，夹此角的两边之和为的平行四边形的最大面积．

答案

第一部分

1.B2.C【解析】草皮的面积为．

3.C【解析】由面积公式知三角形区域面积为，

所以购买这种草皮需要元

4.B5.A

【解析】由，得：

，

所以．

6.C7.D【解析】由题意可得，

又，故可得，

故，

故的面积

8.B【解析】因为，所以，

因为是锐角三角形，所以．

9.D【解析】由余弦定理得，

所欲，

则．

10.D

【解析】方程的根为或．

三角形的两边分别为和，它们夹角的余弦是，

则它们的夹角的正弦函数值为．

则三角形的面积为．

11.C【解析】．

12.C【解析】由，得，

故或（舍去），则，

13.C【解析】因为．

又，

14.A【解析】因为，由正弦定理可得，所以，所以．

又因为，所以，由余弦定理，得，

所以，．

15.C

【解析】由及正弦定理得（为外接圆的半径），即，

所以，又，

所以，

所以，，又，

所以

16.C【解析】，即①，因为，由余弦定理得②，由①和②得，

17.D【解析】设两边分别为，，夹角为，因为，

所以，三角形面积，

得：

，解得：

或（舍去），．

18.A【解析】每个等腰三角形的底边为，底边上的高为，所以该八边形的面积为．

19.B【解析】由题意知，，

于是

于是．

20.C

【解析】由题意得

21.B【解析】由余弦定理，所以．

设边上的高为，则．所以．

22.D23.C【解析】余弦定理可知，所以，所以．

24.A【解析】由正弦定理得到：

因为在中，，

因为，，

所以，即，

因为，

由余弦定理得到：

，即，当且仅当时取“”，

所以的最小值为．

25.A

【解析】由，结合正弦定理可得，即，

所以，因此是一个正三角形．

26.D【解析】由或．

若，则，此时，在中，，此时的面积．

若，即，由余弦定理得，解得，此时，的面积．

27.A【解析】由余弦定理知，代入，，解得：

，又由解得，所以．

28.B29.C30.D

31.C【解析】因为，，

，

所以解得：

32.B【解析】在中，

，，

，

由正弦定理可得：

，可得：

．

33.A【解析】因为，，

所以由，

可得：

，，

因为为锐角，可得：

34.C【解析】因为，

可得，

所以

所以，且时，面积面积的最大值为．

35.C

【解析】由正弦定理得，

即，

根据三角形面积公式和余弦定理得，

，，

代入已知得，

所以，，因此．

36.C【解析】因为由于的三个内角，，成等差数列，且内角和等于，

因为中，由余弦定理可得：

，即：

所以（舍去），可得：

37.A38.D【解析】在中，，，

所以，，

所以，因为是，，的面积之和，所以，

所以，当且仅当，

即时，即，时取等号．

39.B40.C

【解析】如图，过作，为垂足．

由已知可得，，当时，，故①正确．

，，．

由均值不等式可得，所以，所以，都有，所以②错．

对于③，因为，当时，必有，所以③正确．

第二部分

41.

42.

43.

【解析】．

44.

45.

46.或

47.

48.

49.

【解析】因为中，，面积，

所以，解得，

因为外接圆半径．

所以由正弦定理可得．

50.

51.

52.

53.或

54.

55.

【解析】因为，

由余弦定理得，

56.

【解析】由题意知，

在中，设边上的高为，

则，

57.

【解析】以中点为原点建系，则，，设点，得，，即点在以点为圆心，为半径的圆上运动，

所以的面积最大值为．

58.

【解析】，

59.

【解析】如图：

60.

61.

【解析】在中，

因为，，，

62.

63.

64.

【解析】由面积公式得，由余弦定理得，则．

65.

【解析】由题意，所以．

，所以．

66.

【解析】由正弦定理及，得．

又因为，所以．

所以．由余弦定理得．

因为，所以．由，得，当且仅当时等号成立，即．所以．故面积的最大值为．

67.

【解析】因为，所以，所以，所以．

68.

69.

【解析】由题意得：

又，代入上式得：

即，，

当且仅当时，取“”，

所以的最大值为．

70.

【解析】由，得，而，所以，所以，

所以，所以．

71.

【解析】依题意得：

解得，，，，所以为，所以．

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立直角坐标系，则由题目条件得点，且满足．

，且点到直线的距离为，则最小值为．

72.

【解析】先由正弦定理，得；

再由余弦定理，得，然后结合均值定理，得（当且仅当时取等号）；

最后由三角形面积公式，得．

73.

74.

【解析】设在中，由余弦定理有，

同理，在中，由余弦定理有，

又平面四边形面积为，

平方相加得，所以，

当时，取最大值．

75.

【解析】设半圆的圆心为，连接，，则，设，则，在中，由余弦定理得，所以，所以，当时，面积最大，所以.

76.

【解析】

设由余弦定理.而.所以利用二次函数的性质，可知当时，三角形面积最大，则面积的最大值为.

77.

因为（定长），可以令所在的直线为轴，其中垂线为轴建立直角坐标系，则，，设，由，

得，化简得，

即在以为圆心，为半径的圆上运动，

所以，故答案为．

78.

【解析】由，，，依次成等差数列，得，；

由，，，依次成等比数列，得，．由两点间距离公式，得，，．由余弦定理，得，则，所以．

79.

【解析】曲线表示以为圆心，为半径的半个圆，，所以当时，的面积取到最大值，此时到直线的距离为，设直线方程为，则，，解得．

80.或

【解析】设中点为，当时，因为，所以

又，所以，即，，三点共线．因为是的外心，所以，则，所以，所以．

当时，，即，所以．

综上，的面积是或．

第三部分

81.

（1）因为，

又

（2）由已知得，

又因为，

所以，当且仅当时，取得最大值．

此时．

所以的面积的最大值为．

82.

（1）由，

得，

解得或（舍去）．

因为，所以．

（2）由，得．

又，故．

由余弦定理，得，

故．

又由正弦定理，得．

83.

（1）由正弦定理得，，，

即有，

（2）由知：

，即，

所以由余弦定理得：

解得，

故的面积为．

84.

（1）由正弦定理可得，

所以，所以，

因为，所以，

因为为锐角，所以．

（2）由，可得．

由余弦定理得（时取等号），

所以面积的最大值为．

85.，

所以，即．

因为为的内角，

86.

（1）由题意可知，

（2）由已知得

当为正三角形时取等号，

所以的最大值是．

87.

（1）因为，

，即，

又因为是锐角，

（2）由余弦定理：

所以面积的最大值为．

88.

（1）因为，即，

所以由正弦定理化简已知等式得：

整理得：

因为为三角形内角，

（2）因为，，

所以，（当且仅当时成立），

所以当时，面积最大为，此时，

则当时，的面积最大为．

89.

（1）