高阶传递函数的降阶.doc
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辽宁石油化工大学信息与控制工程学院论文
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高阶传递函数的降阶及应用
摘要
自动化技术高度发展的今天，需要设计、研究和控制的系统愈加复杂庞大。
经典控制理论的发展，现代控制理论的崛起，状态空间方法的产生和微型计算机的广泛应用给工程技术人员设计高阶系统创造了条件。
但是建造的模型阶数越来越高，维数越来越多，以至无穷，就是运用大型计算机要计算模拟这些模型的特性也存在着几乎是不能实现的困难。
针对大量物理对象的高阶模型，将H∞控制中的模型匹配问题与高阶系统降阶方法相结合。
并将该方法应用于内模控制系统模型降阶，设计出低阶的内模控制器，使控制过仿真结果表明，该方法具有较好的适用、过程更为简洁，且易于实现。
对设计的内模控制系统进行了仿真验证，性能达到较好的预期效果。
本文首先阐述了模型降阶的重要意义与重要性，并介绍了常用的降阶方法。
着重介绍和设计了基于状态空间方程的模型降阶方法。
首先对现代控制理论、LMI（线性矩阵不等式）、Matlab软件进行了概述。
并对常用传递函数的降阶方法进行介绍。
其次运用李雅普诺夫函数分析系统的受扰运动和平衡状态，探讨了鲁棒控制。
然后介绍了基于状态空间方程的模型降阶，最后进行了举例运算。
目录
高阶传递函数的降阶及应用 1
摘要 1
1前言 3
1.1引言 3
1.2论文研究的意义和目的 4
1.3现代控制论发展概述 5
1.4LMI（线性矩阵不等式）概述 9
1.5Matlab软件介绍 9
1.6常用传递函数降阶方法 10
1.7本文研究的主要内容 11
2李雅普诺夫函数 12
2.1简介 12
2.2系统的受扰运动和平衡状态 13
2.3李雅普诺夫意义下的稳定性 14
2.4鲁棒性分析与鲁棒控制 15
2.4.1简介 15
2.4.2诞生 17
2.4.3发展 17
2.4.4标准和非标准H∞控制问题的主要处理方法。
18
3基于状态空间方程的模型降阶 19
3.1引言 19
3.2基于状态空间方程的模型降阶概述 19
3.3基于状态空间方程的模型降阶原理 21
3.4基于状态空间方程的模型降阶实现 22
4仿真算例 25
4.1算例1 25
4.2算例2 30
5结论 34
参考文献 35
致谢 36
1前言
本文详细地阐述了目前检索到的数学模型简化方法，详细分析了如何用这些方法来简化高阶模型。
1.1引言
自动化技术高度发展的今天，需要设计、研究和控制的系统愈加复杂庞大，经典控制理论的发展，现代控制理论的崛起，状态空间法的产生和电子计算机的广泛应用给工程技术人员设计高阶系统创造了条件，然而，建造出来的模型阶数愈来愈高，维数越来越多，以至无穷。
对高阶系统进行仿真或者设计是很麻烦的，从仿真计算上看，高阶系统的仿真需要用较多的内存和机时。
从设计上看，高阶系统的控制器往往比较复杂，有时甚至是不可实现的。
因此，需要对高阶系统进行简化降阶，使其变得比较易于计算，同时又能在一定精度的范围内表现原系统的特性。
例如，为了研究高阶系统中有关参数对系统动态特性的影响，要反复进行多次仿真，这时，若对高阶系统模型进行简化后，再进行仿真，就可以既在一定精度范围内再现原系统的动态响应，又可节省大量的计算时间。
更重要的是通过模型简化，可以使本来无法在微型机上实现仿真的系统得以在微型机上仿真。
所谓模型简化，就是为高阶复杂系统准备一个低阶的近似模型，它在计算上、分析上都比原高阶系统模型简单，而且还可提供关于原系统足够多的信息。
高阶系统的简化模型能否保证稳定降阶（对于稳定的高阶模型可能得出不稳定的低阶近似式）和高频（瞬态）拟合精度等等，是目前较成功的一些降阶方法所要解决的问题。
通常，衡量一个模型简化方法有四条标准：
1、准确性、要求简化模型与原型的主要特征一致，例如：
主导极点一致，静态增益一致，频率响应与时间响应基本一致等。
2、稳定性、要求简化模型的稳定性与原型一致，而且具有相近的稳定裕量。
3、简便性，要求从原型获得简化模型的过程简便，计算量小。
4、灵活性，要求根据实际情况方便地进行调整，并得出所侧重的简化模型。
就目前比较成功的降阶方法（如频域降阶理论的Pade逼近法、连分式法、时矩匹配法等）来看，以上几个要求也是难以满足的，有的方法准确性好，但计算量大；有的方法计算方便，但不能保证稳定等等。
于是，人们开始筛选、改造或结合，出现了一些较成熟的方法。
那么，简化模型的用途何在？
简化模型可用来：
1、对原系统作一较简单的模拟，以便较好地了解其动态特性；
2、便于研究某些状态变量的行为、它们之间的交连，及系统某些参数对动态特性的影响；
3、采用基于简化模型的次最佳策略，可减少为了获得最佳控制和适应性控制器所需的计算工作量；
4、获得较低维数的“控制规律”，以简化反馈控制器的结构。
为此，降阶问题特别引起了从事大系统理论和应用工作者的兴趣。
一般地，根据在什么模型形式下进行简化，可将模型简化技术分为两大类：
一类是在传递函数模型上进行简化，或称频域简化；另一类则是在状态空间模型上进行简化，或称时域简化。
本文首先叙述了模型降阶的研究意义和研究历史，以及国内外的基本概况，就降阶系统进行了讨论，建立了使该问题可解的充分条件，并运用LMI,MATLAB进行了仿真分析与计算，得到了多组数据进行比较与验证，结果符合精度要求，证明降阶是一种简便可行的方法。
1.2论文研究的意义和目的
在工业、农业、交通运输和国防各个方面，凡是要求较高的场合，都离不开自动控制。
自动控制系统性能的优劣，将直接影响到产品的产量、质量、成本、劳动条件和预期目标的完成。
因此，自动控制越来越受到人们的重视，使控制理论和技术应用方面因此也获得了飞速的发展。
但是随着自动化技术的不断发展和对系统过程的更深入了解，在过程控制系统中研究的对象亦越来越大，所建立的模型阶次越来越高，以至超过了一般控制理论实际应用所要求的阶次范围，给控制系统的设计与综合带来了很大的困难，这使模型简化（模型降阶）方法的研究成为一个重要的课题。
在系统模型降阶方面,根根包含原理条件收缩原系统,在系统收缩空间中设计的控制器和观测器可直接作为原系统的降阶控制器和观测器,包含原理的约束与聚集两类条件为系统的模型降阶提供了数学框架。
在应用降阶模型构建控制器时,知道原系统的行为是否能够被模型所描述是非常重要的,包含原理提供了降阶模型代表原系统的条件。
模型降阶的方法有多种,比较经典的方法主要有:
集结法、奇异摄动法、模态近似法、Pade逼近法[1]等;Jamshidi对此进行了详尽的介绍。
1981年,Moore提出的内平衡实现理论给模型降阶带来了一次变革;许多经典方法一旦与平衡法相结合,便形成了更加简洁、有效的方法。
另外,平衡降阶方法与奇异摄动法、奇异值分解法等结合起来而形成的联合降阶法,不仅完善了降阶方法本身的理论,而且使得降阶方法的实际应用成为可能。
本文结合李雅普诺夫函数，基于状态空间方程的用于模型降阶,使得降阶处理过程更加简洁。
1.3现代控制论发展概述
传统的控制理论是在20世纪30到40年代，奈奎斯特、伯德、维纳等人的著作为自动控制理论的初步形成而奠定了基础的。
控制理论在1960年前后有了重大的突破和创新。
在此期间，由卡尔曼提出的线性控制系统的状态空间法、能控性和能观测性的概念，奠定了现代控制理论的基础，其提出的卡尔曼滤波，在随机控制系统的分析与控制中得到广泛应用；庞特里亚金等人提出了极大值原理，深入研究了最优控制问题；由贝而曼提出最优控制的动态规划法，广泛用于各类最优控制问题。
这些就构成了后来被称为现代控制理论的发展起点和基础。
罗森布洛克、麦克法轮和欧文斯研究了使用于计算机辅助控制系统设计的现代频域法理论，将经典控制理论传递函数的概念推广到多变量系统，并探讨了传递函数矩阵与状态方程间的等价转换关系，为进一步建立统一的线性系统理论奠定了基础。
20世纪70年代奥斯特隆姆和朗道在自适应控制理论和应用方面做出了贡献。
与此同时，关于系统辨识、最优控制、离散时间系统和自适应控制的发展大大丰富了现代控制理论的内容。
鲁棒控理论阶段：
由于现代数学的发展，结合着H2和H￥等范数而出现了H2和H￥控制，还有逆系统控制等方法。
20世纪70年代末，控制理论向着“大系统理论”、“智能控制理论”和“复杂系统理论”的方向发展。
“大系统理论”：
用控制和信息的观点，研究各种大系统的结构方案、总体设计中的分解方法和协调等问题的技术基础理论。
“智能控制理论”：
研究与模拟人类智能活动及其控制与信息传递过程的规律，研制具有某些拟人智能的工程制与信息处理系统的理论。
“复杂系统理论”：
把系统的研究拓广到开放复杂巨系统的范畴，以解决复杂系统的控制为目标。
而“现代控制理论”这一名称是1960年卡尔曼的著名章发表后出现的，其在经典控制理论的基础上，以线性代数和微分方程为主要的数学工具，以状态空间法为基础，分析与设计控制系统。
现代控制理论中首先得到透彻研究的是多输入多输出线性系统，其中特别重要的是对刻划控制系统本质的基本理论的建立，如可控性、可观性、实现理论、典范型、分解理论等，使控制由一类工程设计方法提高为一门新的科学。
同时为满足从理论到应用，在高水平上解决很多实际中所提出控制问题的需要，促使非性系统、最优控制、自适应控制、辩识与估计理论、卡尔曼滤波、鲁棒控制等发展为成果丰富的独立学科分支。
较之经典控制理论，现代控制理论的研究对象要广泛得多，原则上讲，它既可以是单变量的、线性的、定常的、连续的，也可以是多变量的、非线性的、时变的离散的。
如今的现代控制理论已发展成五个分支：
1、线性系统理论，性系统理论是现代控制理论的基础，也是现代控制理论中理论最完善、技术上较成熟，应用也是最广泛的部分。
主要研究线性系统在输入作用下状态运动过程的规律和改变这些规律的可能性与措施；建立和揭示系统的结构性质、动态行为和性能之间的关系。
线性系统理论主要包括系统的状态空间描述、能控性、能观测性和稳定性分析，状态反馈、状态观测器及补偿的理论和设计方法等内容。
2、最优控制理论，在给定约束条件和性能指标下，寻找使系统性能指标最佳的控制规律。
主要方法有变分法、极大值原理、动态规划等。
其中极大值原理是现代控制理论的核心（使系统的性能指标达到最优——最小或最大）。
一般而言，最优化方式有离线静态优化方式和在线动态优化方式，而最优化问题的求解方法大致可分为四类：
解析法、数值解法（直接法）、解析与数值相结合的寻优方法、网络最优化方法。
优化方法的新进展包括：
一，在线优化方法，基于对象数学模型的离线优化方法。
含局部参数最优化和整体最优化设计方法、预测控制中的滚动优化算法、稳态递阶控制、系统优化和参数估计的集成研究方法.。
二，智能优化方法，含神经网络优化方法、遗传算法、模糊优化方法、模糊优化方法。
最优控制理论的应用领域十分广泛，如时间最短、能耗最小、线性二次型指标最优、跟踪问题、调节问题和伺服机构问题等。
但它在理论上还有不完善的地方，其中两个重要的问题就是优化算法中的鲁棒性问题和最优化算法的简化和实用性问题。
3、自适应控制。
在控制系统中，控制器能自动适应内外部参数、外部环境变化，自动调整控制作用，使系统达到一定意义下的最优。
有模型参考自适应控制与自校正自适应控制之分。
自适应控制和常规的反馈控制和最优控制一样，也是一种基于数学模型的控制方法，所不同的只是自适应控制所依据的关于模型和扰动的先验知识比较少，需要在系统的运行过程中去不断提取有关模型的信息，使模型逐步完善。
具体地说，可以依据对象的输入输出数据，不断地辨识模型参数，这个过程称为系统的在线辩识。
随着生产过程的不断进行，通过在线辩识，模型会变得越来越准确，越来越接近于实际。
既然模型在不断的改进，显然，基于这种模型综合出来的控制作用也将随之不断的改进。
在这个意义下，控制系统具有一定的适应能力。
比如说，当系统在设计阶段，由于对象特性的初始信息比较缺乏，系统在刚开始投入运行时可能性能不理想，但是只要经过一段时间的运行，通过在线辩识和控制以后，控制系统逐渐适应，最终将自身调整到一个满意的工作状态。
再比如某些控制对象，其特性可能在运行过程中要发生较大的变化，但通过在线辩识和改变控制器参数，系统也能逐渐适应。
对那些对象特性或扰动特性变化范围很大，同时又要求经常保持高性能指标的一类系统，采自适应控制是合适的。
但是同时也应当指出，自适应控制比常规反馈控制要复杂的多，成也高的多，因此只是在用常规反馈达不到所期望的性能时，才会考虑采用。
4、系统辨识。
根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型。
通过辨识建立数学模型的目的是估计表征系统行为的重要参数，建立一个能模仿真实系统行为的模型，用当前可测量的系统的输入和输出预测系统输出的未来演变，以及设计控制器。
对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。
对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入，使输出满足预先规定的要求。
而系统辨识所研究的问题恰好是这些问题的逆问题。
通常，预先给定一个模型类μ＝｛M｝（即给定一类已知结构的模型），一类输入信号u和等价准则J＝L（y，yM）（一般情况下，J是误差函数，是过程输出y和模型输出yM的一个泛函）；然后选择使误差函数J达到最小的模型，作为辨识所要求的结果。
系统辨识包括两个方面：
结构辨识和参数估计。
在实际的辨识过程中，随着使用的方法不同，结构辨识和参数估计这两个方面并不是截然分开的，而是可以交织在一起进行的。
辨识的基本步骤为：
①先验知识和建模目的的依据。
先验知识指关于系统运动规律、数据以及其他方面的已有知识。
这些知识对选择模型结构、设计实验和决定辨识方法等都有重要作用。
用于不同目的的模型可能会有很大差别。
②实验设计。
辨识是从实验数据中提取有关系统信息的过程，设计实验的目标之一是要使所得到的数据能包含系统更多的信息。
主要包括输入信号设计，采样区间设计，预采样滤波器设计等。
③结构辨识。
即选择模型类中的数学模型M的具体表达形式。
除线性系统的结构可通过输入输出数据进行辨识外，一般的模型结构主要通过先验知识获得。
④参数估计。
知道模型的结构后，用输入输出数据确定模型中的未知参数。
实际测量都是有误差的，所以参数估计以统计方法为主。
⑤模型适用性检验。
造成模型不适用主要有三方面原因：
模型结构选择不当；实验数据误差过大或数据代表性太差；辨识算法存在问题。
检验方法主要有利用先验知识检验和利用数据检验两类。
5、最佳滤波理论，亦称为最佳估计理论。
1.4LMI（线性矩阵不等式）概述
LMI本来是指数学中的线性矩阵不等式，但近年来主要应用在控制理论中，广泛应用于解决系统与控制中的一系列问题。
这些问题的解决一般是根据控制理论建立线性矩阵不等式，然后再用Matlab中的LMI工具箱求解（LMI工具箱中的函数一般只能处理固定形式的线性矩阵不等式）。
因此,LMI既可以指线性矩阵不等式，更多是指Matlab中的MI工具箱。
随着解决线LMI内点法的提出以及Matlab中LMI控制工具箱的推广，LMI这一工具已经受到人重视。
LMI控制工具箱已经成为了从控制工程到系统识别设计和结构设计等诸多领域的一个强大的设计工具。
由于许多控制问题都可以转化为一个LMI系统的可行性问题，或者是一个具有LMI约束大的凸优化问题，应用LMI来解决系统和控制问题已经成为这些领域中的一大研究热点。
LMI控制工具箱，采用内点法的LMI求解器，这些求解器比经典的凸优化算法速度有了显著提高。
另一方面，它采用了有效的LMI结构化表示，在求解和计算领域做出了重大贡献。
1.5Matlab软件介绍
MATLAB是由美国Mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。
它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平.。
Mathematica、Maple、MathCAD并称为四大数学软件。
它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。
MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连Matlab开发工作界面接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。
MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等软件的优点，使MATLAB成为一个强大的数学软件。
在新的版本中也加入了对C，FORTRAN，C++，JAVA的支持。
可以直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用，此外许多的MATLAB爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用。
1.6常用传递函数降阶方法
多年来人们从各种不同的角度对简化技术进行了很多的研究，理论上也有很大的进展。
其一是基于非奇异摄动理论和奇异摄动理论对状态方程进行等价线形变换使得系数矩阵的结构变得清楚，或者使矩阵对角化，再适当化简。
典型的方法有建立集约化模型，从可控性发出的降阶和保留代表根法等。
从这种角度出发简化的缺点是改变了系统固有的物理意义，降阶系统和原系统的对应关系难于理解。
其二是在已知高阶系统的时域响应曲线和频域响应曲线的情况下采用曲线拟合的方法。
通过拟合计算，图解估计获得低阶模型。
这种简化办法仅是数值分析方法的一个分枝，而包含与数值分析中的麻烦总是有的，响应曲线试验中的干扰更是难于避免的，何况必须先有高阶系统的响应曲线才能着手简化。
其三是由实验取得输入输出数据，直接从数据出发建立低阶模型。
例如所谓的一致逼近法和运用Kautz标准正交系的逼近法等。
起四是建立在误差最小基础上的所谓最优简化。
此法把简化模型与原模型相比较，在某种误差准则上获得误差函数，例如：
方差函数、均方差函数等，并对其求极值以决定简化模型参数。
此法的缺点是计算量太复杂、稳态响应吻合差。
再有就是在复域中对传递函数的降阶法，由于传递函数在经典理论和现代理论分析中占有重要地位，本章特着重评述这类方法在在当今国内外的发展情况。
较为详细地给读者介绍这些方法的原理、用途、评价它们的使用价值。
在用传递函数表示的线性定常高阶系统的低阶逼近方法中，具有代表性的几种是Pade逼近法、时间矩拟合法、连分式逼近法、Routh逼近法、可调参数法和高阶系统的PID参数降阶。
Pade逼近法一般意义下的Pade逼近Pade逼近法是用有理函数作逼近函数的逼近方法。
用有理函数可以逼近在有限点处其值为无穷的函数，或者在无穷远处趋于某一定数的函数，以及一些无理函数、超越函数（例如e）等。
1.7本文研究的主要内容
本文首先阐述了模型降阶的重要意义与重要性，并介绍了常用的降阶方法。
着重介绍和设计了基于状态空间方程的模型降阶方法。
基于状态空间方程的模型降阶方法首先根据研究的高阶传递函数写出状态空间表达式，再将所得状态空间表达式进行基于状态空间方程的模型近似的化简降阶，而降阶的实质是从一个n阶的完整模型G（S）出发，找到一个行为与G（S）相近的r阶模型（S）（r之后将化简（降阶）完成所得的状态空间表达式转换为传递函数形式，最后用Matlab进行了仿真求解和实例计算，并讨论了降阶结果的正确性，借以说明如何具体运用这个方法来简化高阶模型。
2李雅普诺夫函数
2.1简介
李雅普诺夫是俄国数学家、力学家.1857年6月6日生于雅罗斯拉夫尔；1918年11月3日卒于敖德萨.
李雅普诺夫1876年中学毕业时，因成绩优秀获金质奖章，同年考入圣彼得堡大学物理数学系学习，当他听了著名数学家切比雪夫的讲座之后即被其渊博的学识深深吸引，从而转到切比雪夫所在的数学系学习，在切比雪夫、佐洛塔廖夫的影响下，他在大学四年级时就写出具有创见的论文，而获得金质奖章.1880年大学毕业后留校工作，1892年获博士学位并成为教授.1893年起任哈尔科夫大学教授，1900年初当选为圣彼得堡科学院通讯院士，1901年又当选为院士，并兼任应用数学学部主席.1909年当选为意大利国立琴科学院外籍院士，1916年当选为巴黎科学院外籍院士.
李雅普诺夫是切比雪夫创立的彼得堡学派的杰出代表，他的建树涉及到多个领域，尤以概率论、微分方程和数学物理最有名.
在概率论中，他创立了特征函数法，实现了概率论极限定理在研究方法上的突破，这个方法的特点在于能保留随机变量分布规律的全部信息，提供了特征函数的收敛性质与分布函数的收敛性质之间的一一对应关系，给出了比切比雪夫、马尔可夫关于中心极限定理更简单而严密的证明，他还利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布.他对概率论的建树主要发表在其1900年的《概率论的一个定理》和1901年的《概率论极限定理的新形式》论文中.他的方法已在现代概率论中得到广泛的应用.
李雅普诺夫是常微分方程运动稳定性理论的创始人，他1884年完成了《论一个旋转液体平衡之椭球面形状的稳定性》一文，1888年，他发表了《关于具有有限个自由度的力学系统的稳定性》.特别是他1892年的博士论文《运动稳定性的一般问题》是经典名著，在其中开创性地提出求解非线性常微分方程的李雅普诺夫函数法，亦称直接法，它把解的稳定性与否同具有特殊性质的函数（现称为李雅普诺夫函数）的存在性联系起来，这个函数沿着轨线关于时间的导数具有某些确定的性质.正是由于这个方法的明显的几何直观和简明的分析技巧，所以易于为实际和理论工作者所掌握，从而在科学技术的许多领域中得到广泛地应用和发展，并奠定了常微分方程稳定性理论的基础，也是常微分方程定性理论的重要手段.
李雅普诺夫对位势理论的研究为数学物理方法的发展开辟了新的途径.他1898年发表的论文《关于狄利克雷问题的某些研究》也是一篇重要论文.该文首次对单层位势、双层位势的若干基本性质进行了严谨的探讨，指出了给定范围内的本问题有解的若干充要条件.他的研究成果奠定了解边值问题经典方法的基础.
在数学中以他的姓氏命名的有：
李雅普诺夫第一方法，李雅普诺夫第二方法，李雅普诺夫定理，李雅普诺夫函数，李雅普诺夫变换，李雅普诺夫曲线，李雅普诺夫曲面，李雅普诺夫球面，李雅普诺夫数，李雅普诺夫随机函数，李雅普诺夫随机算子，李雅普诺夫特征指数，李雅普诺夫维数，李雅普诺夫系统，李雅普诺夫分式，李雅普诺夫稳定性等等，而其中以他的姓氏命名的定理、条件有多种.
2.2系统的受扰运动和平衡状态
稳定性问题的实质是考察系统由初始状态扰动引起的受扰运动能否趋近或返回到原平衡状态。
用x0表示初始状态扰动，则受扰运动就是系统状态方程凧=f（x，t）在初始时刻t0时受到状态扰动x（t0）=x0
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